- •Глава 5 Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 1. Плоскость
- •1. Угол между плоскостями.
- •2. Условие перпендикулярности двух плоскостей
- •3. Условие параллельности двух плоскостей
- •4. Условие совпадения плоскостей
- •§ 2. Прямая в пространстве
- •§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
- •§4. Поверхности второго порядка
- •§ 4.1. Цилиндры второго порядка
- •§ 4.2. Эллипсоид, конус, гиперболоид
- •§ 4.3. Параболоиды.
- •«Прямая и плоскость в пространстве»
- •Решение практических задач по теме: «Плоскость»
- •Решение практических задач по теме: «Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости»
- •Решение практических задач по теме: «Поверхности второго порядка»
- •Примеры для самостоятельного решения
Глава 5 Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость
Определение 1. Плоскостью будем называть поверхность, обладающую тем свойством, что прямая, проведенная через любые две точки плоскости, целиком принадлежит ей.
Определение 2. Ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости, будем называть нормальным вектором плоскости и обозначать .
Общее уравнение плоскости.
Т е о р е м а 1. Любая плоскость в декартовой системе координат определяется линейным уравнением вида:
А х + В у + С z + D = 0 – (1)
где А, В, С – координаты нормального вектора данной плоскости, х, у, z – текущие координаты точек плоскости.
Доказательство. Пусть П – данная плоскость, – нормальный вектор этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку М (х, у, z). Тогда – радиус – вектор точки М.
Очевидно, что проекция радиуса – вектора любой точки плоскости на нормальный
вектор является величиной постоянной.
Это условие имеет место лишь для точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости.
Из векторной алгебры известно, что , следовательно Тогда или .
Обозначим , тогда уравнение примет вид
.
Это уравнение представляет общее уравнение плоскости в векторной форме. Записав скалярное произведение векторов и в координатной форме, получим уравнение (1), т. е. общее уравнение плоскости.
Анализ общего уравнения плоскости
Уравнение плоскости |
Характеристики плоскости |
Изображение плоскости |
1) А∙х + В∙у + С∙z = 0, D = 0. |
Уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат. |
|
2) А∙х + В∙у + D = 0, С = 0. |
Нормальный вектор перпендикулярен оси Оz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz.
|
|
3) А∙х + С∙z + D = 0, В = 0. |
Нормальный вектор перпендикулярен оси Оy. Следовательно, плоскость параллельна оси Oy.
|
|
4) В∙у + С∙z + D = 0, А = 0. |
Нормальный вектор перпендикулярен оси Ох. Следовательно, плоскость параллельна оси Oх. |
|
5) А∙х + В∙у = 0, С = D = 0. |
Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость проходит через ось Оz. |
|
6) А∙х + С∙z = 0, В = D = 0. |
Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oy, т. е. плоскость проходит через ось Оy. |
|
7) B∙y + C∙z = 0, А = D = 0. |
Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Ox, т. е. плоскость проходит через ось Оx.
|
|
8) С∙z + D = 0, А = В = 0, т. е. . |
Плоскость параллельна плоскости Оху.
|
|
9) В∙у + D = 0, А = С = 0, т. е. . |
Плоскость параллельна плоскости Охz.
|
|
10) A∙x + D = 0, B = C = 0, т. е. . |
Плоскость параллельна плоскости Оyz.
|
|
11) С∙z = 0, А = В = D = 0, т. е. z = 0. |
Это уравнение плоскости Оху.
|
|
12) В∙у = 0, А = С = D = 0, т. е. у = 0. |
Это уравнение плоскости Охz.
|
|
13) A∙x = 0, B = C = D = 0, т. е. x = 0. |
Это уравнение плоскости Оyz.
|
|
Взаимное расположение плоскостей