- •Глава 9 неопределенный интеграл
- •§ 1. Первообразная функции.
- •§ 2. Основные методы интегрирования.
- •§ 3. Многочлены. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.
- •§ 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.
- •§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •§ 7. Интегрирование тригонометрических функций.
- •Решение практических задач
- •Примеры для самостоятельного решения.
Глава 9 неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная функции.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной
f (x) или df = f (x) dx
функции f (x).
В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), что
F (x) = f (x) или dF (x) = F (x) dx = f (x) dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции.
Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором множестве, если она дифференцируема на этом множестве и F (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx.
Т е о р е м а 1. Любая непрерывная на [a; b] функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x).
Т е о р е м а 2. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f (x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е.
F2(x) = F1(x) + C,
где С – постоянная.
Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные функции f (x). Их разность F (x) = F2(x) – F1(x) является дифференцируемой функцией. Следовательно,
т. е. F2(x) – F1(x) = С.
Следствие. Если F (x) – некоторая первообразная функции f (x), то все первообразные этой функции определяются выражением F (x) + C, где С – произвольная постоянная.
Определение 2. Операция отыскания первообразной F (x) функции f (x) называется интегрированием.
Определение 3. Совокупность F (x) + C всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается
где f (x) d x – подынтегральное выражение,
f (x) – подынтегральная функция,
х – переменная интегрирования,
С – постоянная интегрирования.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. и .
Доказательство. Пусть
.
2.
Доказательство. Так как dF (x) = F (x) d x, а F (x) = f (x), то
3.
Доказательство. Пусть F (x) – первообразная функции f (x): F (x) = f (x). Тогда а F (x) – первообразная функции af (x):
(аF (x)) = а F (x) = аf (x).
Следовательно,
4.
Доказательство. Проведем для двух функций. Пусть F (x) = f1(x), Ф (х) = = f2 (x). Тогда F (x) Ф (х) является первообразными функций f1(x) f2(x). Следовательно,
5. Если F (x) первообразная функции f (x), то
Доказательство. Действительно
6. (инвариантность формул дифференцирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где U – дифференцируемая функция.
Доказательство. Воспользуемся свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка.
Если dF (x) = F (x)dx, то dF (U) = F (U)dU, где U = U (x).
Пусть , тогда . Так как
и
получаем .
Таблица основных правил и формул интегрирования.
Таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производных элементарных функций при обратном ее чтении.
Буква z может обозначать как независимую переменную z = x, так и функцию от независимой переменной z = z (x).
1. . |
2. |
3.
|
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. . |
13.
14.
В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет универсальных приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.