- •§ 5. Геометрические приложения определенных интегралов
- •Вычисление длины плоской кривой. Основные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление объемов
- •§ 6. Приложения определенного интеграла в механике и физике Длина пути
- •Давление жидкости
- •Работа силы
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры.
- •Ответы и указания
- •ОглавлеНие
- •§ 5. Геометрические приложения определенных интегралов 120
- •Коллектив авторов решение задач по теме «интегральное исчисление функций одной переменной» Учебное пособие
Вычисление длины плоской кривой. Основные формулы
Если плоская кривая задана как график функции y = f(x), a ≤ x ≤ b, и производная y = f (x) непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом
l = = .
Если кривая задана параметрически x = x(t), y = y(t), ≤ t ≤ и производные x (t) и y (t) непрерывны на отрезке [, ], то длина дуги кривой выражается интегралом
l = .
Если кривая задана уравнением r = r(), ≤ ≤ , в полярных координатах и r () непрерывна на отрезке [, ], то длина l дуги кривой выражается интегралом
l = .
Если Г – пространственная кривая, заданная параметрически: x = x(t), y = y(t), z = z(t), ≤ t ≤ , производные x (t), y (t) и z (t) непрерывны на отрезке [, ], то длина Г находится по формуле
l = .
Замечание. Пусть Г – некоторая кривая на плоскости xOy. Выражение
dl = ,
где dx2 = (dx)2, dy2 = (dy)2, называется дифференциалом длины дуги. Используя это понятие, можно единообразно записать формулу для вычисления длины кривой
l = = ,
где и , ≤ , обозначают границы изменения параметра, с помощью которого задается кривая. Пусть кривая Г есть график функции x = x(y), c ≤ y ≤ d. Тогда dx = x (y) dy и мы получаем
l = = .
Если кривая Г задана параметрически, то dx = x (t) dt, dy = y (t) dt и мы получаем
l = = = .
Задание кривой с помощью полярных координат r = r(), ≤ ≤ , есть частный случай параметрического задания: x = r()cos , y = = r() sin . Параметром здесь является . Вычисляя дифференциалы dx = (r cos – r sin ) d, dy = (r sin + r cos ) d, убеждаемся, что dl = = .
Для пространственной кривой Г дифференциалом длины дуги называется выражение l = и длину кривой Г можно выразить интегралом
l = = ,
где и ( ≤ ) – концы отрезка [, ] – промежутка изменения параметра, с помощью которого задается кривая.
Рассмотрим примеры.
Вычислить длину дуги кривой.
5.19. y = 1 – ln cos x, 0 ≤ x ≤ .
5.20. y = 2 , 0 ≤ x ≤ 1.
5.21. x = , 0 ≤ y ≤ 4.
5.22. 3y2 = x(x – 1)2 (длину петли).
5.23. y = , 0 ≤ x ≤ ln 4.
5.24. y = , 0 ≤ x ≤ .
Решение.
5.19. Так как y = = tg x, то
.
5.20. Так как , то
.
Можно было рассмотреть нашу кривую как график функции , . Тогда вычисление длины кривой свелось бы к нахождению интеграла
.
5.21. Вычисляем производную = и далее = = , откуда
= = = .
5.22. Из условия следует, что y = 0 при x = 0 и x = 1, причем линия симметрична относительно оси Ox, так как y входит в уравнение в четной степени. Ясно, что достаточно вычислить длину половины петли, задаваемой уравнением y = , . (Вторая половина петли есть график функции ). Так как
, = ,
то мы получаем
= = .
5.23. Делаем предварительные вычисления:
= – = .
Вычисляем длину кривой
l = = = = 2.
5.24. Вычисляем производную:
= ,
тогда
= = .
Вычисляем длину кривой
l = = = =
= = = =
= .
Вычислить длину кривой, заданной в полярных координатах.
5.25. r = , – ≤ ≤ .
5.26. r = a(1 + cos ), 0 ≤ ≤ 2π (кардиоида).
5.27. r = th , 0 ≤ ≤ 2.
5.28. r = a cos4 .
Решение.
5.25. Вычисляем длину кривой по формуле
l = = = =
= = = .
5.26.
l = = =
= = = – =
= – = 4a + 4a = 8a.
5.27.
l = = =
= = = =
= = = = 1 – th1.
5
Рис. 2.16
= a2 + = .
Отсюда следует
l = = = =
= = .
Вычислить длину кривой, заданной параметрически.
5.29. x = 6t5, y = 5t(1 – t8), 0 ≤ t ≤ 1.
5.30. x = ln(1 + t2), y = 2arctg t – 2t + 8, 0 ≤ t ≤ 1.
5.31. x = t – sh 2t, y = 2 ch t, 0 ≤ t ≤ 1.
5.32. x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t.
5.33. x = t2, y = t – t3 (длину петли).
Решение.
5.29. Вычисляем, используя соответствующую формулу:
l = = =
= 5 = 5 = = 10.
5.30.
= + = .
Поэтому
l = = = .
5.31.
= (1 – ch 2t)2 + 4sh2t = | ch 2t – 1 = 2 sh2 t | = 4 sh4 t + 4sh2 t =
= 4 sh2 t ch2 t = sh2 2t.
Поэтому
l = = = = sh2 1.
5.32. Уравнение линии (астроиды) в декартовых координатах имеет вид или (рис. 2.17).
О
Рис.
2.17
= 36 cos4 t sin2 t + 36 sin4 t cos2 t =
= 36 sin2 t cos2 t = 9 sin2 2t.
Отсюда следует
l = = = 6 + 6 = 12.
5.33. Если выразить y через x, то мы получаем
,
откуда следует, что при x [0, ] графики симметричных относительно оси Ox функций
и
образуют замкнутый контур на плоскости xOy (петлю). График функции
получается, когда t изменяется от –1 до 0, а при изменении t от 0 до 1 точка (x, y) движется по графику функции
от точки O (0, 0) до точки A( , 0).
Вычисляем сначала = 12t2 + (1 – 3t2)2 = (1 + 3t2)2. Поэтому
l = = = 4.
Вычислить длину дуги пространственной кривой.
5.34. x = 3t – t3, y = 3t2, z = 3t + t3, 0 ≤ t ≤ 1.
5.35. x = at, y = , z = , ≤ t ≤ 1.
5.36. x = et, y = e-t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2.
5.37. x = a (1 + cos t), y = a(t – sin t), z = 4 a sin , 0 ≤ t ≤ 2.
Решение.
5.34. Вычисляем длину кривой по формуле
l = = =
= = = = 4 .
5.35.
= =
= = = .
Отсюда получаем
l = = = = .
5.36. Имеем = e2t+ e–2t +2 = (et + e–t)2. Откуда получаем
l = = = = 2 sh 2.
5.37. Сделаем предварительные вычисления:
= 4 =
= = 4a2.
Мы использовали здесь тригонометрическую формулу 1 – cos t = = .
Вычисляем длину кривой
l = = 4a.
Вычисление объемов и площадей поверхностей. Основные формулы.
Пусть S(x) – площадь сечения тела V плоскостью, перпендикулярной к оси Ox в точке с абсциссой x, a и b – левая и правая границы изменения x. Тогда объем тела V выражается интегралом
V = .
Если тело V образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объем тела V вычисляется по формуле
V = = .
Если тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции x = g(y), c≤ y ≤ d (g(y) ≥ 0), то объем тела выражается интегралом
V = = .
Если вокруг оси Oy вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y = f(x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объем получившегося тела выражается интегралом
V = = .
Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменных в указанных выше формулах.
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги Г кривой y = f(x), a ≤ x ≤ b, где f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную , выражается интегралом
S = = .
Поскольку – дифференциал длины дуги, то формулу можно записать в виде
S = .
Пусть кривая задана параметрически x = x(t), y = y(t), ≤ t ≤ , где функции x(t) и y(t) имеют на отрезке [, ] непрерывные производные x(t) и y(t). Площадь S поверхности, образованной при вращении данной кривой вокруг оси Ox равна
S = = .
Задание кривой с помощью полярных координат r = r(), ≤ ≤ , есть частный случай параметрического задания, так как в этом случае
x = r() cos , y = r() sin .
Рассмотрим примеры.
5.38. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h (рис. 2.18). Плоскости сегментов перпендикулярны к плоскости круга. Найти объем образованного таким образом тела.
а б
Рис. 2.18
Решение. Найдем вначале площадь параболического сегмента с основанием a и высотой h (рис. 2.18, б). Расположим оси координат так, что основание сегмента будет находиться на оси абсцисс и начало координат делит это основание пополам. Уравнение параболы имеет вид
.
Так как y(0) = h, то = – . Тогда уравнение параболы принимает вид
.
Ищем площадь сегмента
S = = = = ah.
Расположим оси координат так, как показано на рис. 2.18, а. Тогда длина половины хорды, пересекающей ось абсцисс в точке x, есть . Следовательно, площадь параболического сегмента, соответствующего значению x, равна S(x) = . Согласно формуле для объема, получаем
V = = = =
= = = .
5.39. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 4 – y2, x = 0, x = a, y = 0, z = 0.
Р
Рис. 2.19
S(x) = = , 0 ≤ x ≤ a.
Отсюда получаем
V = = = .
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной следующими линиями.
5.40. y = sin x, x = 0, 0 ≤ x ≤ π, вокруг оси: а) Ox, б) Oy.
5.41. y = 2x, y = , x = 0, y = 0, вокруг оси Ox.
5.42. y = x(3 – x), y = x, вокруг оси: а) Ox, б) Oy.
5.43. y = cos x, y = 1, 0 ≤ x ≤ 2π, вокруг оси Oy.
5.44. y = ex+6, y = e2x, x = 0, вокруг оси: а) Ox, б) Oy.
5.45. y = , y = 0, x ≥ 1, вокруг оси Ox.
5.46. y = , y = 0, x ≥ 0, вокруг оси Ox.
5.47. y = , y = 0, вокруг оси Oy, .
5.48. x = 4t2, y = (петля), вокруг оси Ox.
5.49. x = a ch3 t, y = a sh3 t, x = 2 a, вокруг оси Ox.
5.50. r = 2cos2 , вокруг полярной оси.
5.51. r = , 0 ≤ ≤ , вокруг полярной оси.
Решение.
5.40. Вычислим объем полученный вращением вокруг оси Ox. Имеем
V = = = .
Теперь вычислим объем тела, получаемого при вращении фигуры вокруг оси Oy:
V = = = =
= .
5.41. Абсцисса точки пересечения графиков (рис. 2.20) равна 1. Искомый объем выражается суммой двух интегралов:
V = + = + .
В
Рис. 2.20
= =
= .
= =
= – =
= – + + С.
Отсюда получаем,
V = + 12π – + =
Рис. 2.21
5.42. Несложно находится абсцисса точки пересечения графиков x = 2 (рис. 2.21). Вычисляем объем, получаемый при вращении фигуры вокруг оси Ox:
V = =
= =
= = .
При вычислении объема, получающегося при вращении вокруг оси Oy, воспользуемся следующей формулой:
V = – ,
где y1 = 3x – x2, y2 = x.
Тогда
V = – = = .
5.43. Рассмотрим два способа вычисления искомого объема.
а б
Рис. 2.22
Решение уравнения cos x = y при 0≤ x ≤ π относительно x есть x = arccos y, решением уравнения cos x = y при π ≤ x ≤ 2π является x =2π – arccos y. Тогда объем можно вычислить следующим образом (рис. 2.22, б):
V = = =
= = 4π3.
Но можно, используя другую формулу, вычислять объем и так (рис. 2.22, а), где :
V = 8π3 – = 8π3 – =
= 8π3 – 4π3 = 4π3,
где слагаемое 8π3 есть объем цилиндра, у которого в основании – круг радиуса 2π и высота равна 2.
5
Рис. 2.23
Вычисляем вначале объем тела, получаемого при вращении фигуры вокруг оси Ox.
V = =
= = (8 + 36 ln 3) .
Для вычисления объема тела, получаемого вращением фигуры вокруг оси Oy, мы, чтобы не искать обратные функции, воспользуемся следующей формулой:
V = – ,
где y1 = ex + 6, y2 = e2x.
Тогда
V = + – = 6π ln2 3 + –
= = 6π ln2 3 + =
= 3π ln 3(ln 9 – 1).
5.45. Объем тела выражается несобственным интегралом
V = = = .
5.46. Вычисляем объем
V = = = =
= = .
5.47. Объем можно вычислить двумя способами.
Найдя обратную функцию (x ≥ 0), из уравнения y = , x = , приходим к интегралу
V = .
Можно использовать формулу
V = = = = = π.
Мы видим, что в этом примере второй способ вычисления предпочтительнее.
5.48. Петля симметрична относительно оси Ox, верхняя часть петли есть график функции
y = , 0 ≤ x ≤ 12,
и соответствует изменению параметра t от 0 до . Вычисляем объем
V = = =
= = 48π.
5.49. В декартовых координатах уравнение линии выглядит так: = . Отсюда заключаем, что линия симметрична относительно оси Ox, ясно так же, что a≤ x ≤ a. Верхняя ветвь (y ≥ 0) соответствует изменению параметра t от 0 до (решения уравнений ). Вычисляем объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox верхней ветви кривой (y ≥ 0),
V = =
=
5.50. Линия представляет собой два симметричных относительно оси Oy лепестка, симметричных, в свою очередь, относительно оси Ox (рис. 2.24). Первый соответствует изменению параметра от – до , второй – от до π и от –π до – . Вычислим объем тела, получаемого вращением половины лепестка, и удвоим результат:
V = =
Рис. 2.24
= = =
= = = = .
Минус перед первым интегралом поставлен потому, что x = r cos = = 2 cos3 при изменении от 0 до убывает. Действительно,
V = = =
= = .
5.51. Вычисляем объем при :
V = = = =
= = =
= = .
Найти площадь поверхности, образованной при вращении дуги кривой.
5.52. y2 = 2x, 2x = 3, вокруг оси Ox.
5.53. y = 3 c h , –1 ≤ x ≤ 1, вокруг оси Ox.
5.54. y = cos 2x, ≤ x ≤ , вокруг оси Ox.
5.55. , вокруг оси Oy.
5.56. x = , y = , 0 ≤ t ≤ π, вокруг оси Ox.
5.57. x = 2cos t – cos2 t, y = 2sin t – sin2 t, 0 ≤ t ≤ π, вокруг оси Ox.
5.58. y = (arcsin x + ), 0 ≤ x ≤ 1, вокруг оси Oy.
5.59. r = , вокруг полярной оси.
Решение.
5.52. Достаточно рассмотреть поверхность, образованную вращением кривой y = , 0 ≤ x ≤ 3/2, вокруг оси Ox. Имеем
S = = = =
= = .
5.53.
S = = = =
= = +6 .
5
Рис. 2.25
S = =
=
= = =
= = .
5.55. Используем формулу
S = .
Имеем
Используя результаты задачи 3.6 из гл. 1, § 3, получаем
5.56.
y =
при изменении t от 0 до , при этом x возрастает от 0 до . Когда t возрастает от до π, переменная x убывает от до 0, при этом
y = .
Таким образом, наша линия – петля, симметричная относительно оси Ox. Поэтому
= = =
= = = .
5.57. Вычислим предварительно дифференциал длины дуги dl = = .
dl = = =
= 4|sin |dt = 4 sin dt,
так как . Вычисляем площадь поверхности вращения
5.58. Выражать в данном случае x через y было бы крайне затруднительно. Поэтому параметризуем кривую, взяв за параметр x = t. Тогда
S = = =
= = = = ,
так как
= = .
5.59. Линия представляет собой два лепестка, симметричные относительно обеих осей координат Ox и Oy (x = r cos = 3 cos , y = r sin = 3 sin ). Достаточно рассмотреть дугу кривой, соответствующую изменению от 0 до и затем удвоить результат. Вычисляем площадь поверхности вращения
S = =
= = = .