Задачи для самостоятельного решения

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.

5.60. y = 2x – x², y = x.

5.61. y = ln(1 + x), y = – xe^–x, x = 1.

5.62. 4 = x + y², y² – 3x = 12.

5.63. y = x, y = , y = – x (x ≥ 1).

5.64. y = x + 1, y = cos x, y = 0.

5.65. y = , 1 < x ≤ e.

5.66. y = , 0 ≤ x < .

5.67. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² – 2x + 3, касательной к ней в точке M(3, 6) и осями координат.

5.68. r = 2 sin 2.

5.69. r = 2(1 – cos ) внутри окружности r = 2cos .

5.70. r = 3 cos , r = 3 sin  (площадь пересечения областей).

5.71. x² + y² = 2x, x² + y² = 6x, y + x = 0, y – x = 0.

Указание: перейти к полярным координатам.

5.72. x = t², (петля).

5.73. x = a cos³t, y = a sin³t (астроида).

Вычислить длину дуги кривой.

5.74. y = 4 , 2 ≤ x ≤ 3.

5.75. x = , 0 ≤ x ≤ 2 .

5.76. y = , 1 ≤ x ≤ 3.

5.77. y = e^x, 0 ≤ x ≤ ln7.

5.78. x = , от точки A(2, 2) до B(10, 6).

5.79. y = + .

5.80. r = , 0≤  ≤ .

5.81. r = a (1 – sin ), – ≤  ≤ .

5.82. r = 3cos³ , 0≤  ≤ .

5.83. x = 2 sh³ t, y = 3 ch t от точки A(0, 3) до .

5.84. x = 6 – 3t², y = 4t³, 0 ≤ t ≤ .

5.85. x = , y = , z = , 0 ≤ t ≤ 1.

5.86. x = 2t, y = ln t, z = t², 1 ≤ t ≤ e.

5.87. x =2 ch t, y = 3 sh t, z = 2t, 0 ≤ t ≤1.

Вычисление объемов

5.88. Найти объем части шара x² + y² + z² ≤ 16 между плоскостями x = 2, x = 3.

5.89. Плоскость движущегося треугольника перпендикулярна к неподвижному диаметру круга радиуса R; его основание есть хорда круга, а вершина лежит на прямой, параллельной неподвижному диаметру круга, на расстоянии h от плоскости круга. Найти объем тела, образуемого движением этого треугольника от одного конца диаметра до другого.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями.

5.90. y = 3 ch , x = 0, x = 6, вокруг оси Ox.

5.91. y² = 2x, y = 2, x = 0, вокруг оси Ox.

5.92. y = x³, y = 0, x = 2, вокруг оси Oy.

5.93. y = tg x², y = 0, x = , вокруг оси Oy.

5.94. xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0 вокруг оси: a) Ox; б) Oy.

5.95. y = sin x, x = 0, y = 1, вокруг оси: a) Ox; б) Oy.

5.96. x = ch³t, y = sh³t, x = 0, y = – , y = , вокруг оси Oy.

5.97. x = t³, y = t², y = 0, x = –1, x = 1, вокруг оси: a) Ox; б) Oy.

5.98. r = 6sin , вокруг полярной оси.

5.99. r = 2 , вокруг полярной оси.

Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой.

5.100. y² = 4+ x, вокруг оси Ox.

5.101. y = sin x, 0 ≤ x ≤ π, вокруг оси Ox.

5.102. y = x³, 0 ≤ x ≤ 1, вокруг оси Ox.

5.103. x = ln (y – ), ≤ y ≤ , вокруг оси Oy.

5.104. y = arcsin + , вокруг оси Ox.

5.105. y = , 0 ≤ x ≤ 12, вокруг оси Ox.

5.106. x = cos t + ln tg , y = sin t, ≤ t ≤ , вокруг оси Ox.

5.107. y = 3 ch , 0 ≤ x ≤ 6, вокруг оси Oy.

Указание. Задать кривую параметрически, взяв за параметр x = t.

5.108. r = 2 sin  (вне окружности r = 1), вокруг полярной оси.

§ 6. Приложения определенного интеграла в механике и физике Длина пути

Пусть точка движется по прямой со скоростью v = v(t). Путь, пройденный точкой от момента времени t₁ до момента t₂, выражается интегралом

.

Отметим, что так как точка движется по числовой прямой, то если движение происходит в отрицательном направлении по оси (v(t) < 0), то путь может получиться отрицательной величиной.

6.1. Скорость движения точки дается формулой

v = (3t² – 2t) [м/с]

Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с от начала движения.

Решение. Вычисляем путь по формуле

.