- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава IV НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования
- •1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
- •1.2 Таблица основных интегралов
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •2.1 Интегрирование методом разложения
- •2.2 Интегрирование методом замены переменной
- •2.3 Интегрирование по частям
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
- •§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Глава V ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
- •§ 2. Понятие определенного интеграла
- •§ 3. Свойства определенного интеграла
- •§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
- •§ 5. Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
- •§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1 Вычисление площади в Декартовых координатах
- •8.2 Вычисление площади в полярных координатах
- •§ 9. Длина дуги плоской кривой
- •9.1 Вычисление длины дуги в Декартовых координатах
- •9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат
- •§ 10. Объем тела
- •Глава VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка
- •§ 6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.1 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.3 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •7.1 Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства
- •7.1.1 Линейные уравнения без правой части
- •7.1.2 Линейные уравнения с правой частью
- •7.4 Метод вариации произвольных постоянных
- •7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •§ 8. Системы дифференциальных уравнений
- •8.1 Общие определения. Нормальные системы уравнений
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
33
Тогда (2) примет вид
|
b |
b |
u(x) v(x) |
⌠ |
|
|
= u(x) |
|
|
a |
⌡ |
|
|
a |
Откуда имеем
b
v′(x) dx + ⌠ v(x) u′(x) dx .
⌡
a
b |
|
b |
b |
|
|
⌠ |
′ |
⌠ |
′ |
(3) |
|
u(x) v (x) dx = u(x) v(x) |
|
− v(x) u (x) dx . |
|||
⌡ |
|
a |
⌡ |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
Формула (3) – формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример.
1 |
|
|
u = x +1, |
du = dx, |
|
|
1 |
1 |
|||||
⌠ |
(x +1) ex dx = |
|
|
= (x +1) ex |
⌠ |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
dv = e |
x |
dx, v = e |
x |
|
|
− ex dx = |
|||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
0 |
⌡ |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= [(x +1) ex −ex ] 1 |
= xex |
1 |
= e −0 = e . |
|
|
00
§8. Вычисление площадей плоских фигур
спомощью определенного интеграла
8.1Вычисление площади в Декартовых координатах
Рассмотрим следующие возможные случаи.
1. f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и f (x) ≥ 0 для любого x [a ; b]. В этом случае, как мы установили раньше, определенный
b
интеграл ⌠ f (x) dx численно равен площади криволинейной трапеции
⌡
a
с основанием [a; b], ограниченной сверху графиком функции f (x) .
Таким образом, мы получили формулу для нахождения площадей плоских фигур следующего вида (рис. 5.2):
y
y = f (x)
O a |
b |
x |
Рис. 5.2
b |
|
⌠ |
(1) |
S = f (x) dx . |
|
⌡ |
|
a
34
2.Рассмотрим теперь фигуру, изображенную на рис. 5.3. Она представляет собой криволинейную трапецию с основанием [a; b] , ограничен-
ную снизу графиком функции f (x) . Таким образом, имеем f (x) , определенную и непрерывную на [a; b] и f (x) ≤ 0 для любого x [a ; b].
y
|
|
y = − f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
O a |
|
S1 |
|
b |
|
|
|
|
|
||||
|
S |
|
|
x |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3
Легко заметить, что площадь данной трапеции S будет равна площади S1 криволинейной трапеции с основанием [a; b], ограниченной сверху гра-
фиком функции y = − f (x) (т.к. эти трапеции симметричны относительно оси Ox ). Отсюда имеем:
S =
Пример 1.
b |
b |
|
⌠ |
⌠ |
(2) |
|
[− f (x)]dx = − f (x) dx . |
|
⌡ |
⌡ |
|
a |
a |
|
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x − x2 и осью
Ox .
Решение. |
Найдем точки пересечения параболы с осью Ox : |
|||||
|
y = x − x2 , |
x2 |
− x = x(x −1) x0 = 0 |
или x1 =1. |
||
|
|
= 0, |
||||
|
y |
|
|
|
||
y |
|
|
Имеем криволинейную |
трапецию 1-го типа |
||
1 |
|
|
|
|
(рис. 5.4): |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
⌠ |
x |
||
|
|
|
(x − x2 ) dx = |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
⌡ |
|
||
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
Рис. 5.4
− |
x |
3 |
|
1 |
= |
1 |
− |
1 |
= |
1 |
(кв.ед.). |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
0 |
|
2 |
|
3 |
|
6 |
|
Пример 2.
Найти площадь фигуры, ограниченной линями: y = x − 2 , x = 0 , y = 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
y |
|
|
Решение. Имеем криволинейную трапе- |
||||||
|
y = x − 2 |
цию 2-го типа (рис. 5.5): |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
⌠ |
|
||||
O |
2 |
x |
S |
= − |
(x − 2) dx = − |
|
− 2x |
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
⌡ |
2 |
|
|
0 |
|
− 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −[2 − 4]= 2 (кв.ед.). |
|
|
|
Рис. 5.5
Замечание. Все остальные плоские фигуры можно представить в виде различных комбинаций (объединений или дополнений) криволинейных трапеций вида 1 или 2.
Пример 3.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 2 − x , x = 0 , x = 3 , y = 0 .
Решение.
y |
|
|
|
|
|
|
Искомая площадь равна (рис.5.6): |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x = 3 |
|
|
|
S = S1 + S2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y = 2 − x |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
S = |
⌠ (2 − x) dx = 2x |
− |
x2 |
|
|
= 4 − 2 = 2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
S1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
2 |
S2 |
3 |
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
= − (2 |
− x) dx = |
− 2x + |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.6 |
|
= |
|
+ 2) = − |
+ |
2 = |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
−6 + |
−(−4 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда S = 2 + 1 |
= 2,5 (кв.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −x2 , |
||||||
|
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
|
|
||||||||||||||||
x + y + 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
Найдем |
точки |
пересечения |
параболы |
y = −x2 |
|
|
|
с |
|
прямой |
|||||||||||
x + y + 2 = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= −x |
2 |
, |
|
|
x2 − x − 2 = 0, D =1+8 = 9, |
x1,2 = 1±3 , |
|
x1 = −1, x2 = 2. |
||||||||||||||
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||
y = −x − |
2, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = SBADC − SCBAOD (рис. 5.7).
--------------------------------------------------
© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2011
y |
|
|
||||||
B O |
|
2 |
C |
x |
||||
|
||||||||
A |
|
|
|
|
|
|||
|
|
D |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
− 4 |
y = −x − 2 |
|||||||
|
||||||||
y = −x2 |
|
|||||||
|
|
|||||||
Рис. 5.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
2 |
||
⌠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SBADC = − [−x − 2] dx = |
|
|
|
+ |
2x |
|
= |
||||||
|
|||||||||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[2 + 4] −[0,5 − 2] = 6 +1,5 = 7,5 . |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
x3 |
|
2 |
= 8 |
|
1 |
|
|
|
||
SCBAOD = −⌠ |
− x2 |
= |
|
+ |
= 3 . |
||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||
⌡ |
|
3 |
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = 7,5 −3 = 4,5 (кв.ед.).
3.Фигура представляет собой криволинейную трапецию с основанием [a ; b], ограниченную сверху кривой x = x(t) , y = y(t) , где x(t) , x′(t) ,
y(t) – непрерывные функции на [α ; β ] ( x(α) = a , x(β) = b ). В соответствии с п.1 имеем:
b |
′ |
|
S = ⌠ f (x) dx = |
||
x = x(t), dx = x (t)dt, |
||
⌡ |
y = y(t), a →α, b → β |
a
β |
|
|
⌠ |
′ |
(3) |
= y(t) x (t) dt . |
||
⌡ |
|
|
α
Получили формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, когда кривая задана параметрическими уравнениями.
Пример 5.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией x = a cos3 t , y = a sin3 t ( a = const > 0 ).
Решение. |
Анализ данной линии представлен в таблице 1. Искомая площадь |
|||||||
|
y |
изображена на рис. 5.8. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||
|
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 → π |
π →π |
π → 3π |
3π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
2 → 2π |
|
|||
− a |
a |
x |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− a |
|
x |
a 0 |
0 − a |
− a 0 |
0 a |
|
|
|
y |
0 a |
a 0 |
0 − a |
− a 0 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.8
dydx =
d 2 y dx2
|
yt′ |
= |
|
a 3sin 2 t cos t |
= −tg t = g(t) ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a 3cos2 t (−sin t) |
|
|
|
|
||||||
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
|
|
> 0, |
если |
0 < t < π, |
||
|
|
|
= − |
1 cos t |
= |
1 |
||||||||
= gt |
= |
< 0, |
если |
π < t < 2π. |
||||||||||
|
|
xt′ |
|
|
|
a 3cos2 t (−sin t) |
|
3a cos4 t sin t |
|