- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава IV НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования
- •1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
- •1.2 Таблица основных интегралов
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •2.1 Интегрирование методом разложения
- •2.2 Интегрирование методом замены переменной
- •2.3 Интегрирование по частям
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
- •§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Глава V ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
- •§ 2. Понятие определенного интеграла
- •§ 3. Свойства определенного интеграла
- •§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
- •§ 5. Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
- •§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1 Вычисление площади в Декартовых координатах
- •8.2 Вычисление площади в полярных координатах
- •§ 9. Длина дуги плоской кривой
- •9.1 Вычисление длины дуги в Декартовых координатах
- •9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат
- •§ 10. Объем тела
- •Глава VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка
- •§ 6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.1 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.3 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •7.1 Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства
- •7.1.1 Линейные уравнения без правой части
- •7.1.2 Линейные уравнения с правой частью
- •7.4 Метод вариации произвольных постоянных
- •7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •§ 8. Системы дифференциальных уравнений
- •8.1 Общие определения. Нормальные системы уравнений
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
61
yчаст = x(sin x − x cos x) .
Общее решение исходного уравнения
y = yодн + yчаст = C1 cos x +C2 sin x + x(sin x − x cos x) .
Утверждение. Пусть правая часть уравнения (1) равна сумме двух функций: f (x) = f1 (x) + f2 (x) , а y1 и y2 есть решения уравнений с той же ле-
вой частью, но с правыми частями, соответственно равными f1 (x) и f2 (x) ; тогда y1 + y2 будет решением данного уравнения.
7.4 Метод вариации произвольных постоянных
Этот метод позволяет отыскивать частное решение линейного уравнения с правой частью
y′′+ a1 y′+ a2 y = f (x) , |
(1) |
где f (x) – любая функция. |
|
Пусть уравнение без правой части, соответствующее уравнению (1) |
|
y′′+ a1 y′+ a2 y = 0 |
(2) |
имеет общее решение |
|
y = C1 y1 +C2 y2 , |
|
где C1 и C2 – произвольные постоянные. |
|
Будем искать решение уравнения (1) в виде |
|
y = C1 (x) y1 +C2 (x) y2 , |
(*) |
где C1 (x) и C2 (x) – неизвестные функции, подлежащие определению, а y1 и y2 – известные частные решения уравнения без правой части (2).
Продифференцируем равенство (*)
y′ = C1′y1 +C1 y1′ +C2′ y2 +C2 y2′ .
Положим
C1′y1 +C2′ y2 = 0 . |
(А) |
Тогда
y′ = C1 y1′ +C2 y′2 .
Продифференцируем еще раз
|
|
y |
′′ |
|
′ ′ |
′′ |
′ ′ |
|
′′ |
|
|
|
|
= C1 y1 |
+C1 y1 |
+C2 y2 +C2 y2 . |
|
||||
Подставим y , |
y′ и y′′ в левую часть уравнения (1): |
|
|
|||||||
C1′y1′ +C1 y1′′+C2′ y′2 +C2 y2′′ + a1C1 y1′ + a1C2 y2′ + a2C1 y1 + a2C2 y2 = |
||||||||||
′ ′ |
′ ′ |
|
′′ |
′ |
|
′′ |
|
′ |
|
|
= C1 y1 +C2 y2 |
+C1 ( y1 |
|
+ a1 y1 |
+ a2 y1 ) +C2 ( y2 |
+ a1 y2 + a2 y2 ) = f (x) . |
|||||
Выражения в обеих скобках равны нулю, т.к. |
y1 и |
y2 |
являются решениями |
|||||||
уравнения (2). Значит, чтобы функция |
y = C1 y1 +C2 y2 |
была решением урав- |
||||||||
нения (1), помимо условия (А) должно еще соблюдаться условие |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ ′ |
′ ′ |
|
|
(Б) |
|
|
|
|
|
C1 y1 +C2 y2 = f (x) . |
|
Таким образом, приходим к системе уравнений
62
C1′y1 +C2′ y2 = 0,
C1′y1′ +C2′ y2′ = f (x).
Определитель этой системы в нуль не обращается:
|
y1 |
y2 |
≠ 0 , |
|
′ |
′ |
|
|
y1 |
y2 |
|
и поэтому мы можем сначала найти C1′ |
и C2′ , а затем интегрированием и са- |
ми функции C1 и C2 . Если при интегрировании производных C1′ и C2′ ввести
произвольные постоянные, то мы сразу получим общее решение неоднородного уравнения.
Пример 8. Решить уравнение |
y′′+ y = tg x . |
Решение. Однородному уравнению |
y′′+ y = 0 соответствует характеристи- |
ческое уравнение r 2 +1 = 0 . Его |
корни r = ±i . Поэтому y = cos x и |
|
1 |
y2 = sin x . Общее решение однородного уравнения имеет вид
y = C1 cos x +C2 sin x .
Решение исходного уравнения будем искать в виде y = C1 (x) cos x +C2 (x) sin x .
Составим систему уравнений для отыскания C1 (x) и C2 (x) : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C′cos x +C′ sin x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1′ = − |
|
cos x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−C′sin x +C′ cos x = tg x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2′ = sin x. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
⌠ sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
dx |
|
||||||||||||
C1 (x) = − |
cos x |
dx = |
cos x − |
|
|
|
|
|
dx = sin x − |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
⌡ cos x |
|
||||||||||||||||
⌠ |
|
dx |
= |
|
|
u = sin x, |
|
|
|
= |
⌠ |
du |
|
|
= |
1 ⌠ |
du |
+ |
1 ⌠ du |
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cos xdx = du |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+u |
|
||||||||||||||||||||
⌡ cos x |
|
|
|
|
|
|
⌡1−u |
|
|
|
2 ⌡1−u |
|
2 ⌡1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
1 ln1+u |
|
− 1 ln1−u |
|
+C = ln |
1+u |
+C = ln |
|
1+sin x |
+C = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1−u |
|
1−sin x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1−cos(π 2 + x) |
|
+C = ln |
|
|
π |
|
|
x |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= ln |
|
+cos(π 2 + x) |
|
tg |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
C1 (x) = sin x −ln tg π4 − 2x +C1 .
C2 (x) = ⌠sin x dx = −cos x +C2 .
⌡
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
π |
|
x |
|
|
[−cos x +C2 ] sin x = |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
y = sin x −ln |
tg |
4 |
+ |
|
|
|
+C1 cos x + |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= C1 cos x +C2 |
sin x −cos x ln |
|
π |
|
x |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
tg |
+ |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка |
|
|||||||||||||||
Линейное уравнение n -го порядка имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||
|
y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = f (x) , |
(7) |
где коэффициенты a1 , a2 , …, an – функции независимой переменной x или
постоянные величины.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = 0 , |
(8) |
Рассмотрим систему функций ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , …, ϕn (x) , определенных в
одном и том же интервале. Линейной комбинацией этих функций называется выражение
C1 ϕ1 (x) +C2 ϕ2 (x) +... +Cn ϕn (x) ,
где C1 , C2 , …, Cn – постоянные величины.
Определение. Система функций ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , …, ϕn (x) называется
линейно независимой, если ни одну из этих функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.
Это означает, например, что не может быть равенства
ϕ1 (x) = k2 ϕ2 (x) + k3 ϕ3 (x) +... + kn ϕn (x) ,
где k2 , k3 , …, kn – постоянные величины.
Следовательно, ни одна из линейно независимых функций не может тождественно равняться нулю. В частности, две функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) ли-
нейно независимы, если их отношение не есть константа: ϕ2 (x) ≠ const .
ϕ1 (x)
Система функций, не являющаяся линейно независимой, называется линейно зависимой.
Теорема (о структуре общего решения линейного уравнения n-го порядка). Если y1 , y2 , …, yn – n частных линейно независимых решений
уравнения (8), то общим решением этого уравнения является их линейная комбинация
y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn . |
(9) |
Существует простое условие линейной независимости частных решений y1 , y2 , …, yn – неравенство нулю определителя Вронского (определи-
тель, составленный из функций y1 , y2 , …, yn и их производных):
64
|
|
|
|
|
|
y1 |
y2 |
... |
yn |
|
V ( y |
, y |
|
,..., y |
|
) = |
′ |
′ |
... |
′ |
≠ 0 . |
2 |
n |
y1 |
y2 |
yn |
||||||
1 |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y(n−1) |
y(n−1) |
... |
y(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
Линейно независимые решения линейного уравнения n -го порядка образуют фундаментальную систему решений.
Утверждение. Общее решение линейного уравнения n -го порядка с правой частью (7) слагается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения (8) и какого-либо частного решения самого уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных употребляется и в случае линейных уравнений любого порядка n . Для его применения нужно знать фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.
Утверждение. Если y1 , y2 , …, yn – фундаментальная система реше-
ний уравнения
y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = 0 ,
то решением уравнения
y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = f (x)
является функция
y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ,
где C1 , C2 , …, Cn – функции независимой переменной, производные которых C1′, C2′ , …, Cn′ удовлетворяют следующей системе n линейных алгебраических уравнений:
C′ y |
+C′ |
y |
2 |
+K+C′ y |
n |
= 0, |
|
||||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
||
C1′ y1′ |
+C2′ y2′ |
+K+Cn′ yn′ = 0, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K K K K K K K |
|
|
|||||||||
|
(n−1) |
+C2′ |
(n−1) |
+K+Cn′ |
(n−1) |
= f (x). |
|||||
C1′ y1 |
|
y2 |
yn |
7.6Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
спостоянными коэффициентами
Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка производится аналогично решению уравнений 2-го порядка.
Пусть дано однородное уравнение n-го порядка:
y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = 0 , |
(8) |
где a1 , a2 , …, an – действительные постоянные.
Характеристическим уравнением для него называется уравнение n-ой степени:
r n + a1 r n−1 +K+ an−1 r + an = 0 .