![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Определение функции. Способы задания, область определения, геометрическая интерпретация, линии уровня.
- •3. Непрерывность функции нескольких переменных. Разрывы функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
- •4. Частные производные функции нескольких переменных и их геометрическая интерпретация.
- •5. Производная сложной функции.
- •10. Касательная к плоскости и нормаль к поверхности.
- •12. Наибольшее и наименьшие значения ( глобальные экстремумы ) функции двух переменных в замкнутой области
- •14. Основные свойства двойных интегралов.
- •17. Вычисление криволинейного интеграла в полярной и обобщенной полярной системе координат
- •26. Определение и св-ва криволинейного интеграла 2ого рода.
- •27. Вычисление криволинейного интеграла 2го рода.
- •29. Определение площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла второго рода.
- •45. Дифференцирование степенных рядов
- •50. Способ последовательного дифференцирования.
- •55.Разложение четных/нечетных функций в ряд Фурье.
- •56. Разложение функций с периодом 2l в ряд Фурье
1.Определение функции. Способы задания, область определения, геометрическая интерпретация, линии уровня.
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).
Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.
Геом.интерпр-я :
Каждой точке М0(х0; у0) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x0;y0;z0), где z0 = ƒ(х0;у0) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(x;у).
Способы задания:
1)табличный(для функции двух переменных – в виде таблицы с двумя входами)
2)аналитический(может быть явным: z = x2+y2 и неявным: x2+y2 +z2-16=0
3)графический (Пусть задана функция f(x,y). Графиком называется множество точек в пространстве , где -абсцисса, - ордината, а - аппликата, т.е. графиком является поверхность.)
Линии уровня: Вид поверхности можно определить с помощью линий уровня, т.е. линий, соответствующих постоянному значению одной из переменных.
2.Предел
функции нескольких переменных, понятие
повторного предела.z=z(x,y)z=f(x,y)
(1)z=
(x,y)
Опр1:
Ф-я (1) имеет пределом число а при стремлении
(x,y)
->(x0,y0),
если для
(2)Опр2:
М(x,y)
M0(x0,y0),
тогда опр1:Число А нзв пределом ф-и f(M)
при
,
если для
(3)
– расстояние (4)Замечание: Указанное
опр предела показывает, что f(M)
A
независимо от того, как M
Аналогично
обр. можно дать опр. Предела, когда точка
,
либо
Опр3:
Число А нзв пределом ф-и f(x,y)
при
,
т.е.
Если для
,
,
(5)Данное опр. Предела позволяют как
и в случ. ф-и с одной переменной, позволяют
сформулировать все теоремы(Алгебра
пределов)
(
;Для
ф-й двух и большего числа перем. есть
понятие повторного предела, (это был
двукратный предел).
Понятие
повторного предела, когда имеем ряд
послед. Пред. Переходов в раздельности
в том, или ином порядке.z=f(x,y)найти
предел
Теорема1(Только
формулировка): Если 1) существует конечный
(или бесконечный двойной придел)
2) Для
сущ. Конечный простой предел x,
,
то сущ и повторный предел
3. Непрерывность функции нескольких переменных. Разрывы функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
Опр.1:
Функция z=f(x,y)
называется непрерывной в точке M0,
если имеет место след. равенство:
(1)
В противном случае M0
– разрыв. При этом M(x,y)→M0
произвольным образом, оставаясь в
области D
(области определения функции).Опр.2:
Функция z=f(x,y)
непрерывна в т. M0,
если для любого ε>0 сущ. такое δ>0, что
лишь только |x-x0|<δ,
|y-y0|<δ,
то |f(x,y)-f(x0,y0)|<ε.
(2)Опр.3: z=f(x,y)
непрерывна в M0,
при M(x,y)→M0(x0,y0),
если для любого ε>0, сущ. r>0,
лишь только ρ(M,M0)<r,
то |f(M)-f(M0)|<ε.
(3)Если в нек. т.M0
не выполняется (1), то M0-точка
разрыва z=f(x,y).
Условие (1) может не выполняться:z=f(x,y)
определена во всех точках окрестности
некоторой т.M0,
за исключением самой M0.z=f(x,y)
определена во всех точках окрестности
точки M0,
но не существует предела.z=f(x,y)
определена во всех точках окрестности
M0,
существует предел, но не равен значению
функции в этой точке.Свойство1: Непрерывная
функция в замкнутой ограниченной области
D
достигает по крайней мере один раз
наибольшего значения M
и наименьшего значения m.Свойство2:
Если ф-ция f(x,y,…)
непрерывна в замкнутой ограниченной
области D
и если M,
m
– наибольшее и наименьшее значения
ф-ции в области, то для любого числа μ
(m<μ<M),
найдется M0(x0,y0,…),
что f(x0,y0,…)=μ.
Следствие: Если ф-ция f(x,y,…)
непрерывна в замкнутой ограниченной
области и принимает как положительные,
так и отрицательные значения, то внутри
области найдутся точки, в которых ф-ция
f(x,y,…)
обращается в нуль.Точки разрыва: 1)
изолированные; 2) линии разрыва; 3)
поверхности разрыва и т.д. Можно показать,
что «+, -, ∙, ∕» являются непрерывными
функциями.
П-р:
следовательно
функция разрывная.