![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Определение функции. Способы задания, область определения, геометрическая интерпретация, линии уровня.
- •3. Непрерывность функции нескольких переменных. Разрывы функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
- •4. Частные производные функции нескольких переменных и их геометрическая интерпретация.
- •5. Производная сложной функции.
- •10. Касательная к плоскости и нормаль к поверхности.
- •12. Наибольшее и наименьшие значения ( глобальные экстремумы ) функции двух переменных в замкнутой области
- •14. Основные свойства двойных интегралов.
- •17. Вычисление криволинейного интеграла в полярной и обобщенной полярной системе координат
- •26. Определение и св-ва криволинейного интеграла 2ого рода.
- •27. Вычисление криволинейного интеграла 2го рода.
- •29. Определение площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла второго рода.
- •45. Дифференцирование степенных рядов
- •50. Способ последовательного дифференцирования.
- •55.Разложение четных/нечетных функций в ряд Фурье.
- •56. Разложение функций с периодом 2l в ряд Фурье
14. Основные свойства двойных интегралов.
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в D, а ф-ция ограничена и интегрируема в D, то она интегрируема и в G.
3.
Аддитивное св-во. Если область D
при помощи кривой L
разбивают на 2 области D
1 и D
2, не имеющих общих внутренних точек,
то:
4. Константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в D, то их произведение также интегрируемо в D. Если g(x,y) 0 то и f/g интегрируема в D.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:
В частности: g(x,y) >=0 то и
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в D, то и |f(x,y)| интегрир. в D причем
обратное утверждение неверно, из интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.
16. повторные интегралы Правильная область.Опр1. Пусть в обрасти G лежащей в плоскостях Оу яв-ся правильной в направлении оси Оу это значит ,
что
всякая прямая и проходящая через эту
точку пересекает границу этой области
в 2х точках.
х
є [a,b]
(x)
≥
(x
) Неправильная область
аналогичным образом определим правильную
опласть в направлении ося Ох. Если
область правильная в Ох о Оу, то
пространство правильное.
Всякую
область всегда можно представить в виде
суммы правильных областей в виде по оси
Ох либо по Оу. I(по
области G)
(1) (интегрируется по у считаем что х
Константа)I(x)=
;
I(по
G)=
Свойства:
1) если правильную область G
разбить на 2 области
и
прямой то интеграл (1) равен сумме таких
же интегралов по областям G1
и G2.
=
+
(2)Док-ва Проведем прямую которая пересечет
плоскость в точке. С формулой 2.
(по
области G)
=
(по свойству одномерных интегралов)
С=
Следствие1Если
область Gразбить
прямыми параллельными осями координат
на любое число про областей G1иG2,
Gn
будет равняться повторный интеграл
семе интегралов по соответствующ.
Области
(4)
по
области G=
(4) Свойство2
повторн
интеграл оценка двукратного интеграла
пусть m
и M
соответственно наименьшим и наибольшим
и наибольшем значением функции f
от f(x,y)
и S
это площадь области G.Тогда
справедлива след оценка m
по
области G
(5) учитывая формулы 1 и 2 след:I=
=m
Площадь
области G
G
G
16. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть непрерывно дифференцируемые функции х = х{и) v),
—
якобиан
отображения
Dx
на
D.
17. Вычисление криволинейного интеграла в полярной и обобщенной полярной системе координат
Полярная
система координат :Функцию
F(x,y)
выражаем в полярной системе
координат:X=ρcosφ,Y=ρsinφ.Якобиан
перехода – ρ, т.е. интеграл, из получившихся
в результате перехода функций мы умножаем
на ρ. (1).Берем интеграл от полученной
функции по dρ
и dφ(предварительно
расставив пределы интегрирования с
помощью графика функции).Обобщенная
полярная система координат:Функцию
F(x;y)
выражаем в обобщенной полярной системе
координат:X=a
cosφ,Y=bρsinφ.Якобиан
перехода – abρ
(определение аналогично с 1).Дальнейшие
действия аналогичны с теми, что
производятся при вычислении в полярной
системе координат.
18. Вычисление двойного интеграла.Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок
[a,b]
– проекция Д на ось ох. Для такой области
людбая прямая, параллельная оу и
проходящая через внутреннюю точку
области Д пересекает границу области
не более чем в 2 точках. Такая область
наз. правильной в направлении оси оу.
Если фция f(x,y)
задана на Д и при каждом х
[a,b]
непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)],
то фц-ия F(x)
=
,
наз. интегралом, зависящим от параметра
I,
а интеграл :
,
наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y)
на области Д. Итак, повторный интеграл
вычисляется путем последовательного
вычисления обычных определенных
интегралов сначала по одной., а затем
по другой переменной.
19.
Определение тройного интеграла.Р
ассмотрим
тело, занимающее пространственную
область Q.
И предположим, что плотность распределения
массы в этом теле является непрерывной
функцией координат точек тела:
δ = δ (х, у, z). Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим: ∆v1, ∆v2, …, ∆vn. Выберем затем в каждой части по произвольной точке Pi(xi, yi, zi).Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке Pi, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы (*).
n
Mn = ∑ δ (хi, уi, zi) ∆vi (*)
i=1
n
M = lim ∑ δ (хi, уi, zi) ∆vi = ∫∫∫ δ (х, у, z) dv
i=1 Q
Cумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции δ = δ (х, у, z) по пространственной области Q.
n
∫∫∫ f (х, у, z) dv = lim ∑ f(xi, yi, zi) ∆vi
Q i=1
Где f(x, y, z) – произвольная непрерывная в области Q функция.
20.
Свойства трехкратного интеграла.Если
область V
разбить на две области V1
и
V2
плоскостью || какой-либо из координатных
плоскостей, то трехкратный интеграл
(1)Равен
сумме трехкратных интегралов по обл.
V1
и V2.Следствие:При
любом разбиении обл. V
на конечное число обл. V1,
V2,
…, VnПлоскостями
|| координатным плоскостям, то будем
иметь:Iv=
Теорема
об оценке трехкратного интегралаПусть
М и m
соотв. Наибольшее и наименьшее знач-е
ф-и
в обл. V.
В
этом случае справедливо:mV
(2)Док-во:Запишем (1) ->
(3)Учитывая
огр.
m
и M
(4)
Подставим,
Аналогично
доказывается и левая часть док-ва
(2)Теорема о среднем Трехкратный интеграл
Iv
от
неприрыв.
по замкнут обл. V
равен произведению объема обл. на
значение ф-и в нек-ой точке Р, принадлеж.
V.
(5)Док-во:Из (2) имеем
По
теореме (Больцана – Коши) Веерштрассе:
Существует хотя бы одна точка
, P
21.
Трехмерная область
V, ограниченная замкнутой поверхностью
S, называется правильной, если:любая
прямая, параллельная оси Оz и проведенная
через внутреннюю точку области, пересекает
S в двух точках;вся область V проектируется
на плоскость Оху в правильную двумерную
область D;любая
часть области V, отсеченная от нее
плоскостью, параллельной какой-либо из
координатных плоскостей, обладает
свойствами 1 и 2. Назовем трехкратным
интегралом от функции f(x, y, z) по области
V выражение вида:
Св-ва:Если
область V разбить на две области V1 и V2
плоскостью, параллельной какой-либо из
координатных плоскостей, то трехкратный
интеграл по области V равен сумме
трехкратных интегралов по областям V1
и V2. Если известны наименьшее m
и наибольшее M
значения непрерывной функции f(x;y;z),
(x;y;z)
U
в области U,
то тройной интеграл оценивается так:
(о среднем значении для тройного интеграла):
где M* – некая "средняя" точка области U, f(x; y; z) – непрерывна в U.ДоказательствоИспользуем свойство :
Число I/U – является промежуточным значением непрерывной функции f(x ;y; z), поэтому существует точка M*, такая, что
в итоге
,Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (9.3)Доказательство.Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей
. Тогда из свойства 1 следует, что
,где
- трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области
.Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде:
.Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при
, получим: IV = ,что и требовалось доказать. Замечание изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.Всякую область можно разбить на правильные подобласти
22.
Вычисление тройного интеграла в
цилиндрических и сферических координатах.
Цилиндрические
Введем
в пространстве цилиндрические координаты.
Для этого на плоскости
используем
полярные координаты, а третья координата
произвольной точки
остается
.
Учитывая связь полярных координат с
декартовыми, получим выражение декартовых
координат через цилиндрические: .
Тогда
и
тройной интеграл в цилиндрических
координатах вычисляется по формуле:
.
Элемент объема в цилиндрической системе
координат есть
.
Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются
три числа − ρ,
φ, θ ,
где ρ −
длина радиуса-вектора точки M;φ −
угол, образованный проекцией
радиуса-вектора
на
плоскость Oxy и
осью Ox;θ −
угол отклонения радиуса-вектора
от
положительного направления оси Oz (рисунок
1). Обратите внимание, что определения ρ,
φ в
сферических и цилиндрических координатах
отличаются друг от друга. Сферические
координаты точки связаны с ее декартовыми
координатами соотношениями
Якобиан
перехода от декартовых координат к
сферическим имеет вид:
Раскладывая
определитель по второму столбцу,
получаем
Соответственно,
абсолютное значение якобиана
равно
Следовательно,
формула замены переменных при
преобразовании декартовых координат
в сферические имеет вид:
23.
Приложение тройного интеграла1)
Объем ϕ(x,y,z)≡1;2)
Масса ϕ(x,y,z)=
,
M=
3)Статический
момент относительно координатных
плоскойтей Myz=
Mxz=
;Mxy=
;4)
Центр тяжести тела V
с плотностью ϕ
. Xc=
, yc=
, zc=
5)
Момент инерции Yxx=
25.
Сведение криволинейного интеграла
первого рода к обыкновенному.Предположим,
что на кривой (К) произвольно установлено
направление (одно из двух возможных),
так что положение точки М на кривой
может быть определено Длиной дуги s=
,
отсчитываемой от начальной точки А.
Тогда кривая (К) параметрически выразится
уравнениями вида:x=x(s),
y=y(s),
(0≤ s
≤S)
,а функция f(x,y)
заданная в точках кривой, сведется к
сложной функции f(x(s),
y(s))
от переменной s.Если
через si(i=0,
1,……,n)
обозначить значения дуги, отвечающие
выбранным на дуге АВ точкам деления Аi
, то очевидно
σi=
si+1
- si=∆si
. Обозначив через
i
значения
s,
определяющие точки Мi
(причем
очевидно, si
≤
i
≤ si
), видим что интегральная сумма для
криволинейного интеграла
i)σi
=
i),
y(
i))∆si
является в
то же время интегральной суммой для
обыкновенного определенного интеграла,
так что сразу имеем:
Причем
существование одного из интегралов
влечет за собой существование другого.
Интеграл,
очевидно, существует, например в случае
непрерывности функции f(M),что
мы будем впредь предполагать Пусть
теперь кривая (К) задана произвольными
параметрическими уравнениями
Где
функции φ и ψ непрерывны со своими
производными
и
;
предположим, сверх того, что кратных
точек на кривой нет. Тогда кривая заведомо
спрямляема, и если возрастание дуги
s=
=s(t)
отвечает возрастанию параметра t,
то
Заменяя
переменную в интеграле (3) справа,
получим
Таким
образом для вычисления криволинейного
интеграла первого типа надлежит заменить
в под интегральной функции переменные
x
и y
выражениями координат через параметр,
а множитель ds-дифференциалом
дуги как функции параметра.В случае
кривой заданным явным уравнением:y=y(x)
(a
≤ x
≤ b);формула
(4) примет вид