|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q =10 кИ/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1111111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
20,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
J |
M |
|
|
q=10 кИ/м |
|
|
|
|
|
|
M) (кИ• м) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|||||||
|
— |
_ Д |
! |
|
|
|
|
%i |
|
' |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
Т |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
(кИ• м) |
||
|
|
|
|
|
|
|
. .. |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.21 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
ю угла поворота сече |
|||||
|
Вспомогательное состояние к определен |
||||||||||||||||||
ния С показано на рис. 7.20,д, а соответствующаяй |
ему эпюра изги |
||||||||||||||||||
бающих моментов - на рис. 7.20,е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д2F = I J |
MM2-ЛMF dx |
|
|
|
1 20 • 8 —0,5 + |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
р— |
|
|
||||||||||||
|
|
и |
EJ |
|
|
|
|
E J |
2 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 ап а |
|
|
|
93,33 |
рад. |
|
|
|
|||||
|
|
+--------- 80 • 8 • 0,25 = -------- |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
E J |
3 |
|
|
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|
||
|
П р и м е р . Найти горизонтальное перемещение точки A рамы, |
||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показанн й назрис. 7.22,а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вс м гательн е состояние (состояние |
1) показано на рис. 7.22,б. |
|||||||||||||||||
Соотв тствующиео |
состояниям рамы эпюры изгибающих моментов |
||||||||||||||||||
показаны на рис. 7.22,в,г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
е |
|
|
|
|
F |
dx |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
16 + 32 |
|
|||
rM7—M7 |
|
|
|
|
+ ----- 6 • 4 ----------+ |
|
|||||||||||||
Р |
Д—F = Z f |
1 |
|
|
F |
|
|
= ------ 16 • 4 • 3 |
|
||||||||||
1F |
|
|
E J |
|
|
E J |
3 |
|
|
2E J |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 ^ |
|
, |
2 , |
1568 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+-------- 32 • 4 —4 = -------м. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
E J 2 |
|
|
3 |
|
3E J |
|
|
|
|
202
|
а) состояниеF |
б) состояние 1 |
|
2 |
кН |
N2EJ |
|
|
|
||
м \ , EJ |
EJ \ |
|
АB
_Jm-------/
|
|
|
J — |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16, шшшИШПШП 32 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Т |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(кН * м) |
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.22 |
й |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В этом примере искомое пе емещен е выч слено в виде суммы инте |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
(х) |
|
гралов по трем стержням. На кажд м из них функции M i (х) и M F |
||||||||||||
имеют вполне |
определенные |
аналитические выражения. Если по |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
длине одного стержня эпюры м ментов описываются различными |
||||||||||||
функциональными зав с |
|
ями, то стержень необходимо разбить |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
мос |
|
|
|
|
|
|
на соответствующ е участки, |
вычислить интегралы отдельно для |
|||||||||||
каждого участка ре ультаты вычислений суммировать. |
|
|
||||||||||
|
Еще раз |
тметим, что способ Верещагина нельзя применять в |
||||||||||
случае, к гда |
и |
|
|
|
|
|
|
|||||
бе эпюры усилий являются нелинейными. Так, на |
||||||||||||
пример, |
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
нельзя применить к вычислению площади эпюры про |
||||||||||
гибов балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. |
||||||||||||
|
|
его |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
же |
равило вычисления интегралов применимо и к двум |
||||||||
другим слагаемым в формуле Мора для определения перемещений. |
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Такое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В личину определенного интеграла, как известно, можно вычис лить с помощью формул численного интегрирования, основанных на замене интеграла конечной суммой:
203
b |
n |
j f (x) dx * |
£ ckf (xk ), |
a |
k=0 |
где Xk - точки отрезка [a, b];
|
|
Ck - числовые коэффициенты. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Записанное равенство, в общем случае приближенное, называют |
||||||||||||||||
квадратурной формулой, точки |
Xk |
- узлами квадратурной форму |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
лы, а числа Ck -коэффициентами квадратурной формулы. Погреш |
|||||||||||||||||
ность квадратурной формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
V = |
j f (x) dx - |
|
Z ckf |
(xk ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Б |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит как от расположения узлов, так |
от выбора коэффициен |
||||||||||||||||
тов. Наиболее часто в практическ |
х |
|
ложениях к задачам строи |
||||||||||||||
тельной механики используется |
|
|
|
й |
|
|
|||||||||||
авномерная сетка узлов; при этом |
|||||||||||||||||
исходный интеграл представляется |
в |
|
|
суммы интегралов по |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виде |
|
|
|
|
|||
частичным отрезкам, на кажд м из которых применяется квадра |
|||||||||||||||||
турная формула. |
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Простейшими квадра урными ф рмулами для одного интервала |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
являются формула прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и формула трапеций (Т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественно, что даже в случае функций f (x) близких к линей ным, использование этих формул приведет к погрешности в вычис лениях перемещений.
204
При действии на систему, составленную из прямолинейных эле ментов, сосредоточенных сил или равномерно распределенной на грузки эпюра изгибающих моментов на отдельных участках стерж ня ограничивается прямой линией или параболой. Если для этой системы необходимо определить линейное или угловое перемеще ние какой-нибудь точки, то во вспомогательном состоянии от дей
ствия силы Fi = 1 |
очертание эпюры “ M ” будет определяться ли |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
нейными зависимостями M (x) . В таком случае при f 3(x) = const |
||||||||||||
функция |
f (x) = fi (x) f2 (x) |
|
|
|
|
Н |
||||||
будет представлена кривой второйУ |
||||||||||||
или третьей степени. Тогда на участках стержней с постоянной же |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
сткостью интеграл Мора можно вычислить точно с помощью фор |
||||||||||||
мулы Т. Симпсона (формула парабол): |
й |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
b |
|
l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
j f( x ) d x =~{yi + 4У2+Уз X |
|
(710) |
||||||
|
|
|
|
a |
|
6 |
и |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
y i, У2 , Уз |
|
|
|
р |
|
|
|
|
|||
- значения функц в концевых точках отрезка |
||||||||||||
|
|
|
|
[a, b] и |
ед не его (р с. 7.23). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
посе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Симпсона является точной для любого многочлена не |
||||||||||||
выше третьей степени. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определим с помощью формулы Симпсона вертикальное пере |
||||||||||||
Рмещение сечения D и угол поворота сечения C для балки, пока |
занной на рис. 7.20:
205
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Перемножение” эпюр M F и M i на вертикальном стержне выпол
ним по правилу Верещагина, на наклонном (его длина равна V10 м) - по Симпсону:
Л1F |
= --------- 1 • 3,75 - |
+ — -(-1 • 3,75 + 4 • 5,625 • 1,5 + 37,5 • 2) = |
У |
|||
1F |
E J 2 |
3 |
6 • 2EJ ,— |
|
|
’ |
|
|
-1,25 + 8,75 V10 |
26,42 |
Т |
||
|
|
= -----------------------= -------- м. |
|
|
||
|
|
|
E J |
EJ |
|
|
Если функция f |
(x) |
на некотором участке стержня будет пред |
ставляться более сложным выражением, чем многочлен третьей
степени, что возможно для стержней криволинейного очертания, |
||||||||||
или при изменении жесткости вдоль оси стержня, илиНпри действии |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
на него неравномерно распределенной нагрузки, то результат вы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
числения по формуле Симпсона будет приближенным.Б |
||||||||||
|
На частичном отрезке погрешность оцен вается так: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
M , |
|||
|
|
|
|
|
|
U < — |
||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2880 |
|
||
|
где |
|
|
т |
|
|
|
|||
|
|
|
|
и |
|
sup |
|
|
||
|
|
|
з |
M = |
f IV (x)*, |
|||||
|
|
о |
|
|
|
xe[a, b] |
|
|
||
|
|
тре ке формула Симпсона имеет точность o (h 5 ), |
||||||||
|
п |
|
||||||||
то есть на эт м |
||||||||||
на |
|
трезке - |
o (h 4), в то время как формула трапеций, так же |
|||||||
всем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как и формула прямоугольников, имеет второй порядок точности. |
||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . Определить с помощью формулы Симпсона площадь |
эпюры прогибов консольной балки постоянного поперечного сече ния, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.
* Лат. supremus - высший.
207
|
Эпюры M F и M 1 показаны на рис. 7.25. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
СостояниеF |
|
|
|
|
|
|
|
Состояние 1 |
|
|
|
||||
|
..................Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||
|
I |
I |
П |
|
I |
и |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Н |
|
||
|
|
|
ql2 |
1q l2 x9ql |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||
|
|
//4 |
3 Г |
8 . |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
Б |
|||||
|
|
j //4 j, |
//4 j, l/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Здесь: |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.25 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f (x) = M F (x) M |
1(x)й= qX- |
|
|
|
||||||||
|
Для варианта с одним |
|
|
|
|
м длиной l |
получим: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
участк |
l 2 ql2 2l |
,2 Л |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
л ql2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
з |
|
4о- ------- + ^ |
|
19,2 E J |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
6E J |
|
8 |
8 |
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Точн е решение получено ранее непосредственным интегриро |
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ванием. Пл щадь равна Л ^ = |
20 EJ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Е |
|
|
|
q |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/5 |
|
/5 |
|
Если принять — |
= 1, то погрешность вычисления w = ------------= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
|
|
19,2 20 |
|
|||
е= 2,083 -10 3 l 5, |
что |
соответствует |
указанной ранее |
оценке |
||||||||||||||
Р |
|
- M =■ |
|
6 = 2,083 • 10 |
3 l 5, где принято: |
|
|
|
||||||||||
2880 |
2880 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208
|
|
|
|
sup |
|
|
|
|
|
sup |
Л .4 >IV |
|
|
|
|
||
|
|
|
M = |
f IV (x) |
|
|
= 6. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x e [a , b] |
|
|
|
|
x e [a , b] V 4 У |
|
|
|
|
||||
Для варианта с двумя участками длиной |
получим: |
|
У |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2 |
,2 Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л q l 2 l 2 q l 2 |
l |
+ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - |
-------- + ^ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 • 6 E J V 32 32 |
8 8 У |
|
|
|
|||||||||
|
l |
|
f q l 2 l 2 + 4 9 q l 2 9 12 + q l 2 l 2 ^ |
|
|
Т |
|||||||||||
|
+ - |
|
|
8 8 |
|
|
32 |
|
32 |
|
2 2 |
|
19,95 E J |
|
|||
|
2 • 6EJ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
Погрешность равна у |
|
15 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= - |
|
-------= 1,253 • 10- 4 l 5 . На всем от- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
19,95 |
|
20 |
|
|
Б |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
резке интегрирования погрешность оцен |
вается так: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.4, |
|
|
й |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h4(b - a) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
W |
< — ^-------LM . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2880 |
|
|
|
|
|
|
|
||
В данном случае h |
|
l |
|
р l |
|
|
|
i5 |
|
||||||||
= —, |
|
b - a = l |
и, значит, у < ------------ 6 = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2о |
|
|
|
|
|
16•2880 |
|
||||
= 1,302 •Ю-4 l 5 . |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Формула С мпсона построена на трех равноотстоящих узлах. |
|||||||||||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В нек т рых случаях применяются квадратурные формулы и с |
|||||||||||||||||
большим числзм равноотстоящих узлов. В частности, такой форму |
|||||||||||||||||
лой, |
стр |
енн й на четырех узлах, является следующая: |
|
|
|||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f f |
(x)Jx^ |
b - a |
|
|
|
|
|
|
j + 3 f (Va + 2(b3 a) у + f (b) |
||||||||
п |
f ( a) + 3 f ^a + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ееиногда удобно использовать для перемножения линейных |
|||||||||||||||||
эпюр усилий. Результат вычисления получается точным. Например, |
|||||||||||||||||
Ресли перемножаемые эпюры имеют вид, показанный на рис. 7.26, то |
интеграл Мора на этом участке будет равен:
209
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.26 |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
В общем случае, формулы с большим числом равноотстоящих |
||||||||||||
узлов применяются относительно редко. |
|
|
|
|
|||||||||
|
7.8. Определение перемещен |
и |
|
|
|
||||||||
|
й от тепловых воздействий |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
||
|
Пусть для системы в состоян |
а |
( аздел 7.6) внешним воздей |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
|
ствием является тепловое, то есть температура ее элементов изме |
|||||||||||||
нилась по отношению к нек т |
му начальному состоянию. При |
||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
мем для бесконечно мал |
элемента (рис. 7.27) этой системы тем |
||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
пературу нижнего волокна равн й ^ , верхнего - ?2 , и распределе |
|||||||||||||
ние температуры по высо е сечения по линейному закону. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
210