Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

Свободная составляющая не зависит от напряжения на входе цепи и запи-

сывается так же, как в предыдущих задачах:

i Аеpt .	(55)
св

Принужденные составляющие по форме совпадают с формой приложенного напряжения. Следовательно, принужденная составляющая тока – сину-

соидальная функция времени и ее удобнее всего рассчитывать комплексным методом:

Im пр		Um		Umej	Im прe	j	Im прe	j	,	(56)
		Z		z ej

где z R2 2L2 – модуль комплексного сопротивления;

arctg L – аргумент комплексного сопротивления, представляющий со-

R

бой угол сдвига фаз между напряжением u и током i;

Im пр		Um	– амплитуда тока.
		z

Мгновенное значение принужденной составляющей

iпр Jm Im прej t Jm Im прej ej t

Jm Im пр cos( t ) jIm пр sin( t ) Im пр sin t ,			(57)
где Jm – оператор взятия мнимой части.
Решение для тока:
	R	t
i(t) Im пр sin t Ae L .			(58)
Неизвестная постоянная А определяется при t = 0+:
i 0 iпр 0 iсв 0 Im пр sin A.			(59)

Величина i(0+) определяется на основании первого правила коммутации:

i(0+) = i(0–) = 0,

(60)

так как до коммутации ток был равен нулю.

Следовательно,

0 Im пр sin A,

(61)

20

откуда

A Im пр sin .

(62)

Ток в цепи

	R
i Imпр sin t Imпр sin e		t .
	L		(63)

График функции i(t) представлен на рис. 11.

Если коммутация происходит при , то начальное значение свобод-

2

ного тока iсв 0	максимально, а именно	iсв 0	Imпр , и ток переходного ре-
жима достигает	экстремального значения в		конце первого	полупериода
(см. рис. 11).
i
Im пр sin α
	iпр
	0,5T		T	t
–Im пр sin α	iсв

i

Рис. 11. Зависимость тока от времени в переходном режиме при α = 90º

Если же коммутация происходит при = 0, то в цепи сразу наступает ус-

тановившийся режим без переходного процесса.

Сравнение расчетов переходного процесса при постоянном (2.2.1) и сину-

соидальном (2.2.4) напряжении показывает, что методика расчета одна и та же,

различие состоит в определении токов установившихся режимов до и после коммутации.

21

2.2.5.Включение цепи R, C на синусоидальное напряжение

Вмомент времени t = 0 цепь, состоящая из сопротивления R и

емкости С (рис. 12), включается на синусоидальное напряжение

u Um sin t .

i	R			С

u

uС

		Рис. 12. Расчетная схема
Исходное уравнение имеет вид:
					uR uC u,						(64)
где uR = Ri ;
i C	duC	,
	dt
или
		RC	duC		u	U		m	sin t .		(65)
			dt		C
Характеристическое уравнение имеет вид:
					RCp 1 0,						(66)
и, соответственно, корень уравнения
					p		1			.	(67)
							RC
Переходное напряжение в цепи состоит из суммы принужденной и сво-
бодной составляющих:
				uC uC пр uC св.							(68)
Свободная составляющая
					u	B еpt .					(69)
					C св

22

Принужденную составляющую целесообразно рассчитывать комплекс-

ным методом:

UСmпр j

1

Imпр UСmпрej ;

(70)

C

uC пр UCm пр sin t ,

(71)

Um

Umej

j

j

где Im пр

Im прe

Im прe

– комплексная амплитуда тока;

Z

z ej

z

R2

1

– модуль комплексного сопротивления;

2 2

С

1

arctg

С

– аргумент комплексного сопротивления;

R

Im пр

Um

– амплитуда принужденной составляющей тока;

z

UCm пр– амплитуда принужденной составляющей напряжения на емкости;

90

– начальная фаза принужденной составляющей напряжения на

емкости.

Мгновенное значение принужденной составляющей напряжения на ем-

кости
uC пр Jm UCm прej ej t UCm пр sin t .	(72)

Постоянная В определяется по уравнению:

1 t

u U	Cm пр	sin t Bе RC	,	(73)
C

при t = 0+

uC 0 uC пр 0 uC св 0 UCm пр sin t B.

(74)

Величина uC 0 определяется на основании второго правила комму-

тации:

uC 0 uC 0 0.

(75)

23

Следовательно,

0 UCm пр sin B,			(76)
откуда
B UCm пр sin .			(77)
Напряжение на емкости
	1	t
uC UCmпр sin t UCmпр sin e RC .			(78)

График функции uC t представлен на рис. 13.

Если коммутация происходит при , то начальное значение свобод-

2

ной составляющей напряжения на емкости uC св 0 максимально, а именно

uC св 0 UCmпр , и переходное напряжение достигает экстремального значения в

конце первого полупериода (см. рис.13).

Если же коммутация происходит при = 0, то в цепи сразу наступает ус-

тановившийся режим без переходного процесса.

uC

UCm пр sin ψ

uC пр

0,5T

T

t

uC св

–UCm пр sin ψ

uC

Рис. 13. Зависимость напряжения на емкости от времени в переходном режиме при ψ = 90º

24

2.2.6. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи с индуктивностью при воздействии постоянной ЭДС

Условие задачи: определить токи i1, i2, i3 и напряжение на индук-

тивности после замыкания ключа в схеме, представленной на рис. 14.

Исходные параметры: R1 = 10 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 10 Ом; Е = 100 В;

L = 0,1 Гн.

Расчет переходного процесса складывается из отдельных этапов, которые являются типичными при использовании классического метода для электри-

ческих цепей любой топологии и сложности.

1. Установившийся режим до коммутации. Имеет место установив-

шийся режим постоянных токов (рис. 15). При этом ветвь с током i3 разомкну-

та, поэтому I3 = 0 и схема содержит только один контур. Для определения зна-

чений токов и других представляющих интерес величин на данном этапе при-

меняется один из известных способов расчета цепей постоянного тока. Чаще

всего для этой цели используются законы Кирхгофа.

R1

a

i3

R1 I1 I3 = 0

i1

i2

R2

R2

E

1

2

R3 E

I2

L

b

Рис. 15. Схема для расчета Рис. 14. Расчетная схема установившегося режима

до коммутации В рассматриваемом случае по второму закону Кирхгофа

R1I1 R2I2 E,	(79)
или, учитывая, что I1 I2,
R1 R2 I1 R1 R2 I2 E,	(80)

25

откуда

	I I		2				E			;	(81)
						R	R
	1
				1			2
	I I			100				5A.
	1	2		10 10

По полученным значениям далее записываем:

i1 0 I1 5A;

(82)

i2 0 I2 5A.

2. Дифференциальные уравнения описывают токи и напряжения с мо-

мента t 0 и чаще всего записываются по законам Кирхгофа:

	узел а	i1 i2	i3			0;
									di2
	контур 1	R i R i L								E;
		11	2 2						dt
					di			(83)
	контур 2	R2i2	L		2			R3i3 0;
						dt
			di
		uL L		2		.
			dt

Решение этой системы для каждой неизвестной, как и ранее, представ-

ляется в форме:

i1 i1пр i1св;

i2 i2 пр i2 св;

(84)

i3 i3пр i3св;

uL uL пр uL св,

где i1пр, i2 пр ,i3пр, uL пр – принужденные составляющие;

i1св, i2 св, i3св, uL св – свободные составляющие.

3. Принужденные составляющие определяются из рассмотрения уста-

новившегося режима, наступающего после переходного процесса (рис. 16).

По законам Кирхгофа записывается система алгебраических уравнений:

26

i			i			i			0;
	1 пр			2 пр			3 пр
				R2i2			пр E;			(85)
R1i1 пр
R i					R i			0
		2 2 пр				3 3 пр

или

i1пр i2 пр i3пр 0;

10i1пр 10i2 пр 100; (86)

10i2 пр 10i3пр 0.

i1 пр	R1	a

E				R2			R3
				i2 пр			i3 пр

b

Рис. 16. Схема для расчета установившегося режима после коммутации

Решение системы (86) дает такие результаты:

i1пр = 6,67 А;

i2пр = 3,33 А;

i3пр = 3,33 А.

Принужденная составляющая напряжения на индуктивности определяет-

ся согласно выражению:

	uLпр	L	di2пр	0,	(87)
			dt

так как i2пр= const.

4. Свободные составляющие. Сначала необходимо получить характерис-

тическое уравнение и найти его корни. Для этого существует несколько путей:

а) непосредственное преобразование системы дифференциальных урав-

нений (83) к уравнению относительно одной неизвестной;

б) через определитель коэффициентов системы (83);

в) по входному сопротивлению схемы.

27

Наиболее удобными являются два последних способа, поэтому остано-

вимся только на них.

Получение характеристического уравнения через определитель сис-

темы дифференциальных уравнений. Вводя замену р ddt, переписываем систему (83) в виде:

	i2 i3	0;
i1				(88)
R1i1 R2		Lp i2 E;
R Lp i R i 0;
	2	2	3 3

По левой части уравнений (88) составляем определитель коэффициентов

1	1	1
R1	R2 Lp	0		(89)
0	R2 Lp R3		.

Приравнивая последний к нулю, получаем характеристическое уравнение

R1 R3 Lp R1R2		R1R3 R2R3 0,		(90)
корень которого
p	R1R2 R1R3 R2R3		;	(91)
	R1	R3 L

p 150c 1.

Получение характеристического уравнения через входное сопротив-

ление. Здесь используется аналогия с комплексным сопротивлением.

Входное комплексное сопротивление схемы (см. рис. 14) для послеком-

мутационного состояния

Z R		R2	j L R3		.	(92)
1		R R		j L
	2		3

Заменяя j на р и приравнивая полученный результат к нулю, получаем:

	R	R2 pL R3			0.	(93)
		R	R	pL
	1
		2	3

28

Легко убедиться в том, что преобразование соотношения (93) приводит к характеристическому уравнению (90).

Так как характеристическое уравнение имеет единственный корень, то свободные составляющие записываются в следующей форме:

i

A

e 150t ;

i

A

e 150t ;

i

A

e 150 t ;

u

L св

A

e 150t . (94)

1св

1

2 св

2

3св

3

4

5. Определение постоянных. В результате расчета мы получили сле-

дующие выражения для неизвестных:

i1 i1 пр i1 св 6,67 A1 e 150 t;

i2 i2 пр i2 св 3,33 A2 e 150 t;

(95)

i3 i3 пр i3 св 3,33 A3 e 150 t;

uL uL пр uL св A4 e 150 t.

Чтобы определить неизвестные постоянные А1, А2, А3, А4, необходимо сначала вычислить начальные значения i1 0 , i2 0 , i3 0 и uL 0 . Пос-

ледние определяются как решение системы алгебраических уравнений, полу-

чаемых из системы дифференциальных уравнений (83), записываемой при t 0 в виде:

i1 0 i2 0 i3 0 0;
				0 uL 0 E;	(96)
R1i1 0 R2i2
R i		0 u	L	0 R i 0 0.
	2 2			3 3

По первому правилу коммутации i2 0 i2 0 5. Перенося это зна-

чение в правую часть уравнений (96), получаем систему

i1 0 i3 0 5;

10i1 0 uL 0 50;	(97)
10i3 0 uL 0 50

с тремя неизвестными i1 0 , i3 0 и uL 0 в левой части. Решение систе-

мы (97) дает такие результаты:

i1 0 = 7,5 А;

i3 0 = 2,5 А;

uL 0 = – 25 В.

(98)

29