Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

uL	L	di	. . LpI p Li 0+	(224)
		dt

и ток в емкости

i	C	duC	. . I	C	p CpU	C	p Cu	0+ ,	(225)
C		dt					C

где I(p), IC(p) и UC(p) – соответственно изображения тока в индуктивности, ем-

кости и напряжения на емкости.

Из выражения (225) можно получить изображение напряжения на ем-

кости UC (p):

UC p	1	IC p	uC 0	.	(226)
	Cp
			p

Преобразование Лапласа является линейным, поэтому оно характеризует-

ся следующими свойствами.

1. Сумме оригиналов соответствует сумма изображений:

fk t . . Fk p .

(227)

kk

2.Произведению оригинала на постоянный множитель соответствует ум-

ножение изображения на тот же множитель:

А f t . .АF p .

(228)

Перечисленных особенностей достаточно для преобразования дифферен-

циальных уравнений электрических цепей и получения изображений представ-

ляющих интерес физических величин.

Иллюстрацией прямого преобразования является следующий пример.

Схема на рис. 33 в момент коммутации подключается к источнику посто-

янной ЭДС. Поскольку до замыкания ключа ток и напряжение на элементах схемы отсутствовали, начальные условия нулевые:

i 0	i 0 0;	(229)
uC 0	uC 0 0,	(230)

и, например, для тока можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа: 60

Ldi Ri		1	i dt E.	(231)
dt		C
i	R		L	C
E
Рис. 33. Расчетная схема

На основе выражений (215) – (217), (224) и (226) – (228) с учетом нулевых начальных условий (229), (230) записываются соответствия

		i . .		I p ;				(232)
		Е		.	E
				.		;		(233)
					p
L		di	. . LpI p ;					(234)
		dt
	Ri . . RI p ;							(235)
1	i dt			. .	1		I p	(236)
C					Cp

и формируется алгебраическое уравнение для изображений

LpI p	+ RI p +	1	I p =	E	,	(237)
		Cp
				p

решение которого записывается в виде:

I p		CE
			.	(238)
	LCp2
		RCp 1

В итоге получили изображение I(p) тока i.

При расчете переходных процессов в разветвленных цепях изображения определяются в результате решения систем уравнений, аналогичных (237).

61

Обратное преобразование. Из приведенного примера видно, что изо-

бражение (238) имеет структуру так называемой рациональной дроби, пред-

ставляющей собой отношение двух полиномов параметра р. В изображе-

нии (238) полином (многочлен) числителя имеет нулевую степень. В общем случае степень полинома числителя не равна нулю, поэтому для представляю-

щей интерес переменной можно записать:

X p	M p		a pm	a pm 1	... a
			0	1	m	.	(239)
	N p		b0 pn b1pn 1
					... bn

Переход от изображения Х(р) к функции времени (оригиналу) x(t), т. е.

обратное преобразование, чаще всего осуществляется с помощью так называе-

мых формул разложения. Для случая простых (некратных) корней знаменателя изображения формула разложения имеет вид:

	n	M p	k
	x t				epkt	,	(240)
		N pk
	k 1

где pk – корень знаменателя (уравнения b0 pn b1pn 1 ... bn= 0);

N pk значение производной знаменателя, получаемое на основании со-

отношения

N			d		n	b1p	n 1		(241)
		p dp b0 p						... bn

при подстановке значения корня р = pk.

Количество составляющих в формуле (240) равно числу корней знамена-

теля изображения n.

Применительно к изображению (238) процедура обратного преобразова-

ния выглядит следующим образом.

Изображение тока

I p	M p			CE
						,	(242)
			LCp2	RCp 1
	N p

где M p CE;

N p LCp2 RCp 1.

62

Корни уравнения LCp2 RCp 1 0:

p

R

R2

1

;

4L2

1

2L

LC

;

(243)

p

R

R2

1

.

2

2L

4L2

LC

Производная знаменателя

N p 2LCp RC.

(244)

Оригинал по соотношению (240) имеет вид:

2

M p

M

p

M

p

2

x t

k

epkt

1

ep1t

ep2t

k 1 N pk

N

p1

N p2

(245)

E

ep1t

E

ep2t.

2Lp1 R

2Lp2 R

В случае кратных корней формула разложения имеет более сложную структуру:

x t

1

d

S 1

M p

p pS S

ept

,

(246)

S 1 !dpS 1

N p

p p

S

где pS значение корня знаменателя изображения (уравнения N p 0);

S количество кратных корней, или кратность корня pS .

Пример применения формулы (246) приведен ниже.

Расчет переходных процессов в сложных электрических цепях характери-

зуется высокой степенью полиномов знаменателей N p , поэтому вероятны сочетания простых и кратных корней. В этих случаях применяются комбиниро-

ванные формулы, состоящие из двух частей: формулы (240) для простых кор-

ней и (246) для кратных.

3.2. Особенности применения операторного метода

Условие задачи: в схеме на рис. 22 определить закон изменения то-

ка i1(t) в переходном процессе.

63

Переходные процессы в схеме, изображенной на рис. 22, описываются системой дифференциальных уравнений (137):

i1 i2 i3 0;
	di
L	1	Ri				U;
	dt		2				(247)
Ri			u			0;
	2			C
				duC
i	C				.
3				dt

На основании формул (217), (224) и (226) – (228) записываются соответ-

ствия оригиналов и изображений:

U

.

U

.

;

(248)

p

i1

. . I

p ;

i2 . .

I

2

p ;

i3 . . I

3

p ;

(249)

1

u . .

U

C

p ;

(250)

C

Ri2 . .

RI2 p ;

(251)

L

di1

. .

LpI

p

Li

0 ;

(252)

dt

1

1

C

duC

. . CpU

C

p

C u

0 ,

(253)

dt

C

по системе (247) формируется система уравнений для изображений:

	I1 p I2 p I3 p 0;
								U
			p Li1 0 R I2				p
	LpI1								;
								p
				p U		p 0;			(254)
	R I		2		C
		p CpUC p CuC 0 ,
	I3

которой может быть сопоставлена операторная схема замещения, приведенная на рис. 34.

64

Система (254) преобразуется переносом известных значений Li1(0+) и

CuC(0+) вправо:

	I1 p I2 p I3 p 0;
								U
			p R I2				p			0 ;
	LpI1								Li1
								p
				p						(255)
	R I		2		U	C	p 0;
		p CpUC					p CuС 0 ,
	I3

затем любым из известных способов решения алгебраических уравнений опре-

деляется изображение интересующей величины:

RLC i1(0 ) p2	RCU RC uC (0 ) Li1	(0 ) p U	(256)
I1 p	p RLCp2 Lp R	,

где начальные условия i1(0+) и uC(0+) входят в состав коэффициентов полинома числителя.

	I1 p					I3 p
						I2 p			1
U	I11 p			R						Cp
						I22 p
p	Lp	Li1 0						uC 0

Рис. 34. Операторная схема замещения

3.2.1. Апериодический режим

Апериодический режим в схеме на рис. 22 имеет место при следующих зна-

чениях параметров: R1 = 20 Ом; R = 15 Ом; L = 0,025 Гн; С = 20 мкФ; U = 140 В.

Начальные условия (п.2.3.1): i1(0+) = i1(0–) = 4 А; uC(0+) = uC(0–) = 60 В.

Подстановка указанных значений в систему (255) приводит к выражению:

65

I	p	M p		3010· 6 p2 0,124 p 140		.	(257)
1		N p		p 7,510·	6 p2 0,025p 15

Чтобы осуществить обратное преобразование, т. е. переход к оригиналу i1(t), обращаемся к формуле разложения (240) и записываем уравнение

N p p 7,5·10 6 p2 0,025p 15 0,

(258)

корни которого – р1 = 0; р2 = –784,7 с–1; р3 = –2548,6 с–1 совпадают с корнями характеристического уравнения, приведенного в п. 2.3.1.

Затем выражаем производную знаменателя

N p

d

N p 22,5·10 6 p2

0,05p 15

(259)

dp

и находим значения M p

и N p

:

k

k

M p1 M 0 140;

(260)

M p2 30·10 6 784,7 2

0,124 784,7 140 61,166;

(261)

M p3 30·10 6 2548,6 2

0,124 2548,6 140 18,834;

(262)

N p1 N 0 15;

(263)

N p2 22,5·10 6

784,7 2

0,05 784,7 15 10,381;

(264)

N p3 22,5·10 6

2548,6 2

0,05 2548,6 15 33,715.

(265)

Подстановка значений (260) – (265) в уравнение (240) дает оригинал:

3

M p

k

M p

M

p

2

M

p

i1 t

epkt

1

ep1t

ep2t

3

ep3t

;

(266)

N p1

N p3

k 1 N pk

N p2

i

t

140

61,166

e 784,7t

18,834

e 2548,6t

1

15

10,381

33,715

9,333 5,892e 784,7t 0,559 e 2548,6t.

Значение i1(t) совпадает с полученным в п. 2.3.1 классическим методом для той же схемы при тех же параметрах.

66

3.2.2. Колебательный режим

Исходные параметры схемы на рис. 22: R1 = 20 Ом; R = 60 Ом; L = 0,025 Гн;

С = 20 мкФ; U = 140 В. Начальные условия (п.2.3.2): i1(0+) = i1(0–) = 1,75 А; uC(0+) = uC(0–) = 105 В.

Подстановка указанных значений в систему (255) приводит к выражению:

I p

M p

52,510·

6 p2 0,0857 p 140

.

(267)

1

N

p

p 3010·

6 p2 0,025p 60

Решая далее уравнение

N p p 3010·

6 p2

0,025p 60 0,

(268)

находим корни р1 = 0;

р2 = – 417 + j1350; р3 = – 417 – j1350, которые совпа-

дают с корнями характеристического уравнения, приведенного в п. 2.3.2.

Затем выражаем производную знаменателя

N p

d

p 3010·

6 p2 0,025p 60 9010·

6 p2 0,05p 60

(269)

dp

и находим значения M p

и N p

:

k

k

M p1 M 0 140;

(270)

M p2 52,5·10 6

417

j1350 2 0,0857 417 j1350 140

(271)

17,6 j56,5 59,2 e j72,2;

M p3 52,5·10 6 417 j1350 2 0,0857 417 j1350 140

(272)

17,6 j56,5 59,2 e j72,2;

N p1 N 0 60;

(273)

N p2 90·10 6 417 j1350 2 0,05 417 j1350 60

(274)

109,2 j33,8 114,3 ej197,2;

N p3 90·10 6 417 j1350 2 0,05 417 j1350 60

(275)

109,2 j33,8 114,3 e j197,2;

67

Следует обратить внимание на то, что подстановка сопряженных комп-

лексов в один и тот же полином дает сопряженные результаты.

Как и в случае п. 3.2.1, для определения оригинала i1(t) подставляем в формулу (240) значения, полученные в (270) – (275):

i

t

M p1

ep1t

M p2

ep2t

M p3

ep3t;

(276)

1

N p1

N p2

N p3

i

t

140

59,2еj72,7

е 417 j1350 t

59,2е j72,7

е 417 j1350 t

1

60

114,3еj197,2

114,3е j197,2

2,33 0,518e j124,5 e 417tej1350t 0,518ej124,5 e 417te j1350t

2,33 0,518e 417t cos 1350t 124,5 jsin 1350t 124,5

cos 1350t 124,5 jsin 1350t 124,5

2,33 1,036e 417tcos 1350t 124,5

2,33 1,036e 417tsin 1350t 34,5 .

Значение i1(t) совпадает с полученным в п. 2.3.2 классическим методом для той же схемы при тех же параметрах.

3.2.3. Граничный режим

Граничный режим имеет место в схеме, приведенной на рис. 22, при сле-

дующих параметрах: R1 = 20 Ом; R = 17,68 Ом; L = 0,025 Гн; С = 20 мкФ. На-

чальные условия (п.2.3.3): i1(0+) = i1(0–) = 3,72 А; uC(0+) = uC(0–) = 65,7 В.

Изображение тока (256) определяется по формуле:

I	p	M p		32,88510· 6 p2		0,1193 p 140	.	(277)
1		N p		p 8,8410·	6 p2	0,025p 17,68
Решение уравнения
	N p p 8,84·10 6 p2 0,025p 17,68 0							(278)

дает корни р1 = 0; р2 = – 1414 с–1; р3 = – 1414 с–1, из которых два корня одина-

ковые, т. е. pS p2 p3= – 1414 c–1.

68

С учетом значений корней знаменатель изображения (277) может быть представлен в виде:

N p 8,84·10 6 p p2 2828p 2·106

8,84·10 6 p p 1414 p 1414 8,84·10 6 p p pS p pS .

В итоге составляющая тока i1(t) для корня p1 0 формируется на основе формулы (240) для простых корней, а формула (246) применяется для корня p pS 1414 c–1 кратности 2:

t

M

p

ep1t

d M p

p

pS

2

i1

1

ept

;

(279)

N

p1

N p

dp

p p

S

t

M 0

d

M p p pS 2 ept

i1

N 0

dp 8,84·10 6 p p p p p

S

S

p p

S

M

0

d

M p ept

,

N 0

dp 8,84·10 6 p

p p

S

где M p1 M 0 140;

N p 26,52·10 6 p2 0,05p 17,68;

N p1 N 0 17,68.

После определения производной дроби, стоящей в квадратных скобках, придем к выражению:

d

M p ept

p M p ept

i1 t

7,92

dp

8,84·10 6 p2

(280)

p M p

p M p t M p

p pS

pt

7,92

e

,

8,84·10 6 p2

p 1414

где M p 65,7710·

6 p 01193,

.

Подстановка значения pS 1414с–1 в выражение (280) дает

M pS 32,885·10 6 1414 2 0,1193 1414 140 37,06;

69