Частина 3
.pdf“Курс вищої математики. Частина 3.”
Теорія стійкості вирішень диференціальних рівнянь є одним з розділів якісної теорії диференціальних рівнянь, яка присвячена не знаходженню якого – або вирішення рівняння, а вивченню характеру поведінки цього рішення при зміні початкових умов або аргументу.
Цей метод особливо важливий, оскільки дозволяє робити вивід про характер рішення без безпосереднього знаходження цього рішення. Тобто навіть в тих випадках, коли вирішення диференціального рівняння взагалі не може бути знайдене аналітично.
Хай є деяке явище, описане системою диференціальних рівнянь:
dyi |
= f |
i |
(t, y , y |
2 |
,..., y |
n |
); |
(i =1,2,..., n) |
(1) |
|
|||||||||
dt |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
і початкові умови: yi (t0 ) = yi0 .
Для конкретного явища початкові умови визначаються досвідченим шляхом і тому неточні.
Теорема. (про безперервну залежність рішення від початкових умов)
Якщо права частина диференціального рівняння безперервна і по змінній у має обмежену приватну похідну (f y′ ≤ N ) на області прямокутника, обмеженого, то
рішення
y(t) = y(t,t0 , y0 ) що задовольняє початковим умовам, безперервно залежить від початкових даних, тобто для будь-якого, при якому якщо
y0 − y0 < 0, то y(t,t0 , y0 ) − y(t,t0 y0 ) < ε за умови, що
|
|
t0 −t |
|
|
< T; |
T < T0 , де |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T0 |
= min a, |
|
, |
|
|
|
, |
M = max |
f (t, y) |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
N |
|
|
|
M |
(t, y) D |
|
|
Ця теорема справедлива як для одного диференціального рівняння, так і для системи рівнянь.
Визначення. Якщо ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} - вирішення системи
диференціальних рівнянь, то це рішення називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-якогоε > 0 ∆ > 0 , таке, що для будь-якого вирішення y(t) = {y1 (t), y2 (t),..., yn (t)} тієї ж системи, початкові умови якого задовольняють нерівностям
|
yi (t0 ) −ϕi (t0 ) |
|
< ∆ |
|
|
|
|||
i = (1, n |
) |
||||||||
|
|
||||||||
справедливі нерівності |
t [t0 ,∞) |
||||||||
|
yi (t) −ϕi (t) |
|
< ε |
||||||
|
|
(Ляпунов Олександр Михайлович (1857 – 1918) академік Петерб. АН)
Тобто можна сказати, що рішення (t) ϕстійке по Ляпунову, якщо близькі до
нього за початковими умовами рішення залишаються близькими і при t ≥ t0. |
|
||||||||||||||||||
Якщоlim |
|
yi (t) −ϕi (t) |
|
|
|
то рішення (t) ϕназивається асимптотика |
|||||||||||||
|
= 0, i = (1, n |
) , |
|||||||||||||||||
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стійким. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дослідження |
|
на |
стійкість |
по |
Ляпунову |
довільного |
вирішення |
||||||||||||
ϕ(t) = {ϕ (t),ϕ |
2 |
(t),...,ϕ |
n |
(t)} |
системи |
dyi |
= f |
i |
(t, y , y |
2 |
,..., y |
n |
); |
(i =1,2,..., n) можна |
|||||
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
звести до дослідження на стійкість рівного нулю рішення деякій іншої системи, яка отримана з даною заміною невідомих функцій:
51
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 3.” |
||||
|
|
|
|
xi (t) = yi (t) −ϕi (t), |
|
i =1,..., n. |
|
|
|
|
||||||||||
Тоді: |
|
|
|
dyi |
|
|
dxi |
|
dϕi |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
||||||||
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||
|
= f |
[t, x |
+ ϕ (t),..., x |
n |
+ ϕ |
n |
(t)]− f |
[t,ϕ (t),...,ϕ |
n |
(t)], |
i =1,..., n. |
(2) |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
dt |
i |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (2) має тривіальне (рівне нулю) рішення xi (t) = 0.
Теорема. Вирішення ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} системи (1) стійке по Ляпунову
тоді і тільки тоді, коли стійко по Ляпунову тривіальне вирішення системи (2).
Це тривіальне рішення називається положенням рівноваги або точкою спокою.
Визначення. Точка спокою |
|
|
xi (t) = 0 системи (2) стійка по Ляпунову, якщо для |
||||||||||||
будь-якого ε > 0 ∆(ε) > 0 таке, що з нерівності |
|
||||||||||||||
слідує |
|
xi (t0 ) |
|
< ∆(ε) |
|
(i =1,...,n) |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
xi (t) |
|
|
|
|
|
(i =1,...,n) |
t ≥ t0 . |
||||||||
|
|
|
|
< ε |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема. (Теорема Ляпунова). Хай задана система |
|||||||||||||||
|
dyi |
= f |
(t, y , y |
2 |
,..., y |
n |
); |
(i =1,2,..., n) |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що має тривіальне рішення yi (t) = 0 .
Хай існує функція, що диференціюється, задовольняє умовам:
1)v( y1 ,..., yn ) ≥0 і v = 0 тільки при у1 = у2 = . = уn =0, тобто функція v має мінімум на початку координат.
2)Повна похідна функції v уздовж фазової траєкторії (тобто уздовж вирішення yi(t) системи (1)) задовольняє умові:
|
dv |
|
n |
∂v |
|
∂yi |
|
n |
∂v |
|
|
||
|
= |
∑ |
|
|
= ∑ |
fi (t, yi ,..., yn ) ≤ 0 |
при |
||||||
|
|
|
|
∂t |
|
||||||||
|
dt |
= |
∂y |
i |
|
= |
∂y |
i |
|
||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|||
Тоді точка спокою yi ≡ 0, |
i =1,..., n |
стійка по Ляпунову. |
|
||||||||||
Якщо ввести додаткову вимогу, щоб зовні скільки завгодно малій околиці |
|||||||||||||
початку координат (y12 +... + yn2 |
|
≥ ∆) виконувалася умова |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
≤ −β < 0, (t ≥ t0 ), |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
де β - постійна величина, то точка спокою yi ≡ 0, i =1,..., n |
асимптотика стійка. |
Функція v називається функцією Ляпунова.
Класифікація точок спокою.
Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
dxdt = a11 x + a12 y
dy = a21 x + a22 ydt
Характеристичне рівняння цієї системи має вигляд:
52
“Курс вищої математики. Частина 3.”
|
a11 −λ |
a12 |
|
= 0 |
|
|
|||
|
a21 |
a22 −λ |
|
|
Розглянемо наступні можливі випадки:
1) Коріння характеристичного рівняння дійсне, негативне і різне.
λ1 < 0, λ2 < 0, λ1 ≠ λ2 .
Точка спокою x = y ≡ 0 буде стійка. Така точка спокою називається стійким вузлом.
2) Коріння характеристичного рівняння дійсне і
λ1 = 0, λ2 < 0 або λ1 = λ2 < 0 .
В цьому випадку точка спокою також буде стійка.
3) Хоч би один з коріння λ1 ,λ2 позитивний.
В цьому випадку точка спокою x = y ≡ 0 нестійка, і таку крапку називають нестійким сідлом.
4) Обидва корені характеристичного рівняння позитивні λ1 > 0, λ2 > 0 .
В цьому випадку точка спокою x = y ≡ 0 нестійка, і таку крапку називають нестійким вузлом.
|
|
λ1t |
|
|
λ2t |
|
|||
Якщо отриманого вирішення |
x = C1α1e |
+ C2 |
β1e |
системи виключити параметр t, то |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
λ1t |
|
|
|
λ2t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = C1α2 e |
+ C2β2 e |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
отримана функція y = ϕ(t) дає траєкторію руху в системі координат XOY. |
|||||||||
Можливі наступні випадки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
β |
|
α α
Стійкий вузол. Нестійкий вузол. Сідло.
5) Коріння характеристичного рівняння комплексне λ1 = p +iq, λ2 = p −iq .
Якщо р = 0, тобто коріння чисто уявне, то точка спокою (0, 0) стійка по Ляпунову. Така точка спокою називається центром.
Якщо p< 0, то точка спокою стійка і називається стійким фокусом. Якщо p > 0, то точка спокою нестійка і називається нестійким фокусом.
Рівняння математичної фізики.
Рівняння в приватних похідних.
53
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Визначення. Диференціальним рівнянням в приватних похідних називається рівняння щодо невідомої функції декілька змінних, її аргументів і її приватних похідних різних порядків.
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
∂u |
|
|
∂k u |
|
|
|
|
|||
F x |
, x |
|
,..., x |
|
, |
|
, |
|
|
,..., |
|
|
,..., |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
∂ |
|
∂ |
|
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
2 |
|
n |
|
k1 |
kn |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x1 |
... |
xn |
|
|
Порядком диференціального рівняння в приватних похідних називається порядок старшої похідної, що входить в це рівняння. Вирішенням рівняння буде деяка функціяu = u(x1 , x2 ,..., xn ) , яка обертає рівняння в тотожність.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння в приватних похідних першого порядку.
Диференціальне рівняння в приватних похідних першого порядку від функції u = u(x1 , x2 ,..., xn ) можна в загальному вигляді записати як
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
∂u |
|
|
|||
|
, x2 |
,..., xn , |
, |
,..., |
|
= 0 |
||||||
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
||||||||
F x1 |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
Лінійне рівняння в приватних похідних має вигляд:
X |
|
(x , x |
|
,..., x |
n |
) |
∂u |
+ X |
|
(x , x |
|
,..., x |
n |
) |
∂u |
+... + X |
n |
(x , x |
|
,..., x |
n |
) |
∂u |
= 0 , |
(1) |
||
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де Xi – деякі задані функції.
Очевидно, що одним з вирішень такого рівняння буде функція u = C.
Розглянемо систему рівнянь: |
|
dx1 |
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= ... = |
; |
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
|
|
|
||||||||
або |
dx1 |
= |
X1 |
; |
dx2 |
= |
X 2 |
; ... |
|
|
|
dxn−1 |
|
= |
X n−1 |
- така система називається нормальною. |
|||||||||||||||||||||
|
|
dxn |
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dxn |
X n |
|
X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Загальне вирішення цієї системи має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= f |
(x |
n |
,C ,C |
2 |
,...,C |
n−1 |
) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
= f2 (xn ,C1 ,C2 ,...,Cn−1 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.......................................... |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
−1 |
= |
f |
n−1 |
(x |
n |
,C ,C |
2 |
,...,C |
n−1 |
) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Якщо вирішити ці рівняння щодо постійних З, отримаємо: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
(x , x |
2 |
,..., x |
n |
) |
= C |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 (x1 , x2 ,..., xn ) = C2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................................. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
n−1 |
(x , x |
2 |
,..., x |
n |
) = C |
n−1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Кожна з функцій ϕ є інтегралом системи (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Теорема. |
Якщо ϕ(x1 , x2 ,..., xn ) |
|
|
|
|
|
- |
|
інтеграл |
системи (2), то функція |
u = ϕ(x1 , x2 ,..., xn ) - вирішення рівняння (1).
54
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Класифікація основних типів рівнянь математичної фізики.
1) Хвилеве рівняння. (Рівняння коливань струни, електроколивання, крутильні коливання валу і ін.) Це просте рівняння гіперболічного типу.
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
|
∂t 2 |
∂x2 |
||
|
2) Рівняння теплопровідності. (Рівняння Фурье) Це просте рівняння параболічного типу. Описує процеси теплопровідності, фільтрації рідини і газу, деякі питання теорії вірогідності.
∂u = a2 ∂2u ∂t ∂x2
3) Рівняння Лапласа. Це просте рівняння еліптичного типу. Описує магнітні і електричні поля, гідродинаміку, дифузію і ін.
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 |
|
∂x2 |
∂y2 |
|||
|
|
У цих рівняннях функція u залежить від двох змінних, проте, завдання може бути розширена для випадку три змінних:
1) |
Хвилеве рівняння: |
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
+ a |
2 |
∂2u |
; |
|
|
|
||||||
∂t 2 |
|
∂x |
2 |
|
∂y2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
Рівняння теплопровідності: |
∂u |
= a |
2 |
|
∂2u |
+ a |
2 |
∂2u |
; |
|||||||
∂t |
|
|
∂x2 |
|
∂y2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
Рівняння Лапласа: |
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||
∂x2 |
∂y |
2 |
∂z 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо докладніше кожне з цих рівнянь.
Рівняння коливань струни.
Визначення. У математичній фізиці струною називається тонка нитка, в якій можливе виникнення напруги тільки в подовжньому, але не в поперечному напрямі.
Хай кінці натягнутої струни закріплені в точках х = а і x = b, напругу, що виникає в ній, позначимо Т. Будем також вважати, що щільність струни постійна на всьому її протязі.
Допустимо, що у момент t0 = 0 струна виведена із стану рівноваги і здійснює малі коливання.
Відхилення струни в кожній крапці з координатою х у момент часу t позначимо
як
u = u(x,t) |
a ≤ x ≤ b, t ≥ 0 |
u
C
55
“Курс вищої математики. Частина 3.”
B |
α |
|
A |
|
|
D |
|
|
0 |
а x x+x |
b x |
На довільний елемент довжини нитки (х, х + ∆х) діють дві сили натягнення AD і BC . При цьому:
|
|
|
∂u(x + ∆x,t) |
|
|
AD |
= |
BC |
= T; tgα = |
; |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
Якщо вважати коливання малими, то можна прийняти: tgα ≈ sin α
Тоді проекція сили BC на вісь u:
|
|
T sin α ≈ T |
∂u(x + ∆x,t) |
|
||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
Проекція сили AD на вісь u: |
|
|
∂u(x,t) |
|
|
|
||
|
|
|
−T |
|
|
|
||
Знаходимо суму цих проекцій: |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
∂u(x + ∆x,t) |
−T |
∂u(x,t) |
= T |
∂2u(x,t) |
∆x. |
||
∂x |
|
|
∂x |
∂x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Вираз, що стоїть в правій частині рівності отримано в результаті застосування теореми Лагранжа ( див. Теорема Лагранжа ) до виразу, що стоїть зліва.
Твір маси на прискорення даного елементу струни рівний:
ρ∆x ∂2u(x,t) ,
∂t 2
де ρ - щільність струни.
Прирівнюючи отриманий вираз до значення проекції сили, отримаємо:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ∆x |
∂2u |
= T |
∂2u |
∆x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
∂x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Або |
∂2u |
= a |
2 |
∂2u |
, |
a |
2 |
= |
T |
; |
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
|
∂x2 |
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для повного визначення руху струни отриманого рівняння недостатньо. Функція u(x, t) повинна ще задовольняти граничним умовам, що описують перебування струни на кінцях (в точках x = а і x = b) і початковим умовам, що описують стан струни у момент часу t = 0.
Сукупність граничних і початкових умов називається краєвими умовами. Таким чином, завдання Коші полягає в знаходженні вирішення лінійного
диференціального рівняння з приватними похідними другого порядку за початкових умов
u(x,0) = f (x), |
∂u(x,0) |
= F(x), |
|
∂t |
|
і краєвих умовах
u(0,t) = u(l,t) = 0 .
56
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Початкові умови показують, в якому положенні знаходиться струна в початковий момент часу і швидкість кожної її крапки в початковий момент часу.
Функції f(x) і F(x) задані.
Краєві умови показують, що кінці струни закріплені в крапках а = 0, b = l
Рішення задачі Коші методом розділення змінних. (Метод Фурье.)
Вирішення рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
= a |
2 |
|
∂2u |
|||||||||
|
|
|
|
∂t 2 |
|
|
|
|
∂x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
шукатимемо у вигляді u(x,t) = X (x)T (t) |
|
за граничних умов: |
|||||||||||||||
|
X (0)T (t) = 0 |
t > 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
Тоді X(0)= X(l)= 0. |
X (l)T (t) = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставимо рішення в початкове рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
XT |
′′ |
= a |
2 |
|
′′ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X T; |
|||||||||
|
|
1 |
|
T ′′ |
= |
|
X ′′ |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
T |
|
X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Можна показати, що функції Х і Т мають вигляд: |
|
|
|||||||||||||||
X k (x) = sin |
kxπ |
; |
|
|
k =1,2,... |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aktπ |
|
||||
T |
(t) = A cos |
aktπ |
|
+ B |
k |
sin |
; k =1,2,... |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
k |
k |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всі вирішення початкового диференціального рівняння, що задовольняють граничним умовам, можна записати у вигляді:
|
|
|
|
|
aktπ |
|
|
|
aktπ |
kxπ |
|
|
|
u |
|
(x,t) = |
A |
cos |
|
+ B |
|
sin |
|
sin |
|
; |
k =1,2,... |
|
l |
|
l |
l |
|||||||||
|
k |
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
Остаточне вирішення рівняння коливань струни можна записати у вигляді:
∞ |
|
akπ |
|
akπ |
|
kπ |
|
|
u(x,t) = ∑ Ak cos |
|
t + Bk sin |
|
t sin |
|
x, |
||
l |
l |
l |
||||||
k =1 |
|
|
|
|
де Ak
Bk
= |
2 |
∫l |
f (x)sin |
kπ |
xdx; |
|||||
|
|
|
||||||||
|
l |
0 |
|
|
|
l |
||||
= |
|
|
2 |
|
∫l |
F(x)sin |
kπ |
xdx. |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
akπ |
0 |
|
|
|
l |
Рішення задачі Коші методом Даламбера.
( Жан Лерон Д’ламбер (1717 – 1783) – французький математик)
У випадку якщо довжина струни дуже велика, то на коливання, струни, що виникають в середині, кінці струни впливу практично не надають. Тому, розглядаючи коливання нескінченної струни, рівняння
57
“Курс вищої математики. Частина 3.”
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
|
∂t 2 |
∂x2 |
||
|
|||
вирішується тільки за початкових умов: |
|
|
u(x,0) = f (x)
ut′(x,0) = F (x)
Для знаходження рішення введемо нові змінні:
α = x − at; |
β = x + at. |
|
Тоді початкове рівняння приймає вигляд: |
|
|
|
∂2u |
= 0. |
|
∂α∂β |
|
|
|
Вирішенням цього рівняння буде функціяu = ϕ(α) + ψ(β) , де ϕ і ψ - деякі функції, які вважатимемо такими, що двічі диференціюються.
Отримуємо: u(x,t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at).
Якщо продиференціювати отриману відповідь, отримаємо: u′x = ϕ′(x − at) + ψ′(x + at)
ut′ = −aϕ′(x − at) + aψ′(x + at) u′xx′ = ϕ′′(x − at) + ψ′′(x + at) utt′′ = a2 ϕ′′(x − at) + a2 ψ′′(x + at)
Тобто a 2u′xx′ = utt′′ .
Далі з використанням початкових умов знаходимо функції ϕ і ψ.
ϕ(x) + ψ(x) = f (x)
− aϕ′(x) + aψ′(x) = F(x)
Проінтегрував останню рівність на відрізку [0, x], отримуємо:
|
−ϕ(x) + ψ(x) = |
1 |
∫x F( y)dy +C; |
C = const. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ϕ(x) = |
1 |
|
f (x) − |
1 |
|
|
∫x F( y)dy − |
C |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ψ(x) = |
1 |
f (x) + |
1 |
|
|
∫x F( y)dy + |
C |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рішення задачі Коші отримуємо у вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x−at |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
x+at |
|||
u(x,t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at) = |
|
f (x − at) − |
|
∫F( y)dy + |
f (x + at) + |
∫F( y)dy |
|||||||||||||||||||||||
|
2a |
|
2a |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x − at) + f (x + at) |
|
1 |
|
x+at |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
u(x,t) = |
+ |
|
∫F( y)dy. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2a x−at |
|
|
|
|
|
Ця формула називається формулою Даламбера.
Рівняння теплопровідності.
Температуру фізичного тіла в довільній крапці з координатами (x, у, z) у момент часу t можна представити у вигляді функції:
u = u(x, y, z)
58
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Складемо диференціальне рівняння:
|
∂2 |
∂2 |
∂2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
2 + |
|
2 |
|||
Вираз ∆ = |
∂x |
∂y |
∂z |
|||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
2 |
|
∂2u |
∂2u |
∂2u |
||||
|
= a |
|
|
|
2 + |
|
2 + |
|
2 |
|
∂t |
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
називається оператором Лапласа.
Тоді складене нами диференціальне рівняння приймає вигляд:
∂dtu = a2 ∆u
і називається рівнянням теплопровідності в просторі.
Як окремі випадки розглядають:
∂u |
= a |
2 |
∂2u |
- рівняння теплопровідності в стрижні |
|||
∂t |
|
∂x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
∂u |
= a |
2 |
∂2u |
+ a |
2 |
∂2u |
- рівняння теплопровідності на площині. |
∂t |
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|||
|
|
|
|
|
У разі розгляду рівняння теплопровідності в стрижні шукана функція u(x, t) повинна задовольняти записаному вище диференціальному рівнянню, початковій умові u(x,0) = f (x) 0 ≤ x ≤ πі граничним умовам u(0,t) = u(π,t) = 0, t ≥ 0 .
В результаті вирішення диференціального рівняння методом Фурье отримаємо:
|
|
|
∞ |
u(x,t) = ∑bk e−a2k 2t sin kx; |
|||
|
|
|
k =1 |
bk = |
2 |
∫π |
f (t)sin ktdt. |
π |
|||
0 |
|
Відзначимо, що розповсюдження тепла в тілі називається стаціонарним, якщо функція u не залежить від часу t.
Рівняння Лапласа.
Визначення. Функція u(x, y, z) називається гармонійною на областіσ, якщо
вона має безперервні приватні похідні другого порядку на області σ і задовольняє умові
де ∆ - оператор Лапласа. |
|
|
|
|
|
∆u = 0 , |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Рівняння ∆u = |
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 називається рівнянням Лапласа. |
||
∂x |
2 |
∂y2 |
∂z 2 |
|||||
|
|
|
|
Якщо на деякій межі Г тіла підтримувати постійну температуруuГ = f (x, y, z) ,
де f – задана функція, то усередині тіла встановиться єдина постійна температура. З фізичної точки зору це твердження очевидне, проте, даний факт може бути доведений математично.
Математичний доказ цього факту називається завданням Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – німецький математик)
Рішення задачі Дирихле для круга.
59
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Хай в площині XOY є круг радіусу R з центром на початку координат і на його колі задана функція f(ϕ), де ϕ - полярний кут.
Потрібно знайти функціюu(r,ϕ) , яка задовольняє рівнянню Лапласа
|
|
|
|
|
|
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
і при r = R |
u = f (ϕ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишемо рівняння Лапласа в полярних координатах: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂2u |
+ |
|
1 ∂u |
+ |
|
1 |
|
∂2u |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
∂r 2 |
|
r |
|
∂r |
r 2 |
|
∂ϕ2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
r |
2 |
∂2u |
+ r |
∂u |
|
+ |
∂2u |
|
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
∂r 2 |
|
∂r |
|
∂ϕ2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вважаємо |
u = Φ(ϕ)R(r). |
Підставляючи |
|
це |
співвідношення в рівняння Лапласа, |
||||||||||||||||
отримуємо: |
r |
2 |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Φ(ϕ)R (r) |
+ rΦ(ϕ)R |
(r) + Φ (ϕ)R(r) = 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
||
|
|
|
Φ (ϕ) |
= − |
|
|
R (r) + rR (r) |
= −k 2 |
|||||||||||||
|
|
|
Φ(ϕ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(r) |
|
|
Таким чином, маємо два рівняння:
Φ′′(ϕ) + k 2Φ(ϕ) = 0
r 2 R′′(r) + rR′(r) − k 2 R(r) = 0
Загальне вирішення першого рівняння має вигляд: Φ = Acos kϕ + B sin kϕ
Вирішення другого рівняння шукаємо у вигляді: R = r m . При підстановці отримаємо: r 2 m(m −1)r m−2 + rmr m−1 − k 2 r m = 0
m2 − k 2 = 0
Загальне вирішення другого рівняння має вигляд: R = Cr k + Dr −k . Підставляючи отримані рішення в рівнянняu = Φ(ϕ)R(r) , отримаємо:
uk = (Ak cos kϕ + Bk sin kϕ)(Ck r k + Dk r −k )
Ця функція буде вирішенням рівняння Лапласа при будь-якому до ≠ 0.
Якщо до = 0, то Φ′′ = 0; rR′′+ R′ = 0 отже u0 = (A0 + B0ϕ)(C0 + D0 ln r) . Рішення повинне бути періодичним, оскільки одне і те ж значення повторюватиметься через 2π. (Тоді розглядається одна і та ж точка круга.) Тому В0 = 0.
Рішення повинне бути кінцевим і безперервним, тому D0 = 0.
Остаточно отримуємо:
При цьому:
1 π
Bn = πRn −π∫ f (t)sin ntdt
Якщо підставити ці коефіцієнти в отриману вище формулу і провести спрощення, отримуємо остаточний результат рішення задачі Дирихле, який називається
інтегралом Пуассона.
(Сімеон Подіни Пуассон (1781 – 1840) – французького математика)
60