Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

un+1

xn+1

xn

x

lim

= lim

n +1

= lim

= lim

=

x

.

un

xn

n +1

1

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n

1

+

n

Отримуємо, що цей ряд сходиться при

x

<1і розходиться при

x

>1.

Тепер визначимо збіжність в граничних крапках 1 і –1.

При х = 1:

−1 +

1

−

1

+

1

−...

ряд сходиться

за

ознакою

Лейбніца (див. Признак

2

4

Лейбница.).

3

1

1

1

При х = -1: 1+

+

+...

+

+... ряд розходиться (гармонійний ряд).

2

3

n

Теореми Абеля.

(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

∞

Теорема.

Якщо

статечною

ряд

a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn +... = ∑an xn

n=0

сходиться при x = x1, то він сходиться і притому абсолютно для всіх

x

>

x1

.

Доказ. По умові теореми, оскільки члени ряду обмежені, то

a

xn

≤ k,

n 1

де k- деяке постійне число. Справедливо наступна нерівність:

a

n

xn

=

a

xn

x

n

≤ k

x

n

n 1

x

x

1

1

З цієї нерівності видно,

що при x<x1 чисельні величини членів нашого ряду

будуть менше ( в усякому разі не більше ) відповідних членів ряду правої частини записаної вище нерівності, які утворюють геометричну прогресію. Знаменник цієї

прогресії

x

по умові теореми менше одиниці, отже,

ця

прогресія є

рядом, що

x

1

сходиться.

Тому на підставі ознаки порівняння робимо вивід, що ряд ∑

an xn

сходиться, а

значить ряд ∑an xn сходиться абсолютно.

Таким

чином, якщо статечною ряд ∑an xn сходиться в точці

х1, то він

абсолютно сходиться в будь-якій точці інтервалу довжини 2

х1

з центром в точці х = 0.

Слідство. Якщо при х = х1 ряд розходиться, то він розходиться для всіх x > x1 .

Таким чином, для кожного статечного ряду існує таке позитивне число R, що при всіх х таких, що x < R ряд абсолютно сходиться, а при всіх x > R ряд розходиться.

При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R, R) називається

інтервалом збіжності.

Відзначимо, що цей інтервал може бути як замкнутим з однієї або двох сторін, так і не замкнутим.

71

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Радіус збіжності може бути знайдений по формулі:

R = lim an−1

n→∞ an

Приклад. Знайти область збіжності ряду

x +

x2

+

x3

+... +

xn

+...

2!

3!

n!

1

an−1

n!

Знаходимо радіус збіжності R = lim

= lim

(n −1)!

= lim

= lim

n

=

∞

.

n→∞

an

n→∞

1

n→∞

(n −1)!

n→∞

n!

Отже, даний ряд сходиться прилюбом значенні х. Загальний член цього ряду прагне до нуля.

lim xn = 0.

n→∞ n!

Теорема. Якщо статечною ряд ∑an xn сходиться для позитивного значення х=х1, то він сходиться рівномірно в будь-якому проміжку усередині (− x1 ; x1 ) .

Дії із статечними рядами.

1) Інтеграція статечних рядів.

∞

Якщо деяка функція f(x) визначається статечним поряд: f (x) = ∑an xn , то інтеграл від

n=0

цієї функції можна записати у вигляді ряду:

	∞	∞	∞	an
	∫ f (x)dx = ∫∑an xn dx = ∑∫an xn dx = ∑					xn+1 + C
				n +1
	n=0	n=0	n=0

2) Диференціювання статечних рядів.

Похідна функції, яка визначається статечним поряд, знаходиться по формулі:

′	d	∞	n	∞	d		n	∞	n−1
f (x) =		∑an x		= ∑		(an x		)= ∑nan x
					dx
	dx n=0			n=0				n=0

3) Складання, віднімання, множення і ділення статечних рядів.

Складання і віднімання статечних рядів зводиться до відповідних операцій з їх членами:

∞	∞	∞
∑an xn ± ∑bn xn = ∑(an ± bn )xn
n=0	n=0	n=0

Твір двох статечних рядів виражається формулою:

∞	∞	∞
∑an xn ∑bn xn = ∑сn xn
n=0	n=0	n=0

72

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Коефіцієнти сi знаходяться по формулі:

cn = a0bn + a1bn−1 +... + an−1b1 + anb0

Ділення двох статечних рядів виражається формулою:

	∞
	∑an xn	∞
	∞	= ∑qn x	n
	n=0
	∑bn xn	n=0
	n=0
		∞		∞	∞
Для визначення коефіцієнтів qn розглядаємо твір∑qn xn ∑bn xn = ∑an xn , отриманий
		n=0		n=0	n=0

із записаної вище рівності і вирішуємо систему рівнянь:

a0 = q0b0
a		= q b + q b
1		0 1	1 0
		= q0b2 + q1b1 + q2b0
a2
....................................
		= q b	+ q b		+... + q	b
a	n			n−1
		0 n	1			n 0

Розкладання функцій в статечні ряди.

Розкладання функцій в статечній ряд має велике значення для вирішення різних завдань дослідження функцій, диференціювання, інтеграції, вирішення диференціальних рівнянь, обчислення меж, обчислення наближених значень функції.

Можливі різні способи розкладання функції в статечній ряд. Такі способи як розкладання за допомогою рядів Тейлора і Маклорена були розглянуті раніше. (Див. Формула Тейлора. )

Існує також спосіб розкладання в статечній ряд за допомогою ділення алгебри. Це – найпростіший спосіб розкладання, проте, придатний він тільки для розкладання в ряд дробів алгебри.

Приклад. Розкласти в ряд функцію 1 −1 x .

Суть методу ділення алгебри полягає в застосуванні загального правила ділення многочленів:

1			1 - x
1 – x			1 + x + x2 + x3 + .
x

x – x2 x2

x2 – x3

x3

....

Якщо застосувати до тієї ж функції формулу Маклорена

	f (x) = f (0) +	f ′(0)	x +	f ′′(0)	x2	+... +	f (n) (0)	xn + Rn (x) ,
		1!		2!			n!

73

“Курс вищої математики. Частина 3.”

то отримуємо:

′

1

f

′

=1;

(1− x)2 ;

f (x) =

(0)

f

′′

2

;

f

′′

(x) = (1 − x)3

(0) = 2;

f

′′′

2 3

f

′′′

= 3!;

;

(x) = (1− x)4

(0)

.............

n!

f (n) (x) =

;

f (n) (0) = n!;

(1 − x)n+1

Разом, отримуємо: f (x) =1+ x + x2 +... + xn +...

Розглянемо спосіб розкладання функції в ряд за допомогою інтеграції.

За допомогою інтеграції можна розкладати в ряд таку функцію, для якої відомо або може бути легко знайдене розкладання в ряд її похідної.

Знаходимо диференціал функції df (x) =				′				і інтегруємо його в межах від 0
				f (x)dx
до х.
∫x df (x) = ∫x		f ′(x)dx;	f (x)			x = ∫x		f ′(x)dx;
0	0			0			0
	f (x) = f (0) + ∫x			f ′(x)dx;
			0
Приклад. Розкласти в ряд функцію			f (x) = ln(1 + x).

Розкладання в ряд цієї функції по формулі Маклорена було розглянуте вище. (Див. Функция y = ln(1 + x).) Тепер вирішимо цю задачу за допомогою інтеграції.

При f (0) = 0, f ′(x) = 1+1 x отримуємо по приведеній вище формулі:

	ln(1+ x) = ∫x	1	dx
		1+ x
	0

Розкладання в ряд функції 1 +1 x може бути легко знайдене способом ділення алгебри аналогічно розглянутому вище прикладу.

1

=1− x + x2

− x3 + x4

−... + (−1)n

xn +...

1 + x

x

1

x

∞

∞ x

∞

x

n+1

Тоді отримуємо: ln(1+ x) = ∫

dx

= ∫∑(−1)n xn = ∑∫(−1)n xn = ∑(−1)n

1+ x

n +1

0

0 n=0

n=0 0

n=0

Остаточно отримаємо: ln(1+ x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+... + (−1)

n

xn+1

+...

2

3

4

n +1

Приклад. Розкласти в статечній ряд функцію arctgx . Застосуємо розкладання в ряд за допомогою інтеграції.

74

“Курс вищої математики. Частина 3.”

	f (x) = arctgx; f (0) = 0; f	′	1	;
			1 + x2
		(x) =

arctgx = ∫x	1		dx
	1+ x	2
0

Підінтегральна функція може бути розкладена в ряд методом ділення алгебри:

	1			1 + x2
	1 + x2			1 – x2 + x4- .

-x2

-x2 – x4

x4

x4 + x6

.....

1

=1 − x2

+ x4 −... + (−1)n x2n +...

1 + x2

x

1

x

∞

∞ x

∞

x

2n+1

Тоді arctgx = ∫

dx = ∫

∑(−1)n x2n dx =

∑∫(−1)n x2n dx =

∑(−1)n

1 + x

2

2n +1

0

0 n=0

n=0 0

n=0

Остаточно отримуємо:

arctgx = x −

x3

+

x5

−... + (−1)

n x2n+1

+...

3

5

2n +1

Вирішення диференціальних рівнянь з допомогою статечних рядів.

За допомогою статечних рядів можливо інтегрувати диференціальні рівняння. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння вигляду:

y(n) + p1 (x) y(n−1) + p2 (x) y(n−2) +... + pn (x) y = f (x)

Якщо всі коефіцієнти і права частина цього рівняння розкладаються в статечні ряди, що сходяться в деякому інтервалі, то існує вирішення цього рівняння в деякій малій околиці нульової крапки, що задовольняє початковим умовам.

Це рішення можна представити статечним поряд: y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 +...

Для знаходження рішення залишається визначити невідомі постійні ci.

Це завдання вирішується методом порівняння невизначених коефіцієнтів.

Записаний вираз для шуканої функції підставляємо в початкове диференціальне рівняння, виконуючи при цьому всі необхідні дії із статечними рядами (диференціювання, складання, віднімання, множення і ін.)

Потім прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х в лівій і правій частинах рівняння. В результаті з урахуванням початкових умов отримаємо систему рівнянь, з якої послідовно визначаємо коефіцієнти ci.

Відзначимо, що цей метод застосовний і до нелінійних диференціальних рівнянь.

Приклад. Знайти вирішення рівняння y′′− xy = 0 з початковими умовами у(0)=1,

у’(0)=0.

Вирішення рівняння шукатимемо у вигляді y = c0 + c1 x + c2 x2 +...

y′ = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 +...

75

“Курс вищої математики. Частина 3.”

y′′ = 2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +...

Підставляємо отримані вирази в початкове рівняння:

(2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +...) − (c0 x + c1 x2 + c2 x3 + c3 x4 +...) = 0 2c2 + x(6c3 − c0 ) + x2 (12c4 − c1 ) + x3 (20c5 − c2 ) + x4 (30c6 − c3 ) +... = 0

Звідси отримуємо:

6c3 −c0 = 0

12c4 −c1 = 0

20c5 −c2 = 0

30c6 −c3 = 0

......

Отримуємо, підставивши початкові умови у вирази для шуканої функції і її першої похідної:

c0

=1

c1

= 0

Остаточно отримаємо: c

0

=1;

c = 0;

c

2

= 0; c

3

=

1

;

c

4

= 0;

c

5

= 0; c

6

=

1

; ...

1

6

180

Разом:

y =1+

x3

+

x6

+...

6

180

Існує і інший метод вирішення диференціальних рівнянь за допомогою рядів.

Він носить назву метод послідовного диференціювання.

Розглянемо той же приклад. Вирішення диференціального рівняння шукатимемо у вигляді розкладання невідомій функції в ряд Маклорена.

y = y(0) +

y′(0)

x +

y′′(0)

x2

+

y′′′(0)

x3

+...

1!

2!

3!

Якщо

задані початкові умови

у(0)=1,

у’(0)=0

підставити

в

початкове

диференціальне рівняння, отримаємо, що

′′

y (0) = 0.

Далі

запишемо диференціальне

рівняння у вигляді y′′ = xy

і

послідовно

диференціюватимемо його по х.

y

′′′

′

y

′′′

= y(0) =1;

= y + xy

;

(0)

y

IV

= y

′

+ y

′

′′

y

IV

(0) = 0;

+ xy ;

y

V

= 2y

′′

+ y

′′

+ xy

′′′

y

V

(0) = 0;

;

yVI

= 3y′′′+ y′′′+ xy IV ;

yVI (0) = 4;

..........................................................

Після підстановки набутих значень отримуємо:

y =1+

x3

+

x6

+...

6

180

Ряди Фурье.

( Жан Батист Жозеф Фур'є (1768 – 1830) – французький математик)

Тригонометричний ряд.

76

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Тригонометричним поряд називається ряд вигляду:

	a0	+ (a cos x +b sin x) + (a				2	cos 2x +b sin 2x) +... + (a	n	cos nx +b sin nx) +...
2			1		1		2		n
				a0	∞
або, коротше					+ ∑(an cos nx + bn sin nx).
			2
					n=1

Дійсні числа ai, bi називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.

Якщо ряд представленого вище типу сходиться, то його сума є періодичною функцією з періодом 2π, оскільки функції sinnx і cosnx також періодичні функції з періодом 2.

Хай тригонометричний ряд рівномірно сходиться на відрізку [-π; π], а отже, і на будь-якому відрізку через періодичність, і його сума рівна f(x).

Визначимо коефіцієнти цього ряду.

Для вирішення цього завдання скористаємося наступною рівністю:

∫π cos mx cos nxdx

−π

∫π sin mxsin nxdx

−π

0,	m ≠ n,	m = 0,1,2,..
=	m = n,	m, n =1,2,...
π,
0,	m ≠ n,
=	m = n,	m, n =1,2,...
π,

∫π cos mxsin nxdx =0, m = 0,1,2,..., n =1,2,...

−π

Справедливість цієї рівності витікає із застосування до подынтегральному виразу тригонометричних формул. Докладніше за див.

Оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [-π; π], то існує інтеграл

		π			2		π		π	∞
		∫					∫		∫	=
					f (x)dx =	a0		dx +		∑(an cos nx	+bn sin nx)dx = πa0
		−π					−π		−π n 1
										π ∞
Такий результат виходить в результаті того, що ∫∑(an cos nx + bn sin nx)dx = 0 .
										−π n=1
		1			π
Отримуємо	: a0 =				∫ f (x)dx
		π
				−π

Далі умножаємо вираз розкладання функції в ряд на cosnx і інтегруємо в межах від -

πдо π.

π				2		π		π	∞
∫						∫		∫	=
	f (x) cos nxdx =			a0			cos nxdx +		∑(an cos2 nx +bn cos nx sin nx)dx = πan
−π						−π		−π n 1
			1		π
Звідси отримуємо:		an =			∫ f (x) cos nxdx;				n =1,2,...
			π
					−π

Аналогічно умножаємо вираз розкладання функції в ряд на sinnx і інтегруємо в межах від - πдо .

			1	π
	Отримуємо	: bn =		∫ f (x)sin nxdx, n =1,2,...
			π
				−π

77

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Вираз для коефіцієнта а0 є окремим випадком для виразу коефіцієнтів an.

Таким чином, якщо функція f(x) – будь-яка періодична функція періоду 2π, безперервна на відрізку [-π; π] або така, що має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду, то коефіцієнти

an =	1		∫π		f (x) cos nxdx;		n = 0,1,2,...
	π
			−π
bn =		1			∫π	f (x)sin nxdx,	n =1,2,...
		π
				−π

існують і називаються коефіцієнтами Фурье для функції f(x).

Визначення. Поряд Фурье для функції f(x) називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фурье. Якщо ряд Фурье функції f(x) сходиться до неї у всіх її точках безперервності, то говорять, що функція f(x) розкладається в ряд Фурье.

Достатні ознаки розкладності в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Якщо функція f(x) має період 2 і на відрізку [-π;π] безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, і відрізок

[-π;π] можна розбити на кінцеве число відрізань так, що усередині кожного з них функція f(x) монотонна, то ряд Фурье для функції f(x) сходиться при всіх значеннях х, причому в точках безперервності функції f(x) його сума рівна f(x), а в точках розриву його сума рівна, тобто середньому арифметичному граничних значень зліва і справа. При цьому ряд Фурье функції f(x) сходиться рівномірно на будь-якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f(x).

Функція f(x), для якої виконуються умови теореми Дирихле називається

кусочно – монотонною на відрізку [-π;π].

Теорема. Якщо функція f(x) має період 2, крім того, f(x) і її похідна f’(x) – безперервні функції на відрізку [-π;π] або мають кінцеве число точок розриву першого роду на цьому відрізку, то ряд Фурье функції f(x) сходиться при всіх значеннях х, причому в точках безперервності його сума рівна f(x), а в точках розриву вона рівна

	f (x − 0) + f (x + 0)	. При цьому ряд Фурье функції f(x) сходиться рівномірно на будь-
	2

якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції f(x).

Функція, що задовольняє умовам цієї теореми, називається кусочно – гладкою на відрізку [-π;π].

Розкладання в ряд Фурье неперіодичної функції.

Завдання розкладання неперіодичної функції в ряд Фурье в принципі не відрізняється від розкладання в ряд Фурье періодичної функції.

Допустимо, функція f(x) задана на відрізку [а, b] і є на цьому відрізку кусочно – монотонною. Розглянемо довільну періодичну кусочно – монотонну функцію f1(x) з

періодом 2Т ≥ ba , співпадаючу з функцією

у

f(x)

78

“Курс вищої математики. Частина 3.”

α - 2T

α а

b α+2T

α + 4T

x

Таким чином, функція f(x) була доповнена. Тепер функція f1(x) розкладається в ряд Фурье. Сума цього ряду в усіх точках відрізання [а, b] співпадає з функцією f(x), тобто можна вважати, що функція f(x) розкладена в ряд Фурье на відрізку [а, b].

Таким чином, якщо функція f(x) задана на відрізку, рівному 2 πнічим не відрізняється від розкладання в ряд періодичної функції. Якщо ж відрізок, на якому задана функція, менше, ніж 2π, то функція продовжується на інтервал (b, а + 2π) так, що умови розкладності в ряд Фурье зберігалися.

Взагалі кажучи, в цьому випадку продовження заданої функції на відрізок (інтервал) завдовжки 2 πможе бути проведене нескінченною кількістю способів, тому суми рядів, що вийшли, будуть різні, але вони співпадатимуть із заданою функцією f(x) на відрізку [а,b].

Ряд Фурье для парних і непарних функцій.

Відзначимо наступні властивості парних і непарних функцій:

	a	0, f (x) − нечетная
	1) ∫		a
		f (x)dx =
	−a	2∫ f (x)dx, f (x) −четная
			0

2) Твір двох парних і непарних функцій є парною функцією. 3) Твір парної і непарної функцій – непарна функція.

Справедливість цих властивостей може бути легко доведена виходячи з визначення парності і непарності функцій.

Якщо f(x) – парна періодична функція з періодом 2π, що задовольняє умовам розкладності в ряд Фурье, то можна записати:

an =	1	∫π	f (x) cos nxdx =				2	∫π	f (x) cos nxdx		(n = 0,1,2,...)
	π						π
		−π				0
			bn =	1	∫π	f (x)sin nxdx = 0;				(n =1,2,...)
				π
					−π

Таким чином, для парної функції ряд Фурье записується:

					a0	∞
			f (x) =			+ ∑an cos nx
				2		n=1
	an =	2	∫π	f (x) cos nxdx			(n = 0,1,2,...)
		π
	0

Аналогічно отримуємо розкладання в ряд Фурье для непарної функції:

79

					“Курс вищої математики. Частина 3.”
			∞
			f (x) = ∑bn sin nx;
			n=1
bn =	2	∫π	f (x)sin nxdx;	(n =1,2,...)
	π
0

Приклад. Розкласти в ряд Фурье періодичну функцію f (x) = x3 з періодом T =

2 на відрізку [-π;π].

Задана функція є непарною, отже, коефіцієнти Фурье шукаємо у вигляді:

bn

=

2

∫π

f (x)sin nxdx;

(n =1,2,...)

π

0

= x

3

;

dv = sin nxdx;

π

2 π

3

u

2

x3 cos nx π

3

2

bn =

∫x

sin nxdx =

−

+

∫x

=

π

2

cos nx

=

n

n

cos nxdx

0

du = 3x

dx;

v = −

;

π

0

0

n

= x

2

;

dv = cos nxdx;

u

2

π3 cos πn

3 x2 sin nx

π

π 2x sin nx

=

sin nx

=

π

−

n

+

n

n

− ∫

n

dx

=

du = 2xdx;

v =

n

;

0

0

2

π3 cos πn

6

π

u

= x;

dv = sin nxdx;

=

−

n

−

2

∫x sin nxdx =

cos nx

=

π

n

0

du = dx;

v = −

;

n

2

π3 cos πn

6

x cos nx

π

π cos nx

=

−

−

−

+ ∫

dx

π

n

n

2

n

n

=

0

0

2

π3

cos πn

6πcos

π

6 sin nx

π

2π2

cos πn

12cos πn

n

12

2π

2

=

−

+

−

= −

+

= (−1)

−

n

n

3

n

3

n

n

n

3

3

n

π

0

n

Отримуємо:

3

∞

∞

n

12

2π

2

x

= ∑bn sin nx = ∑

(−1)

−

3

n

sin nx .

n=1

n=1

n

Побудуємо графіки заданої функції і її розкладання в ряд Фурье, обмежившись першими чотирма членами ряду.

80