Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

u(r,ϕ) =	1	∫π	f (t)			R2 − r 2		dt
	2π			R	2	− 2rR cos(t −ϕ) + r	2
		−π

Ряди.

Основні визначення.

Визначення. Сума членів нескінченної числової послідовності u1 ,u2 ,...,un ,...

називається числовим поряд.

∞

u1 + u2 + ... + un + ... = ∑un

n =1

При цьому числа u1 ,u2 ,... називатимемо членами ряду, а un – загальним членом ряду.

n
Визначення. СумиSn = u1 + u2 +... + un = ∑uk ,	n = 1, 2 . називаються
k =1
приватними (частковими) сумами ряду.

Таким чином, можливо розглядати послідовності часткових сум ряду S1, S2 .,Sn,

.

∞

Визначення. Ряд u1 + u2 +... + un +... = ∑un називається таким, що сходиться,

n =1

якщо сходиться послідовність його приватних сум. Сума ряду, що сходиться, – межа послідовності його приватних сум.

	∞
lim Sn = S,	S = ∑un .
	n=1

Визначення. Якщо послідовність приватних сум ряду розходиться, тобто не має межі, або має нескінченну межу, то ряд називається таким, що розходиться і йому не ставлять у відповідність ніякої суми.

Властивості рядів.

1)Збіжність або расходимость ряду не порушиться якщо змінити, відкинути або додати кінцеве число членів ряду.

2)Розглянемо два ряди ∑un і∑Cun , де З – постійне число.

Теорема. Якщо ряд сходиться і його сума рівна S, то ряд теж сходиться, і його сума рівна Сs. (C ≠ 0)

3) Розглянемо два ряди ∑un і ∑vn . Сумою або різницею цих рядів називатиметься ряд∑(un ± vn ) , де елементи отримані в результаті складання (віднімання) початкових елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди і сходяться і їх суми рівні відповідно S і, то ряд ∑(un ± vn )

теж сходиться і його сума рівна S + σ.

∑(un + vn ) = ∑un + ∑vn = S + σ

Різниця двох рядів, що сходяться, також буде такою, що сходиться поряд.

61

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Сума рядів, що сходяться і розходяться, буде такою, що розходиться поряд. Про суму двох рядів загального твердження, що розходяться, зробити не можна.

При вивченні рядів вирішують в основному два завдання: дослідження на збіжність і знаходження суми ряду.

Критерій Коші.

(необхідні і достатні умови збіжності ряду)

Для того, щоб послідовність була такою, що сходиться, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існував такий номер N, що при n > N і будь-якому p > 0, де р – ціле число, виконувалася б нерівність:

an+ p − an < ε.

Доказ. (необхідність)

Хайan → a , тоді для будь-якого числа ε > 0 знайдеться номер N такий, що нерівність a − an < 2ε виконується при n>N. При n>N і будь-якому цілому p>0 виконується також нерівність a − an+ p < 2ε . Враховуючи обидві нерівності, отримуємо:

an+ p − an

=

(an+ p − a) + (a − an )

≤

an+ p − a

+

a − an

<

ε

+

ε

= ε

2

2

Необхідність доведена. Доказ достатності розглядати не будемо. Сформулюємо критерій Коші для ряду.

Для того, щоб ряд був таким, що сходиться необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існував номер N такий, що при n>N і будь-якому p>0 виконувалася б нерівність

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε.

Проте, на практиці використовувати безпосередньо критерій Коші не дуже зручно. Тому як правило використовуються простіші ознаки збіжності:

1) Якщо ряд ∑un сходиться, то необхідно, щоб загальний член un прагнув до

нуля. Проте, ця умова не є достатньою. Можна говорити тільки про те, що якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд точно розходиться. Наприклад, так званий

∞

1

гармонійний ряд ∑

є таким, що розходиться,

хоча його загальний член і прагне до

n

нуля.

n=1

Приклад. Досліджувати збіжність ряду 1 +

2

+ 3 +... +

n

+...

5

3n −1

n

2

8

Знайдемо lim

= lim

1

=

1

≠ 0 - необхідна ознака збіжності не виконується,

3n −1

1

n→∞

n→∞

3

3

−

n

означає ряд розходиться.

2) Якщо ряд сходиться, то послідовність його приватних сум обмежена.

62

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Проте, ця ознака також не є достатньою.

Наприклад, ряд 1-1+1-1+1-1+ . +(-1)n+1+. розходиться, оскільки розходиться

послідовність його приватних сум внаслідок того, що
0,	при	четных	n
Sn =	при	нечетных	n
1,

Проте, при цьому послідовність приватних сум обмежена, оскільки Sn < 2 при будь-якому n.

Ряди з ненегативними членами.

При вивченні знакопостійних рядів обмежимося розглядом рядів з ненегативними членами, оскільки при простому множенні на –1 з цих лав можна отримати ряди з негативними членами.

Теорема. Для збіжності ряду з ненегативними членами необхідно і достатньо, щоб приватні суми ряду були обмежені.

Ознака порівняння рядів з ненегативними членами.

Хай дано два ряди ∑un і ∑vn при un, vn ≥ 0.

Теорема. Якщо un≤ ≤ vn при будь-якому n, то із збіжності ряду ∑vn виходить збіжність ряду∑un , а з расходимости ряду ∑un виходить расходимость ряду ∑vn .

Доказ. Позначимо через Sn і σn приватні суми рядів ∑un і ∑vn . Оскільки по умові теореми ряд ∑vn сходиться, то його приватні суми обмежені, тобто при всіх n σn

<M, де М – деяке число. Але оскільки un≤ ≤ vn, то Sn ≤ n те приватні суми ряду

∑un теж обмежені, а це досить для збіжності.

Приклад.

Досліджувати на збіжність ряд

1

+

1

+... +

1

+...

ln 2

ln 3

ln n

Оскільки

1

> 1

, а гармонійний ряд ∑1 розходиться, то розходиться і ряд ∑

1

.

ln n

n

n

ln n

∞

1

Приклад. Досліджувати на збіжність ряд ∑

.

n

1

1

1

n=1 n2

Оскільки

<

, а ряд ∑

сходиться ( як убуваюча геометрична прогресія),

то

n

n

n

n2

2

2

∞

1

ряд ∑

теж сходиться.

n

n=1

n2

Також використовується наступна ознака збіжності:

∑un

Теорема.

Якщо і існує межа, де h – число, відмінне від нуля, то ряди

і

ведуть однаково в сенсі збіжності.

Ознака Даламбера.

63

“Курс вищої математики. Частина 3.”

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо для ряду ∑un з позитивними членами існує таке число q<1, що для всіх достатньо великих n виконується нерівність

un+1 ≤ q, un

то ряд ∑un сходиться, якщо ж для всіх достатньо великих n виконується умова

un+1 ≥1, un

то ряд ∑un розходиться.

Гранична ознака Даламбера.

Гранична ознака Даламбера є наслідком з приведеної вище ознаки Даламбера.

Якщо існує межа, то при ρ < 1 ряд сходиться, а при ρ > 1 – розходиться. Якщо ρ = 1, то на питання про збіжність відповісти не можна.

∞

n

Приклад. Визначити збіжність ряду ∑

.

n

n=1

2

1

n

n +

1

un+1

(n +1)2n

n +1

1 +

1

un =

;

un+1 =

;

lim

= lim

=

=

n

=

<1

2n

2n+1

un

2n+1 n

2n

2

2

n→∞

n→∞

Вивід: ряд сходиться.

Приклад. Визначити збіжність ряду 1 +

1

+

1

+... +

1

+...

1!

n!

1

1

un+1

n!

2!

1

un =

;

un+1 =

;

lim

= lim

= lim

= 0 <1

n!

(n +1)!

n→∞ un

n→∞ (n +1)!

n→∞ n +1

Вивід: ряд сходиться.

Ознака Коші. (радикальна ознака)

Якщо для ряду з ненегативними членами існує таке число q<1, що для всіх достатньо великих n виконується нерівність

n un ≤ q ,

то ряд сходиться, якщо ж для всіх достатньо великих n виконується нерівність n un ≥1,

то ряд розходиться.

Слідство. Якщо існує межаlim n un = ρ, то при <ρ1 ряд сходиться, а при >ρ1 ряд

n→∞

розходиться.

∞	2n		2	+1	n
		2
Приклад. Визначити збіжність ряду ∑	3n			+ 5	.
n=1

64

“Курс вищої математики. Частина 3.”

1

2n2 +1 = lim

2 +

2

lim n un

= lim

n2

=

<1

3

n→∞

n→∞

3n2 +5

n→∞

5

3 +

n2

Вивід: ряд сходиться.

∞

1 n

Приклад. Визначити збіжність ряду ∑ 1+

.

n=1

n

lim n

+

1

un = lim 1

=1.

n→∞

n→∞

n

Тобто ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність ряду. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне до нуля.

				1 n
lim u	n	= lim 1	+			= e ≠ 0 ,
n→∞		n→∞		n

таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, значить, ряд розходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо (х) – безперервна позитивна функція, що убуває на проміжку [1;∞), то ряд

∞

(1) + (2) + .+ (n) + . = ∑ϕ(n)

n=1

∞

і невласний інтеграл ∫ϕ(x)dx однакові в сенсі

1

збіжності.

Приклад. Ряд 1 +

1

+

1

+... +

1

+...

сходиться

при >α1 і розходиться

α≤1

3α

2α

nα

∞

dx

оскільки відповідний невласний інтеграл ∫

сходиться при >1 і розходиться α≤1. Ряд

α

1

x

∞

1

∑

називається загальногармонійним поряд.

α

n=1

n

Слідство. Якщо

f(x)

і

(х)

–

безперервні функції на інтервалі (а,

b] і

f (x)

= h, h ≠ 0, те інтеграли

b

b

lim

f (x)dx

і ϕ(x)dx

поводяться однаково в сенсі

a

x→a+0

ϕ(x)

a

∫

∫

збіжності.

65

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Знакозмінні ряди.

Знакопереміжні ряди.

Знакопереміжний ряд можна записати у вигляді:

u1 −u2 + u3 −u4 +... + (−1)n+1 un +...

де un > 0, n =1,2,3,...

Ознака Лейбніца.

Якщо у знакопереміжного ряду u1 −u2 + u3 − u4 +... + (−1)n+1 un +... абсолютні величини ui убувають u1 > u2 > u3 > ... і загальний член прагне до нуля, то ряд сходиться.

Абсолютна і умовна збіжність рядів.

Розглянемо деякий знакозмінний ряд (з членами довільних знаків).

∞

u1 + u2

+... + un

+... = ∑un

(1)

n=1

і ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (1):

∞

u1

+

u2

+... +

un

+... = ∑

un

(2)

n=1

Теорема. Із збіжності ряду (2) виходить збіжність ряду (1).

Доказ. Ряд (2) є поряд з ненегативними членами. Якщо ряд (2) сходиться, то по критерію Коші для будь-якого >ε0 існує число N, таке, що при n>N і будь-якому цілому p>0 вірне нерівність:

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε

По властивості абсолютних величин:

un+1 + un+2 +... + un+ p ≤ un+1 + un+2 +... + un+ p < ε

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε

Тобто по критерію Коші із збіжності ряду (2) виходить збіжність ряду (1).

Визначення. Ряд ∑un називається таким, що абсолютно сходиться, якщо сходиться ряд ∑un .

Очевидно, що для знакопостійних рядів поняття збіжності і абсолютної збіжності співпадають.

Визначення. Ряд ∑un називається таким, що умовно сходиться, якщо він сходиться, а ряд ∑un розходиться.

Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів.

Хай ∑un - знакозмінний ряд.

66

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Ознака Даламбера. Якщо існує межаlim un+1 = ρ, то при <ρ1 ряд ∑un буде

n→∞ un

таким, що абсолютно сходиться, а при >ρ1 ряд буде таким, що розходиться. При =1 ознака не дає відповіді про збіжність ряду.

Ознака Коші. Якщо існує межаlim n	un = ρ , то при <ρ1 ряд ∑un буде таким,
n→∞

що абсолютно сходиться, а при >1 ряд буде таким, що розходиться. При =1 ознака не дає відповіді про збіжність ряду.

Властивості рядів, що абсолютно сходяться.

1) Теорема. Для абсолютної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб його можна було представити у вигляді різниці двох рядів, що сходяться, з ненегативними членами.

Слідство. Ряд, що умовно сходиться, є різницею двох рядів, що розходяться, з ненегативними прагнучими до нуля членами.

2)У ряду, що сходиться, будь-яке угрупування членів ряду, що не змінює їх порядку, зберігає збіжність і величину ряду.

3)Якщо ряд сходиться абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою членів, також абсолютно сходиться і має ту ж суму.

Перестановкою членів ряду, що умовно сходиться, можна отримати ряд, що умовно сходиться, має будь-яку наперед задану суму, і ряд, що навіть розходиться.

4) Теорема. При будь-якому угрупуванні членів ряду (при цьому число груп може бути як кінцевим, так і нескінченним і число членів в групі може бути як кінцевим, так і нескінченним), що абсолютно сходиться, виходить ряд, що сходиться, сума якого рівна сумі початкового ряду.

∞	∞
5) Якщо ряди ∑un і	∑vn сходяться абсолютно і їх суми рівні відповідно S іσ,
n=1	n=1

то ряд, складений зі всіх творів вигляду ui vk , i, k =1,2,... узятих в якому завгодно

порядку, також сходиться абсолютно і його сума рівна S - твору сум перемножуваних рядів.

Якщо ж проводити перемножування рядів, що умовно сходяться, то в результаті можна отримати ряд, що розходиться.

Функціональні послідовності.

Визначення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд називається функціональним.

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше за дослідження числових рядів. Один і той же функціональний ряд може при одних значеннях змінної х сходитися, а при інших – розходитися. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінною х, при яких ряд сходиться.

67

				“Курс вищої математики. Частина 3.”
Сукупність таких значень називається областю збіжності.
Оскільки межею кожної функції, що входить в область збіжності ряду, є деяке число,
то межею функціональної послідовності буде деяка функція:
		f (x) = lim fn (x)
		n→∞
Визначення. Послідовність {fn(x)} сходиться до функції f(x) на відрізку [а,b],
якщо для будь-якого числа >ε0 і будь-якої точки х з даного відрізання існує номер N =
N(ε, x), такий, що нерівність		f (x) − fn (x) < ε
виконується при n>N.
При вибраному значенні >ε0 кожній точці відрізання [а,b] відповідає свій номер
і, отже, номерів, відповідних всім точкам відрізання [а,b], буде незліченна множина.
Якщо вибрати зі всіх цих номерів найбільший, то цей номер годитиметься для всіх
точок відрізання [а,b], тобто буде загальним для всіх крапок.
Визначення. Послідовність {fn(x)} рівномірно сходиться до функції f(x) на
відрізку [а,b], якщо для	будь-якого числа		>ε0	існує	номер N = N(ε),	такий, що
нерівність		f (x) − fn (x) < ε
виконується при n>N для всіх точок відрізання [а,b].
Приклад. Розглянемо послідовність sin x , sin 2x ,..., sin nx ,...
		1		2	n
Дана послідовність сходиться на всій числовій осі до функції f(x)=0, оскільки
	lim sin nx = 0,		− ∞ < x < ∞
	n→0	n
Побудуємо графіки цієї послідовності:
sinx	sin 5x
		5
		1
		0 . 5
- 4	- 2				2	4
		- 0 . 5
sin 2x		- 1
2
Як видно, при збільшенні числа n графік послідовності наближається до осі х.

Функціональні ряди.

Визначення.	Приватними (частковими) сумами функціонального ряду
∞	n
∑un (x) називаються функції Sn (x) = ∑uk (x), n =1,2,...
n=1	k =1

68

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∞

Визначення. Функціональний ряд ∑un (x) називається таким, що сходиться в

n=1

крапці (х=х0), якщо в цій крапці сходиться послідовність його приватних сум. Межа

	∞
послідовності {Sn (x0 )} називається сумою ряду ∑un (x) в точці х0.
	n=1
Визначення.	Сукупність всіх значень х,	для яких сходиться ряд
∞
∑un (x) називається областю збіжності ряду.
n=1
	∞
Визначення.	Ряд ∑un (x) називається таким,	що рівномірно сходиться на

n=1

відрізку [а,b], якщо рівномірно сходиться на цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряду)

Для рівномірної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа >0 існував такий номер N(ε), що при n>N і будь-якому цілому p>0 нерівність

un+1 (x) + un+2 (x) +... + un+ p (x) < ε

виконувалося б для всіх х на відрізку [а,b].

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейерштраса)

(Карл Теодор Вільгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – німецький математик)

Ряд сходиться рівномірно і притому абсолютно на відрізку [а,b], якщо модулі його членів на тому ж відрізку не перевершують відповідних членів числового ряду, що сходиться, з позитивними членами :

M1 + M 2 +... + M n +...

тобто має місце нерівність:

un (x) ≤ M n .

∞

Ще

говорять,

що в цьому випадку

функціональний

ряд ∑un (x)

n=1

∞

мажоруватиметься числовим поряд ∑Μn .

n=1

∞

Приклад. Досліджувати на збіжність ряд ∑

cos nx

.

3

n=1

n

Оскільки

cos nx

≤1 завжди, то очевидно, що

cos nx

≤

1

.

n3

n3

∞

1

При цьому

відомо, що

загальногармонійний ряд

∑

при α=3>1

сходиться, то

α

n=1

n

відповідно до ознаки Вейерштраса досліджуваний ряд рівномірно сходиться і притому в будь-якому інтервалі.

69

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∞

n

Приклад. Досліджувати на збіжність ряд ∑

x

.

3

n=1

n

На відрізку [-1,1] виконується нерівність

xn

≤

1

тобто за ознакою Вейерштраса на

n3

n3

цьому відрізку досліджуваний ряд сходиться, а на інтервалах (- -1) (1 ) розходиться.

Властивості рядів, що рівномірно сходяться.

1) Теорема про безперервність суми ряду.

∞

Якщо члени ряду ∑un (x) - безперервні на відрізку [а,b] функції і ряд сходиться

n=1

рівномірно, то і його сума S(x) є безперервна функція на відрізку [а,b].

2) Теорема про почленном інтеграцію ряду.

Ряд, що рівномірно сходиться на відрізку [а,b], з безперервними членами можна почленно інтегрувати на цьому відрізку, тобто ряд, складений з інтегралів від його членів по відрізку [а,b], сходиться до інтеграла від суми ряду по цьому відрізку.

β ∞	∞ β
∫∑un (x)dx = ∑∫un (x)dx; α,β [a,b]
α n=1	n=1 α
3) Теорема про почленном диференціювання ряду.
∞
Якщо члени ряду ∑un (x)	що сходиться на відрізку [а,b] є безперервними

n=1

функціями, що мають безперервні похідні, і ряд, складений з цих похідних сходиться на цьому відрізку рівномірно, то і даний ряд сходиться рівномірно і його можна диференціювати почленно.

	d	∞	∞	dun (x)
		∑un (x) = ∑
				dx
	dx n=1		n=1

На основі того, що сума ряду є деякою функцією від змінній х, можна проводити операцію уявлення який – або функції у вигляді ряду (розкладання функції в ряд), що має широке застосування при інтеграції, диференціюванні і інших діях з функціями.

На практиці часто застосовується розкладання функцій в статечній ряд.

Статечні ряди.

Визначення. Статечним поряд називається ряд вигляду

∞

a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn +... = ∑an xn .

n=0

Для дослідження на збіжність статечних рядів зручно використовувати ознаку Даламбера.

	Приклад. Досліджувати на збіжність ряд	x +	x2	+	x3	+... +	xn	+...
			2		3		n

Застосовуємо ознаку Даламбера:

70