9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

18.3.2. Длина дуги кривой в параметрической форме

Пусть уравнение кривой L задано в параметрической форме: x = x(t), y = y(t), a £ t £ b, где функции x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на [a, b], причем x¢(t) ¹ 0 на [a, b]. Тогда

¢

¢

=

y (t)

¢

¢

y

(x)

, dx = x

(t) dt

x (t)

è

b

æ

¢

2

b

2

2

l = ò

y (t) ö

¢

¢

¢

1 + ç

¢

÷

dt.

x (t) dt =ò

( x (t))

+ ( y (t))

a

è x (t) ø

a

Пример: Найти длину окружности, заданной параметрическими уравнениями x = 2cos t, y = 2sin t при 0 £ t £ p/4.

		p / 4	(( 2 cos t ) ¢ )2	+ (( 2 sin t ) ¢ )2 dt =
	l =	ò
		0
	p / 4					p0/4 =	p
	=	ò	4 sin2t + 4 cos2t dt = 2t
		0		2

18.3.3. Длина дуги в полярных координатах

Пусть уравнение кривой L в полярных координатах r = r (j), a £ j £ b, причем функция r = r (j) непрерывно дифференцируема на [a,b]. Используя формулы перехода от полярных координат к декартовым и принимая за параметр угол j, имеем параметрические уравнения кривой L: x = r (j)cosj, y = r (j)sinj. Тогда

b	é	¢ ù2		é	¢ ù	2
l = ò	ê( r cos j)	ú	+	ê( r sin j)	ú	dj =
a	ë	û		ë	û

b

= ò (r¢ cos j - r sin j)2 + (r¢ sin j + r cos j)2 dj =

a

b

= ò r 2 + (r¢)2 dj.

a

!

Пример: Вычислить длину дуги логарифмической спирали

r = aemj (a > 0), 0 £ j £ 2p				(ðèñ. 18.10).
					2p
			l = ò a2e2mj + a2m2e2mj dj =
			l	0
	O	a
						2p
			= a 1 + m2 ò emj dj =
				0
			=		a 1 + m2			- 1
Ðèñ. 18.10						e	2mp

m

18.3.4. Формула дифференциала дуги

Используя теорему о производной интеграла с переменным

					x
верхним	пределом,		äëÿ		l(x) = ò	¢	2	имеем
						1 + [y (x)] dx
					a
¢	¢	2	£ b. Отсюда получаем формулу для диф-
l (x) = 1+[y (x)] , a £ x
			¢	2	dx.
ференциала дуги dl = 1+[y (x)]

При параметрическом задании кривой L dl = [ x¢(t)]2 +[y¢(t)]2 dt.

Дифференциал дуги может быть записан и через dx и dy: dl = (dx)2 + (dy)2 .

Литература: [1. C. 275–300]; [5. C. 291–310]; [6. C. 360–405]; [7. C. 197–214].

19. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Опорный конспект ¹ 19

19.1. Мера Лебега. Измеримые множества R = (-¥, +¥), А О R

О: M(m) — верхняя (нижняя) грань Ы a £ M (a ³ m) "a О A. M* = supA (m* = inf A) — точная верхняя (нижняя) грань А.

Á = [a, b] Ú (a, b) Ú [a, b) Ú (a, b].

О: {Б} М R — покрытие А Ы "с О A $ Б: c О Б. О: Мера Б Ы m(Б) = b - a.

О: Внешняя мера А, А М [a, b] Ы m*(A) = inf åm(Ák ).

ÈÁk É A k

Внутренняя мера А Ы m*(A) = (b - a) - m*(A), A = [a, b]\A.

О: Ограниченное множе.тво А измеримо с мерой m(A) Ы

Ûm*(A) = m*(A) = m(A).

19.2.Измеримые функции. Интеграл Лебега

О: f (x), x О A — измерима Ы А измеримо Щ " конечного

с О R измеримо А ( f (x) > c).

Ò.(Лузина): f (x) — измерима и почти всюду конечна на [a, b]Ю "d > 0 $j(x) О C[a,b]: mA (f (x) ¹ j(x)) < d n

		n
Î: ò f (x) dm = lim		åhi m(Ei ) — интеграл Лебега, где f(x)
maxDyi	®0
E		i =1
измерима на измеримом Е, m = inf f (x),					M = sup f (x),
		xÎE			xÎE
[m, M] разбивают на [yi -1, yi), i = 1,n,					Dyi = yi - yi -1,
hi Î [yi - yi -1), Ei = E (yi -1 £ f (x) < yi).
b		b
Ò: $ ò f (x) dx = J	(Римана) Ю ò f (x) dm = J n
a		a

19.3. Функции с ограниченным изменением (ФОИ). Интеграл Стилтьеса

Î: f (x), x Î [a, b], ÔÎÈ Û $ñ > 0: "Án(a = x0 < x1 < ... <xn = b) Þ

n

Þ å f (xk ) - f (xk -1 ) £ c; Vqb

k =1

n

[ f ] = sup å f (xk ) - f (xk -1 ) .

Án k =1

!!

b		n
Î: ò f (x) dg(x) =	lim	å f (xi )[g(xi ) - g(xi -1)]	— интеграл
a	maxDxi ®0
		i =1

Римана—Стильеса, где f( x) О C[a,b], g(x) — ФОИ на [a, b], [a, b] разбивается на [xi-1, xi], i = 1,n , Dxi = xi - xi-1, xi Î [xi - xi-1].

19.1. Мера Лебега. Измеримые множества

Пусть R = (-¥, +¥) и множество точек (чисел) А М R. Например, множество рациональных точек Q или множество иррациональных точек Q = R\Q. Рассмотрим классификацию множеств А в зависимости от входящих в них точек.

О: Точка а О А называется:

à)	предельной точкой А, если Ud(a) "d содержит точки
	множества А, отличные от а;
á)	внутренней точкой А, если $d > 0: Ud(a) Ì A;
â)	граничной точкой А, если а не является внутренней точ-
	êîé À è A = R\À;
ã)	изолированной точкой А, если $d > 0: Ud(a) Ï À.

Внутренние и граничные точки А являются его предельными точками.

О: Множество А называется:

à)	открытым, если оно состоит только из внутренних точек;
á)	замкнутым, если содержит все свои предельные точки;
â)	дискретным, если содержит только изолированные точки;
ã)	ограниченным, если $[a, b]: A М [a, b];
ä)	конечным, если оно состоит из конечного числа точек.

Конечное множåство дискретно и замкнуто. Если А — открытое множество, то А = R\А замкнуто.

Понятие меры множества А является обобщением понятия длины отрезка. Чтобы его сформулировать, введем некоторые определения.

!"

О: Действительное число M(m) называется верхней (нижней) гранью множества А М R, если a £ M (a ³ m) "a ОA.

Каждое непустое множество А М R, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, имеет наименьшую верхнюю M*(наибольшую нижнюю m*) грань, которая называется точной верхней M* = supA (точной нижней m* = infA) гранью А.

Пусть Б = [a, b]Ъ(a, b)Ъ[a, b)Ъ(a, b].

О: Множество интервалов {Б} М R называется покрытием множества А, если "с О A существует интервал Б, содержащий точку c.

Любое ограниченное множество А может быть покрыто конеч- ной или счетной системой интервалов {Бk} [15. C.48].

О: Мерой промежутка Б называется число m(Б) = b - a.

Для m(Б) выполняются свойства:

10. m(Á) ³ 0	(m(Æ)) = 0);
n	n
20. Á = å Ák Þ m(Á) = å m(Ák ).
k =1	k =1

О: Внешней мерой m*(A) ограниченного множества А называется точная нижняя граница суммы åm Ák по всевоз-

k
можным его покрытиям {Бk}: m*(A) = inf	åm( Ák ) . Âíóò-
ÈÁ ÉA	k
k

ренней мерой m*(A) ограниченного множества А называется m*(A) = (b - a) - m*(À), ãäå A Ì [a, b], A = [a, b]\À.

О: Ограниченное множество А называется иçмеримым по Лебегу с мерой m(A), если m*(A) = m*(A) = m(A).

Свойства 10, 20 для m(A) сохраняются. Открытое и замкнутое ограниченные множества измеримы. Множества, состоящие из конечного или счетного множества точек, измеримы и их меры равны нулю.

Примеры: Множество рациональных точек Q* М [0, 1] измеримо. Так как оно счетно, то m(Q*) = 0.

!#

Множестâî иррациональных точек Q* = [0, 1]\Q* тоже измеримо и m(Q*) = 1 - m(Q*) = 1.

Аналогично можно ввести меру для любого множества точек А М R2 èëè À Ì R3, обобщающую понятия площади плоской фигуры и объема пространственного тела.

19.2. Измеримые функции. Интеграл Лебега

Пусть функция f (x) задана на множестве А. Обозначим через А(f (x)>c) множество точек x О A, для которых f (x)>c.

О: Функция f (x), заданная на множестве А, называется измеримой, если измеримы множество А и при любом конеч- ном с О R множество А(f (x)>c).

Разность, сумма, произведение и частное (если делитель ¹ 0) измеримых функций измеримы.

Если хотя бы одно из множеств А(f (x) £ c), A(f (x) ³ c), A(f (x) < c) измеримо "с, то f (x) измерима на измеримом множестве А, поэтому в определении измеримой функции можно взять любое из этих множеств вместо А(f (x) > c).

О: Некоторое свойство называется выполнимым почти всюду на множестве А, если мера множества точек из А, где оно не выполняется, равна нулю.

Основное структурное свойство измеримой функции выражается следующей теоремой.

Ò.(Лузина): Пусть f (x) — измеримая и почти всюду конечная на [a, b] функция. Тогда для любого числа d > 0 существует непрерывная на [a, b] функция j(x), что m A(f (x) ¹ j(x)) < d n

Доказательство в [15. C. 102].

Таким образом, измеримая и почти везде конечная на [a, b] функция f (x) становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Введем интеграл, который существует для измеримых на измеримом множестве функций.

!$

Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограни-

ченная функция f (x), причем m = inf f (x), M = sup f (x). Разобъ-
xÎE	xÎE

ем отрезок [m, M] на n частей точками y0 = m < y1 < y2 < ... < yn = M

и выберем hi Î [yi - 1, yi). Обозначим Еi = E(yi - 1 ³ f (x) < yi), Dyi = = yi -yi -1 и составим сумму

n
åhim(Ei ),	(19.1)

i =1

которая называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й Л е б е г а .

О: Интегралом Лебега от измеримой ограниченной функции f (x) по измеримому множеству Е называется предел интегральной суммы (19.1) при maxDyi ® 0, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения [m, M] на части [yi - yi -1) и от выбора промежуточных точек hi.

Обозначение: ò f (x) dm =		n
	lim	åhim(Ei ) .
E	maxDyi ®0	i =1

Если множество Е = [a, b], то интеграл Лебега обозначается:

b

ò f (x) dm.

a

Т. (существования): Интеграл Лебега ò f (x) dm от измеримой

E

ограниченной функции f (x), определенной на измеримом множестве Е, существует n

Доказательство в [15. C.113].

Свойства интеграла Лебега аналогичны свойствам определенного интеграла (Римана).

Отметим следующие:

10. m(E) = 0 Þ ò f (x) dm = 0;

E

n		n
20. E = åEi Þ ò f (x) dm =å ò f (x) dm.
i =1	E	i =1 E
		i

!%

Т: Если существует определенный интеграл (Римана)

b

J = ò f (x) dx, то f(x) интегрируема на [a, b] по Лебегу и

a

b

ò f (x) dm = J n

a

Доказательство в [16. C.289].

Приведем пример ограниченной на [a, b] функции, интегрируемой по Лебегу и неинтегрируемой по Риману. Функция Дирихле на [0,1]:

м 1, если х рационально (х О Q*),

j(x) íî 0, если х иррационально (х О [0,1]\Q*)

не интегрируема по Риману, но

1

òj(x) dm = ò 1× dm + ò 0 × dm = 0.

0Q* [0,1]\Q*

Необходимое и достаточное условия интегрируемости f(x) по Риману устанавливаются следующей теоремой.

Ò.(Лебега): Для интегрируемости по Риману измеримой ограниченной на [a, b] функции f(x) необходимо и достаточ-

но, чтобы она была на [a, b] непрерывна почти всюду n Доказательство в [15. C.125].

19.3. Функции с ограниченным изменением. Интеграл Стилтьеса

О: Функция f(x), x О [a, b] называется функцией с ограниченным изменением, если $С > 0, что для " разбиения Бn отрезка [a, b] точками a = x0<x1<...<xn = b выполняется

n

å| f (xk ) - f (xk -1) |£C. Полным изменением функции

k =1

f (x), x О [a, b], с ограниченным изменением называется

	n
Vab[ f ] = sup	å| f (xk ) - f (xk -1) | .
Án	k =1

!&

Всякая монотонная функция f(x) имеет ограниченное изменение, так как для нее при любом разбиении

n

å| f (xk ) - f(xk -1) | = | f (b) - f (a) | .

k =1

Линейная комбинация функций с ограниченным изменением на отрезке [a, b] есть снова функция с ограниченным изменением, т.е. они образуют линейное пространство.

Структура функций с ограниченным изменением определяется следующей теоремой.

Т: Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций и имеет почти всюду конечную производную n

Доказательство в [16. C.316].

Таким образом, функция с ограниченным изменением ограни- чена и имеет не более, чем счетное множество разрывов 1-го рода.

Введем и н т е г р а л Р и м а н а — С т и л т ь е с а , обобщающий интеграл Римана. Пусть f(x) непрерывна, а g(x) — функция с ограниченным изменением на [a, b].

Разобьем [a, b] на n частей точками x0 = a < x1 < x2 < ... <xn = b, выберем точки xi Î [xi - xi - 1], i = 1,n, и составим сумму

n

å f (xi )[g(xi ) - g(xi -1)], которая называется интегральной суммой

i =1

Стилтьеса.

О: Интегралом Римана—Стилтьеса от функции f(x) по функции g(x) на [a, b] называется

b		n
ò f (x) dg(x) =	lim	å f (xi )[g(xi ) - g(xi -1)],
a	maxDxi ®0	i =1

если предел существует и не зависит от способа разбиения [a, b] на n частей и от выбора промежуточных точек xi,

i = 1,n.

Ò: Åñëè f(x) Î C[a,b], а g(x) — функция с ограниченным изменением на [a, b], то интеграл Римана—Стилтьеса существует n

Доказательство в [15. C.216].

!'

При g(x) = x интеграл Римана—Стилтьеса является интегралом Римана. Свойства интеграла Римана—Стилтьеса аналогичны свойствам интеграла Римана. Справедлива следующая оценка:

b

ò f (x) dg(x) £ MV ba [g],

a

где М — наибольшее значение f(x) на [a, b]. Если g(x) имеет в каждой точке [a, b] производную g¢(x), интегрируемую по Риману (на-

bb

пример, g¢(x) непрерывна), то ò f (x) dg(x) =ò f (x)g¢(x) dx.

aa

Аналогично несобственным интегралам Римана определяются и несобственные интегралы Римана—Стилтьеса.

Можно обобщить также интеграл Лебега, вводя меру и интеграл Лебега—Стилтьеса [16. C.335].

Литература: [15. C. 56–129, 191–226]; [16. C. 235–351].