9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Î:

Ì

f M

xy

Примеры: z

xy

						y		x
	z
			x			y
	x			y			Ì

Î:	À					y	f M
	Ì õ	õ		õn	M x	x	xn
			n
			xi	xi	M	M
			i
	f x	x	xn		A
A	f	M		f	x x	xn
M	M		xi	xi

MM f M A

11.3.Частные приращения и частные производные

Î:		z f x y	õ
xz f x	x y	f x y
y — yz f x y	y	f x y
Î:	õ	z	f x y
			xz
x			zx	xz
				x
			x

#

Другие обозначения:

fx¢,

¶z

,

¶f

. Аналогично и для перемен-

¶x

¶x

íîé y:

z¢

= lim

Dy z

( f ¢,

¶z

,

¶f

).

y

Dy®0 Dy

y

¶y ¶y

Заметив, что Dxz определяется при неизменном y, а Dyz — при неизменном х, можно сформулировать правило: частная производная по х от функции z = f (x, y) есть обычная производная по х, вычисленная в предположении, что у = const. Аналогично для вы- числения частной производной по у надо считать х = const. Таким образом, правила вычисления частных производных те же, что и в случае функции одной переменной.

Примеры:

1) z = x2 sin y,	z¢	=	x sin y, z¢		= x cos y;
	x			y
2) z = xy, z¢	= yxy-		, z¢	= xy ln x.
x			y

Частные производные функции нескольких переменных у = f (x1, x2, ..., xn) определяются аналогично:

	¶y		f (x1, x2, ..., xi + Dxi , ..., xn) - f (x1, x2, ..., xi , ..., xn )
		= lim		, i = 1,n.
	¶xi	Dxi ®0	Dxi

Выясним геометрический смысл частных производных для z = f (x, y). С этой целью построим поверхность, являющуюся графиком z = f (x, y), и рассмотрим кривую Lx: z = f (x, y), y = const (ðèñ.11.5).

	Z	z = f (x, y)
	Ly	Lx
		M
	O	y = const
		Y
		b
	x = const
	a
	X

Ðèñ. 11.5

#

zz

xx y

L	Ì x y		OX	zy
x
Пример:				Lx
Ly	z	x y	À
zx	x,	k	zy	y, k

11.4. Полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях

Î:		z f x y
z f x	x y	y f x y

Замечание.
z xy	xz	x	x y	xy	y	x
x	y	y	xy y	x	x y

z	xz	yz
yz	x y	y	xy	x	y z	x
x y	xz	yz	x	y
		y	f	x	x	xn

y f x	x x	x		xn	xn	f x x	xn
Î:		z f	x	y
	Ì x y						z
	z	A x	B	y	x y	À Â	x
	y			x y

	x			y
					Ì x y

zA x B y

Ò:

z

f x y

Ì x

y

x

y

z

z

A

B n

x

y

q

À Â

z f x

y

y

z

A x

x

xz

z

A x

x

x

x

A

x

x

x

x

x

x

#!

Ò:

Пример:

xy

z

xz

A A A

x

z

B x y

zz

z x y

xy

x x y y

zz

,		Ì x y

xy

z f x y	n
y f x x	xn

	y			y			y
y			x		x ...			xn.
	x			x			xn
	z		z		z		xy		Ì
x	x y		y		xy y x x y				x y

z

y x

x y

y

x

x y

z

f

x y

x

y

z f x

x y

y

f x y

f x

x y

y

f x y

z

x

y

z

z

f x y

f

x y

f x

x

y

y

f

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x y

#"

y

Ì x y

Ì

Пример:

p

p

w kRT

p

kR

Òp

k

p

T

w

k

k

p

R p

p

Ò	R
		w		w		w
	w w		p		T		R.
		p		T		R

w				k		p
			kRT
p		w		k		p

k

kp p2

k

	w								p
							kR
	T				w				p
	w								p
							kT
	R				w				p

k

k

k

p

T

R

w

w

##

11.5. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков

zz

fx x y		fy x y

xy

z f x y

x y

z

z

z

z

x

x

x

x y

y

x

z

z

z

z

.

y x

x

y

y

y

y

n

n

Î:

n

Примеры:

z

y

x

x y

z

xxy

zx

y x

xy

zxx

y x

xy x

y x

y

zxxy

y

x

y

y

y x

xy

z x

y

y

zxx

zxy

zyx

zyy

zx

xy

zy

x

y

zxx

zxy

xy y

x,

zyx

x + y

x

x, zyy

y

zxy

zyx

Ò:

Ì x y

n

fxy x y

yyx x y

fxxy x y

fxyx x y

fyxx x y

#$

Î:					z	z	f x y
						õ	ó
			x	y z		z
							n
						n
nz	n z		x		y	z
		x		y

	z		z		z
d z		x		x y		y
	x		x y		y

11.6. Производные сложных функций

z

f

x

y

õ ó

t x x t y y t

z f x t y t

t

T:

x

x t

y

y t

t

z f

x

y

Ì x t y t

z

f

x t

y t

t

z

z

x

z

y

n

t

x

t

y

t

q

z f x y

z

zx x zy y

x y

t

t

t

z

x t

xz

t

y t

y			x	y
t	t					t	t

#%

t

{

x

y

t

}

x

y

x

y

t

t

t

t

t

t

t

x

Пример: z

z

t

x y

w

u

x y

z

x

t

y

t

t

x y x

t t

x y y t t

x

y

t

t

x y

x y (

t )

t

y f x x

xn x

x t

xn

xn t

y

y

x

y

x

y

xn

t

x

t

x

t

xn

t

w f x y z x x u v y y u v z z u v

ww

uv

w

w

x

w

y

w

z

u

x

u

y

u

z

u

w

w

x

w

y

w

z

v

x

v

y

v

z

v

t

u

v

v

#&

11.7. Неявные функции, их дифференцирование

Ò.:

						y f		x
õ						F x y		F x y
	Ì	x		y
			F			F			F
			x			y			y
										M
F x y			F x y
Ì	y	y x
	n

y

y x

F x y

y

F

F

x

x

y

q

F

F

F

y

F x y

x

x

y

x

Пример: y

x

xy

y

x

yx

y

x

xy x

y

x

xy y

F x

y

z

Пример: z

x

xyz

y

x

z

x

z

y

z x

yzxyz

y x

zx

,

zy

z

x

xyz y

x

x

x

y

y

x

zz x y

xyz z	x	x
z x	xyz y	x

Литература 7.

13.

16.

#'

12. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
		Опорный конспект ¹ 12
12.1. Экстремумы функции нескольких переменных
Î:
f x y	f x ó		Ì		f x y	f x ó	Ì
x y		M			x y	M
Z					Z
			max				min
O				Y	O		Y
		M				M
X				X
Ò:
					z	z
		z f	x y	Ì
					x M	y M
Ò:
f			f	f
A	B		C
x		x y		y
				AM
				AM
	A	B
M
	B	C
		M
$