9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

uuur	uuur	uuuur	r	uuuur	r	uuuur	r
+OB	+OC = ïðOxOM		×i + ïðOyOM		× j + ïðOzOM		Чk, а из единствен-
		uuuur
ности разложения OM имеем:
	xM =	uuuur			uuuur		uuuur
		ïðOxOM,		yM = ïðOyOM,		zM = ïðOzOM ,
	uuuur	— диагональ прямоугольного параллепипеда —
Длина OM

вычисляется как

uuuur

OM = xM2 + yM2 + zM2 .

r

Если вектор a расположен произвольно, то

r

r

r

r

Z

r

a

= axi + ay

j + az k,

A

a

r

Â

r

k

= ax2 + ay2 + az2 .

r

a

r

i

Y

Пусть А (хÀ, yA, zA) — его начало,

O j

X

B (xB, yB, zB) — его конец, тогда

Ðèñ. 2.12

(ðèñ. 2.12)

uuur

uuur

uuur

AB = OB

-OA = {xB - xA, yB - yA, zB - zA },

uuur

= (xB - xA )2+ (yB - yA )2+ (zB - zA )2 .

AB

r

т.е. косинусы

Можно вычислить направляющие косинусы a,

углов, образуемых с координатными осями, учитывая свойство проекций 10:

·r r			r
cosa = cos(a, i ) = ax /			a				,
·r r			r
cosb= cos(a, j ) = ay /		a				,
·r r			r

cos g = cos(a, k) = az / a ,

cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1.

Таким образом,

ar0 = {cosa, cosb, cos g} — единичный вектор.

!

Задача. Найти модуль и направляющие косинусы вектора
	r	r r	r
a		= 2i + j	- 2k.
По вышеприведенным формулам
	r	= 22 + 12 + 22 = 3, cosa = 2/3, cosb = 1/3, cos g = -2/3
	a

2.5. Скалярное произведение векторов

О: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

r

r

r

Если обозначить скалярное произведение через (a,

b) èëè

r

(ðèñ. 2.13)

a

×b , òî

r

r

·r r

r

r

×

=

r

cosj,

).

a

b

a

b

a

b

b

j = ( ,

Используя свойство 10 проекции век-

j

r

тора на ось, имеем

a

r

r

r

r

r

r

a

×b

=

a

ïðar b

=

b

ïðr a.

Ðèñ. 2.13

b

Свойства скалярного произведения:

r

r

r

r

— следствие определения.

10. Переместительный закон: a

×b = b

×a

r

r

r

r

20. Сочетательный закон: (la)

×b

= l(a

×b).

r

r

=

r

r

=

r

r

r

r

q(la)×b

b

ïðr la

b

lïðr a

= l(a ×b) x

b

b

r

r

30. Распределительный закон:

r

r

r

r

r

a ×(b

+ c) = a

×b + a ×c.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

r

r r

qa

×(b + c) =

a

ïðar (b

+ c) =

a

ïðar b +

a

ïðar c

= a

×b

+ a ×c x

r

вектора

r

равен квадрату его дли-

40. Скалярный квадрат a2

a

íû:

r

2

r

a

= a2.

Данное свойство является следствием определения, так как

r

r

·

= 1.

ñîs(a, a)

50. Необходимым и достаточным условием перпендикулярно- r r

сти ненулевых векторов a è b является равенство нулю их скалярного произведения.

!

Свойство следует из определения скалярного произведения, так как cos p/2 = 0.

Из свойств 10 — 30 следует, что при скалярном умножении можно раскрывать скобки так же, как при умножении многочленов.

Задача. Дано:

r

= 1,

r

= 2,

·r r

= 1/ 2.

a

b

cos(a, b)

Найти

r

-

r

r

r

(a

2b)(a

+ b).

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2 =

(a

- 2b)(a + b)

= a

2 + a

×b -

2a

×b

- 2b

=

r

2

-

r

×

r

·r r

- 2

r

2

= 1

- 2×1/ 2 - 2

× 4 = -8

a

a

b

cos(a, b)

b

r

r

через координаты век-

Выразим скалярное произведение a ×b

r

r

r

= {ax , ay, az },

торов a

è b . Пусть заданы координаты векторов a

r

r

r

r

r

r

r

r

r

b = {bx , by , bz }. Используем, что

i

×

j = i

×k = j

×k

= 0, i 2

= j 2

=

r

r

r

=

r

r

r

r

=

k

2

и перемножим скалярно a

×b

(a

i

+ a

j

+ a k)(b i

+

r= 1

r

x

y

z

x

+ by j + bzk ). Получим формулу

r

r

= axbx + ayby + azbz .

a

×b

Основные приложения скалярного умножения:

r

1) вычисление работы А силы F при перемещении из т. В в т. С

(ðèñ. 2.14)

r

uuur

r

A = F × BC;

F

2) вычисление угла между векторами:

·r r

r

r

j

a

× b

cos(a, b) =

r

r

;

a

b

Â

Ðèñ. 2.14

Ñ

3) вычисление проекции одного век-

тора на другой:

r

r

r

a ×b

ïðar b =

r

.

a

r

Задача. Найти работу А силы F = {2, 3, 5} при перемещении из

ò. Â. â ò. Ñ, åñëè Â (-1, 0, -2), Ñ (0, 2, 1).

Находим координаты

uuur

= {1, 2, 3}, работа A

r

uuur

+ 3× 2 + 5×3

= 23 ед.работы

BC

= F × BC = 2×1

!!

2.6. Векторное произведение векторов

Рассмотрим другой вид умножения векторов.

r

r

О: Векторным произведением векторов a

è b называется век-

r

òîð c, определяемый следующим образом:

r

r

r

r

2)

r

=

r

r

·r r

1) c

^ a,

c

^ b;

c

a

b

sin j, j = (a, b);

r r r

3) векторы

образуют правую тройку (рис. 2.15).

a, b, c

Векторное

произведение

обозначается

символами

r

r

r

r

r

c

= a

´ b

= [a, b].

r

Свойства векторного произведения:

c

r

10. Антипереместительный закон:

b

r

r

r

r

a

´ b

= -b

´ a.

r

r

r

r

r

r

Векторы

è

q

c

= a

´b

c

* = b

´a

jв силу определения векторного произве-

r	дения имеют одинаковые длины, колли-
a	неарны, но направлены в разные сторо-
		r		r
Ðèñ. 2.15	ны, поэтому c		= -c * x
	r	r	r	r
20. Сочетательный закон: (la)´ b = l(a				´ b).	r	r	r
	r	r	r	r
30. Распределительный закон: a		´ (b + c) = a			´ b	+ a	´ c.

Доказательства свойств 20 è 30 ñì. â [7. Ñ. 29].

40. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
	r	r			r	r		, а площадь треуголь-
	a	è b: SY=			a	´ b
r	íèêà SV=		r		r
k			a	´ b		/ 2.
		Свойства следуют из определения
	векторного произведения.

r50. Необходимым и достаточным ус-

	r	j		ловием коллинеарности ненулевых век-
	i			торов	r		r	является равенство нулю
					a è b
	Ðèñ. 2.16			их векторного произведения.
				Свойство следует из определения, так
				êàê sin j = 0			для коллинеарных векторов.
							r	r
	Выразим векторное произведение a ´b через координаты век-
	r		r	= {bx , by , bz }.
торов a = {ax ,		ay , az },	b				r r		r r	r r	r r
				r r r r
r	Для базисных векторов i ´i = j ´ j					= k		´ k = 0,	i ´ j	= k, j	´ k = i ,
	r r r r	r r	r	r r	r		r
k	´ i = j, j ´ i	= -k, k	´ j	= -i , i	´ k = - j			(ðèñ. 2.16).

!"

Тогда, пользуясь свойствами 10–30 векторного произведения,

получаем r	r	r	r	r	r	r	r
a	´ b	= (axi	+ ay j	+ az k)´ (bxi		+ by j + bz k)		=
	r		r	r	r		r	r

=aybx (-rk) + azbx j + axbryk + azby ( - i ) +r axbz (- j ) + aybzi =

=i (aybz - azby ) - j (axbz - azbx ) + k(axby - aybx ) =

r	ay	az	r	a		a	r	ax	ay	.
= i			- j		x	z	+ k
	b	b		b		b		b	b
	y	z		x		z		x	y

Используя определители III порядка, можно записать векторное произведение в виде определителя:

			r	r	r
	r		i	j	k
r		=
a	´ b		ax	ay	az		.
			bx	by	bz

Основные приложения векторного умножения:

1) вычисление площади параллелограмма и площади треуголь-

ника (свойство 40);

r

r

2) вычисление момента M0

ñèëû F ,

приложенной к т. А, относительно т.О:

r

r

r

r

r

uuur

M

r

M0

= r ´ F, ãäå

r =OA (ðèñ. 2.17, à);

0

F

3) вычисление скорости

r

т. М твердо-

v

го тела, вращающегося вокруг неподвижной

r

r

r

Î

À

оси Z с угловой скоростью w :

v = w ´ r, ãäå

r

uuuur

r

r

r =OM,

вектор

w

направлен по оси вра-

à

ùåíè (ðèñ. 2.17, á).

Z

Задача. Даны вершины треугольника:

А (-1, 0, 1), В (1, 2, 0), С (1, 1, 1). Найти его

площадь.

uuur

uuuur

r

Òàê êàê SVABC

=

AB ´ AC

/ 2,

а вектор-

w

M

r

uuur

rr

v

ное произведедение векторов AB

= {2, 2, -1}

uuuur

è

AC = {2,1, 0} находится по формуле

r

r

r

Î

Y

i

j

k

uuur

´

uuuur

=

=

r

-

2

r

r

X

2 2 -1

- 2 ,

AB

AC

2

1

0

i

j

k

á

Ðèñ. 2.17

1

3

òî SVABC =

12 + -2 2 + -2 2 =

åä.2

2

2

!#

2.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов

r r r

Рассмотрим умножение трех векторов a, b, c.

О: Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех r r r r r r

векторов a, b, c называется произведение (a ´b)× c.

r	Ãrå îr	ì å ò ð è ÷ å ñ ê è é	с м ы с л. Смешанное произведение
(a	´b)× c	с точностью до знака равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах			r r r	r	r	r	= ±V .
			a, b, c,	ò.å. (a	´b)× c
	Произведение имеет знак (+), если тройка						r r r
							a, b, c правая (см.

определение векторного произведения), знак (-), если тройка

r

r r

левая.

a, b, c

r r r

q

Предположим, что векторы a, b, c некомпланарны, по-

r

r

r

=

r

r

ïðr

r

строим на них параллелепипед. Имеем (a

´ b) × c

a

´ b

r c.

r

r

a

´b

В данном равенстве

a

´ b

есть площадь параллелограмма, по-

строенного на

r

r

a

è b , т.е. площадь основания параллелепипеда

S

r

r

= ±

H

, ãäå

H

— высота параллелепипеда. Таким об-

rc

îñí, à

ïða

´b

r

r

r

разом,

(a ´ b)× c = Sîñí (±H ) = ±V x

Свойства смешанного произведения:

r

r

r

r

×

r

r

10. (a

´b)

× c

= a

(b

´ c).

Свойство следует из геометрического смысла смешанного про-

r r r

изведения и дает возможность ввести обозначение ab c.

20. При перестановке в смешанном произведении двух векторов

r r r

r r r

его знак меняется на противоположный. Например, a b c = -b a c.

r

Cвойство следует из противоположной ориентации троек

r

r

r

r

r

a, b,

c

è b,

a,

c.

30. При круговой перестановке векторов в смешанном произ-

r r r

r r r

r r r

ведении знак не меняется, т.е. a b c

= b c a

= c a b.

Свойство следует из одинаковой ориентации данных троек век-

торов.

r

r

r

40. Объем

параллелепипеда,

построенного

íà

a,

b,

c :

r r r

r r r

Vïàð = a b c

, а объем треугольной пирамиды Vïèð = a b c

/ 6.

50. Необходимым и достаточным условием компланарности r r r

трех ненулевых векторов a, b, cr является равенство нулю их сме- r r

шанного произведения, т.е. a b c = 0.

!$

Свойства 40, 50 следуют из геометрического смысла смешанного

произведения.			r r r
				через координаты век-
Выразим смешанное произведение a b c
r	r	= {bx, by, bz },	r
торов a = {ax, ay, az },	b		c = {cx, cy, cz }.		Согласно

его определению и формулам для вычисления векторного и скалярного произведений через координаты, имеем

r r r	r	r	r	æ r		ay
a b c	= (a	´ b)× c		= çi
				ç		by
				è

= ay by

				r				ö			r
az	r	a a			ax	ay			r	r
	- j	x	z	+ k				÷	×(cxi	+ cy j	+ czk) =
bz		bx	bz		bx	by		ø÷

az	cx -	ax	az	cy +	ax	ay	cz .
b		b	b		b	b
z		x	z		x	y

Записывая последнюю формулу в виде определителя, получаем

r r r		ax	ay	az
	=				.
a b c		bx	by	bz
		cx	cy	cz

Приложения смешанного произведения обусловлены свойства-

ìè 40, 50.
								r						r	r	r		r			r	r
Задача. На векторах a											= i + j - k,							b	= 2i			+ k,
строен параллелепипед. Найти его объем.
По свойству 40 Vïàð =								r r r					, находим
								a b c
		r r r			1	-1								1	1	-1					2	1
			=	1							=						= -
				2 0 1										2 0		1
		a b c																			-1 -1
V	ïàð	= 1 åä.3		0	1	-2								-1	0	-1

2.8. Линейное пространство. Евклидово пространство Rn

r	r	r
c	= j	- 2k ïî-

= 1,

По аналогии с множеством векторов на плоскости и в пространстве вводится n-мерное векторное пространство.

!%

О: Упорядоченная

система

n

действительных чисел

r

, а числа a1,

(a1, a2, ..., an) называется n-мерным вектором a

a2, ...,

an

—

åãî

координатами.

Обозначение

r

}.r

a = {a1, a2

, ...,

an

a

, ..., a

}

è

r

= {b , b , ...,

b }

О: Суммой векторов

a = {a ,

n

b

r 1

r

2

1

2

n

называется вектор

r

a + b

= {a

+ b

,

a

2

+ b

, ..., an + bn },

r

1

1

2

разностью — вектор a

- b

= {a1 - b1, a2 - b2, ...,

an - bn }.

Произведением вектора r на число l называется вектор a

r

la = {la1, la2, ..., lan } .

Линейные операции над n-мерными векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над векторами на плоскости и в пространстве.

r

О: Множество всех n-мерных векторов a = {a1, a2, ..., an }, ai О R, i=1,n, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется арифметическим n-мерным векторным пространством Rn.

В частности, R2 — множество векторов на плоскости, R3 — множество векторов в пространстве.

Для пространства Rn сохраняются определения линейной ком-
r	r		r
бинации и линейной зависимости векторов a1,	a2	, ...,	an.

Т.1: В пространстве Rn существуют n линейно независимых векторов n

qВозьмем

r				r						r
e1	= {1, 0, 0, ...,0}, e2					= {0, 1, 0, ...,0}, ..., en = {0, 0, 0, ...,1}
						r	r			r
и запишем равенство l1e1							+ l2e2 +		... + lnen = 0 для координат
векторов:
ìl	×1 + l			× 0 + ... + ln × 0 = 0,
ï 1		2
ïl1 × 0 + l2 ×1 + ... + ln × 0 = 0,
í
.........................................
ï
ïl	× 0 + l		2	× 0 + ... + l	n	×1 = 0,
î 1
							r	r	r
отсюда l1 = l2 = ... = ln = 0 Þ e1,								e2,	..., en	— линейно незави-

ñèìû x

!&

Ò.2:

Любые n + 1 векторов в Rn линейно зависимы n

Для векторов

r

= {a(1), a(1), ..., a(1)

},

r

= {a(2)

, a(2)

, ..., a(2)

},

q

a

a

r

1

1

2

n

2

1

2

n

...,

= {a(n+1),

a(n+1)

, ..., a(n+1)}

запишем равенство

a

n+1

1

2

r

n

r

r

= 0

l1a1 + l2a2

+ ... + ln+1an+1

через координаты:

ìl a(1)

+ l

2

a(2)

+ ... + l

a(n+1)

= 0,

ï

1

1

1

n

+1 1

ïl a(1)

+ l

a(2)

+ ... + l

a(n+1)

= 0,

í

1

2

2

2

n

+1 2

ï ..................................................

ïl a(1)

+ l

a(2)

+ ... + l

n

a(n+1)

= 0.

î

1

n

2 n

+1 n

Система n линейных однородных уравнений с n + 1 неизвестным имеет бесчисленное множество решений (см.1.2), т.е. суще-

ствуют l1, l2, ..., ln+1, одновременно не равные нулю Ю
r r		r
Þ a1, a2	,	..., an+1	линейно зависимы x

Из Т.1 и Т.2 следует, что в Rn максимальное число линейно независимых векторов равно n.

О: Базисом в Rn называется любая система n линейно независимых векторов, число n называется размерностью пространства Rn.

Как и в случае R2 (множество векторов плоскости) и R3 (ìíî- r

жество векторов пространства), всякий вектор a ÎRn можно един-

ственным образом представить как линейную комбинацию базис-

ных векторов

r

r

r

:

r

r

r

+ ... + a

r

причем

e ,

e

, ..., e

a = a e

+ a e

e ,

1

2

n

1 1

2 2

r

n n

a

, a , ..., a называются координатами вектора a в этом базисе.

1

2

rn

r

, ...,

r

è

r

,

r

, ...,

r

— два базиса в Rn, тогда

r

Пусть

e ,

e

e

e¢

e¢

e¢

r

1

r2

n

r

1

2

n

e¢j

= t1 je1 + t2 je2

+ ... + tnjen,

j

= 1,n.

Матрицу Т = (tij) называют

матрицей перехода от первого базиса ко второму.

r

r

r

Координаты a¢,

a¢ ,

...,

a¢

вектора

r

a в базисе

e ,

e

, ..., e

1

2

n

1

2

n

находятся из равенства

æ a¢

ö

æ a

ö

1

ç a

1

ç a¢

÷

÷

ç

2

÷

=T ç

2

÷.

ç

M

÷

ç

M

÷

ç a¢

÷

ç a

n

÷

è

n

ø

è

ø

Арифметическое векторное пространство является частным случаем линейного векторного пространства.

!'

О: Линейным векторным пространством L называется множество элементов a, b, c, ... любой природы, для которых определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам сложения и умножения на число в Rn. Элементы линейного пространства называются векторами.

Например, множество многочленов Рn(õ) = a0x n + a1x n-1 + ... + an степени £ n является линейным векторным пространством размерности n + 1, так как базисом в нем является х0 = 1, õ, õ2, ..., õn.

Пусть в пространстве Rn выбран базис

r	= {1, 0, ..., 0},	r	= {0,1, ..., 0}, ...,	r
e1		e2		en

О: Скалярным произведением векторов
r	r
a	= {x1, x2, ..., xn }, b = {y1, y2, ..., yn}
r	r
a	×b = x1y1 + x2y2 + ... + xn yn .

={0, 0, ...,1}.

называется

(2.2)

число

Скалярное произведение обладает свойствами 10–30 скалярно-

го произведения в R2 è R3

(ñì. 2.5).

r

r

r

³

r

r

= 0 только при

= 0), вводится понятие

Òàê êàê a

×a

0 (a

×a

a

длины вектора

r

=

r

=

r

r

, ò.å.

a

a2

a

×a

r

=

2 + x2

+ ... + x2 .

a

x

1

2

n

r

r

r

£

r

, называемого

В силу справедливости неравенства a

×b

a

b

неравенством Коши—Буняковского [1. С.95], в

Rn можно ввести

понятие косинуса угла между векторами:

r

r

cosj =

a

× b

, cosj £ 1.

r

r

a

b

О: n-мерным евклидовым пространством называется пространство Rn, если в нем введено скалярное произведение.

Среди базисов евклидова пространства Rn особое значение имеют так называемые ортогональные базисы.

r	r
О: Векторы a	è b

лярными), если

называются ортогональными (перпендику- r r

a ×b = 0 .

"