9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Глава 7

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

20. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА

Опорный конспект ¹ 20

20.1. Основные понятия

F(x,y,y ¢,...,y(n)) = 0 — ОДУ n-го порядка

y = j(x) — решение ОДУ Ы F(x, j(x), j¢(x), ..., j(n)(x)) º 0

20.2. ОДУ 1-го порядка

F(x,y,y ¢) = 0 — ОДУ 1-го порядка y ¢ = f(x,y) - разрешенное отн. у ¢,

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 — другой вид

Задача Коши: y ¢ = f(x,y), y(x0) = y0

Ò: f(x,y), fy¢(x,y) — непрерывны в окрестности т.М0(x0,y0) Ю Ю решение задачи Коши $! в окрестности т. х0.

Общее решение ОДУ при непрерывности f(x,y), fy¢(x,y)

âD — функция y = j(x,c), c = const, если:

1)y = j(x,c) — решение ОДУ "с;

2)"y(x0) = y0 $! c = c0: y = j(x,c0) — решение задачи Коши, (х0,ó0) Î D

"

20.3. ДУ с разделяющимися переменными

ОДУ, приводящиеся к виду f2(y)dy = f1(x)dx

à)	y¢ =	f1(x)		Û	dy	=	f1	(x)	(´ f (y)dx, интегрируем) Ю
		f2	(y)		dx		f2	(y)
									2

Þ ò f2(y) dy = ò f1(x) dx + c;

á) P1(x)P2(y)dx + Q1(x)Q2(y)dy = 0 (:P2(y)Q1(x), интегрируем) Ю

ò P1(x) dx = -ò P2(x) dy + c Q1(x) Q2 (x)

20.4. Однородные ДУ 1-го порядка

О: f (x,y) — однородная функция n-го измерения Ы Ы f (lx,ly) = lnf(x,y) äëÿ "l

y ¢ = f (x,y) — однородное ДУ Ы f (lx, ly) = f (x,y) Ы f (x,y) = f *(y/x) Замена y/x = u, y = xu Ю u + xu¢ = f *(u)

	ОДУ с разделяющимися переменными Ы	du	=	dx
		f *(u) - u		x

20.5. Линейные ДУ 1-го порядка

y ¢ + p(x)y = q(x). Замена y = uv: y ¢ = u ¢v + uv ¢ Ю

Þu ¢v + uv ¢ + p(x)uv = q(x) Û u ¢v + u(v ¢ + p(x)v) = q(x)

1)v ¢ + p(x)v = 0 — ОДУ с разделяющимися переменными, ищем " частное решение v = v(x).

2)u ¢v = q(x) — ОДУ с разделяющимися переменными, ищем общее решение

20.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Решение многих технических задач, в том числе и задач хими- ческой технологии, приводит к уравнениям, в которые входят как неизвестные величины (искомые функции), так и скорости изменения этих величин (производные искомых функций).

Примеры: 1) Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количе-

"

ству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количе- ство нераспавшегося вещества в момент времени t = 0 равно М0, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Òàê êàê v = dM = -kM, где k>0 — коэффициент пропорци- dt

ональности, то искомая функция M(t) должна удовлетворять уравнению

dM	= -kM .	(20.1)
dt

Необходимо найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию М(0) = М0

2) С некоторой высоты сброшено тело массой m. Найти зависимость скорости падения этого тела v от времени t, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости v.

По второму закону Ньютона m	dv	= F,	ãäå	dv	— ускорение дви-
				dt
	dt

жущегося тела, F — сила, действующая на тело в направлении движения, т.е. F = mg - kv, где mg — сила тяжести, k — коэффициент пропорциональности, ( - kv) — сила сопротивления воздуха. Искомая функция v = v(t) должна удовлетворять урав-

нению m dv = mg - kv dt

О: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется о б ы к н о в е н н ы м (ОДУ).

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Символическая запись ОДУ n-го порядка: F(x, y, y ¢, ..., y(n)) = 0. Примерами ОДУ 1-го порядка являются рассмотренные выше

"!

примеры 1, 2. Уравнение вида y ¢¢ + ay ¢ + by + sin x = 0 является ОДУ 2-го порядка.

О: Решением ОДУ называется любая функция y = j(x), которая в некоторой области изменения х при подстановке в ОДУ обращает его в тождество.

Пример: Решением ОДУ (20.1) является функция M = сe-kt, t Î R+, с — произвольная постоянная.

20.2. ОДУ 1-го порядка. Задача Коши. Общее решение

ОДУ 1-го порядка в общем случае имеет вид

F(x, y, y ¢) = 0.

(20.2)

Если его можно разрешить относительно у ¢, то получим ОДУ вида

y ¢ = f (x, y).

(20.3)

Другая форма записи последнего P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. Простейшим ОДУ 1-го порядка является у¢ = f(x), решение ко-

торого имеет вид y = тf(x)dx + c, где с — произвольная постоянная, т.е. уравнение имеет бесконечное множество решений.

О: Задача нахождения решения ОДУ (20.3), удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0 (такая запись равносильна y½x = x0 = y0) называется задачей Коши.

Ò.(существования и единственности задачи Коши): Если функция f(x, y) и ее частная производная fy¢ непрерывны в ок-

рестности т. М0(x0, y0), существует единственное решение y = y (x) задачи Коши y ¢ = f (x, y), y(x0) = y0 в окрестности т. х0 n

Доказательство см. в [6. C. 314].

О: Общим решением ОДУ 1-го порядка (20.3) называется функция y = j(x, c), c = const, удовлетворяющая следующим условиям:

""

1)функция y = j(x, c) является решением (20.3) "с;

2)каково бы ни было начальное условие y(x0) = y0 , существует такое значение c = c0, при котором y = j(x, c0) удовлетворяет данному начальному условию. Точка (х0, ó0) О D — области, в которой выполняются условия существования и единственности решения.

Пример: M = сe-kt — общее решение ОДУ (20.1). Используя начальное условие М(0) = М0, находим M0 = ce0, ò.å. Ì = Ì0e-kt — решение задачи Коши в области

ì0 < M £ M0 ,

D: í

î0 £ t < ¥.

Замечание . В некоторых случаях общее решение ОДУ (20.2) или (20.3) получается в неявном виде Ф(х, у, с) = 0, тогда оно называется общим интегралом.

О: Частным решением ОДУ 1-го порядка называется функция y = j(x, c0), которая получается из его общего решения у = j(x, c) при определенном значении с = с0.

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на плоскости ХОY, зависящее от с. Эти кривые называются интегральными кривыми данного ОДУ 1-го порядка. При задании ОДУ в виде (20.3) известен угловой коэффициент касательных к интегральным кривым в каждой точке (х, у): k = y ¢ = f(x, y).

Примеры: 1) На рис. 20.1 изображены интегральные кривые дифференциального уравнения xy ¢ - 2y = 0, имеющего общее

решение y = cx2.
Y
c = 2	1
	1/2
	X
O
	-1
Ðèñ. 20.1
Ðèñ. 20.1

M
M
O	t
	Ðèñ. 20.2
	Ðèñ. 20.2

"#

2) На рис. 20.2 изображены интегральные кривые дифференциального уравнения (20.1) с решением М = сe -kt.

20.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

О: Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются ОДУ 1-го порядка, которые приводятся к виду f1(x)dx = f2(y)dy (ДУ с разделенными переменными).

Такими уравнениями являются:

à) y¢= f1(x) , f2(y)

á) P1(x)P2(y)dx + Q1(x)Q2(y)dy = 0.

В опорном конспекте ¹ 20 показано, как решаются такие уравнения.

Примеры: 1) ДУ (20.1), возникающее в задаче о радиоактивном распаде, является уравнением с разделяющимися переменными, оно равносильно дифференциальному уравнению

dM = - kt Þ ò dM = - k òdt + ln|c| Þ M M

Þ ln|M| = - kt + ln|c| Þ M = ce-kt .

2)	(1 + x)y dx + (1 - y)x dy = 0 Þ	1 + x	dx +	1 - y	dy = 0 Þ
		x		y

æ	1		ö	æ	1		ö
Þ òç		+ 1	÷ dx + òç			-1	÷ dy = c Þ ln|x| + x + ln|y| - y = c.
è x			ø	è y			ø

20.4. Однородные ДУ 1-го порядка

О: Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом l справедливо тождество f (lx, ly) = lnf (x, y).

"$

Примеры: 1)

f

(

x y

)

= 3

x3 + y3

-

однородная функция пер-

,

вого измерения, так как

f (lx,ly) = l3 x3 + y3

= lf (x, y).

2) f (x, y) =

x2 - y2

-

однородная функция нулевого изме-

xy

2

2

2

2

lx

-

ly

x - y

рения, так как

f (lx,ly) =

=

= f (x, y).

lx ly

xy

О: ОДУ 1-го порядка (20.3) называется однородным относительно x и у, если функция y = f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Однородное уравнение может быть записано в виде y ¢ = f *(y/х), так как f(x, y) = f(х/х, у/х) = f(1, y/х) = f *(y/x). Поэтому заменой u = y/x, где u = u(x), оно сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (см. ОК ¹ 20).

Пример:

dy

xy

,

y

= u(x),

u + x

du

u

Þ x

du

u3

=

=

=

Þ

dx

x

2 - y2

x

dx

1 - u2

dx

1 - u2

æ 1

1

ö

dx

1

Þ

ç

-

÷ du =

Þ -

- ln | u| = ln|x| + ln|c| Þ

è u3

u

ø

x

2u2

x2

Þ- - ln | yc| = 0 — общий интеграл.

2y2

Замечание. Уравнение P(x, у)dx + Q(x, y)dy = 0 будет однородным только в том случае, если P(x, у) и Q(x, y) — однородные функции одного измерения.

20.5. Линейные ОДУ 1-го порядка

О: Линейным ОДУ 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

y ¢ + p(x)y = q(x),

(20.4)

где p(x) и q(x) — заданные непрерывные функции от х или постоянные.

"%

Решение линейного уравнения (20.4) можно искать методом подстановки y = uv (см. ОК ¹ 20) или методом вариации произвольной постоянной. При решении вторым методом находим общее решение однородного уравнения, соответствующего (20.4):

ó ¢¢ + ð(õ)ó = 0.

(20.5)

Уравнение (20.5) является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к виду

dy = -p(x)dx, y

откуда получаем общее решение уравнения (20.5):
y =C -ò p(x)dx	.	(20.6)
e

Тогда общее решение уравнения (20.4) будем искать в виде (20.6), в котором С(х) — неизвестная функция:

y =C(x)e-ò p(x)dx .

(20.7)

Подставляем (20.7) в уравнение (20.4) и определяем С(х).

Пример: Найти общее решение уравнения

dy

-

2

y = (x + 1)3.

dx

x + 1

Однородное уравнение

dy

2

dy

2dx

-

y = 0 Û

=

Û ln y = 2ln

x + 1

+ ln

C

.

dx

x + 1

y x + 1

Общее решение однородного уравнения у = С(х + 1)2.

Ищем общее решение данного уравнения в виде у = С(х)(х + 1)2.

Подставим его в данное уравнение:

Ñ ¢(õ)(õ + 1)2 + 2Ñ(õ)(õ + 1) - 2Ñ(õ)(õ + 1) = (õ + 1)3,

	тогда			(x + 1)2
	C ¢(x) = (x + 1) Û C(x) =					+Ñ * .
			2
	Окончательно имеем общее решение
	y = (x + 1)	2 æ (x + 1)2				ö
		ç			+ C *	÷
			2
		è				ø

Литература: [2. C. 9–53]; [4. C. 13–58]; [5. C. 459–475]; [7. C. 417–430].

"&

21. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Опорный конспект ¹ 21

21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка

О: F(x,y,y¢,y¢¢) = 0 — общий вид ОДУ 2-го порядка y ¢¢ =

= f (x,y,y ¢) — ÄÓ,

разрешенное относительно y ¢¢.

Задача Коши

y ¢¢ = f

x y ó ¢

y

= y ,

y¢

= y¢

:

( , ,

),

x = x

0

0

x = x

0

0

Общее решение ОДУ 2-го порядка — функция y = j(x,c1,ñ2), c1, ñ2 = const при условиях:

1)y = j(x,c1,ñ2) — решение ДУ при " с1, ñ2;

2)" y x=x0 = y0, " y¢ x=x0 = y0¢, $!c10, $!c20: y = j(x,c10,ñ20) —

решение задачи Коши, (х0, ó0, y0¢) О D — области $! решения

21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка y ¢¢ = f (x, у ¢) не содержит явно у.

Замена: у ¢ = p(x), у ¢¢ = p¢ Ю p¢ = f (x,p) — ОДУ 1-го порядка.

Пусть p = j(x,c1) — его общее решение Ю у ¢ = j(x,c1) — ДУ с разделяющимися переменными.

y ¢¢ = f (у, у ¢) не содержит явно х.

Замена: у ¢ = p(у), y¢¢ = dp × dy = p × p¢; p¢p = f (y,p) — ÎÄÓ 1-ãî ïî- dy dx

рядка. Пусть p = j(y, c1) — его общее решение Ю y ¢ = j(y, c1) — ДУ с разделяющимися переменными

21.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

21.3.1. Линейное однородное ДУ 2-го порядка

a0(x)y ¢¢ + a1(x)y ¢ + a2(x)y = 0. (*) Общее решение (*) y = c1y1 + c2y2; y1(x),y2(x) — фундамен-

тальная система решений (*), т.е. W (x) = y1 y2 ¹ 0 íà (a, b) y1¢ y2¢

"'

21.3.2. Общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

y¢¢ + py¢ + qy = 0, p,q = const Характеристическое уравнение: k2 + pk + q = 0

Корни	k1 ¹ k2(Î R)	k1 = k2 = k		k1 = z, k2 =
					z,
k2 + pk + q = 0		(Î R)		z Î C,
				z = a + ib
Общее	y = c ek1x +	y = ekx(c	+ c x)	y = eax(c cos bx +
	1	1	2	1
решение	+ c ek2x			+ c sin bx)
	2			2
y ¢¢ + py ¢ + qy = 0,
p, q = const

21.3.3. Линейное неоднородное ДУ 2-го порядка

a0(x)y ¢¢ + a1(x)y ¢ + a2(x)y = b(x). (**) Общее решение(**) y = y* + y, где y* — общее решение (*),

y — частное решение (**)

21.3.4. Подбор y для линейного неоднородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

y ¢¢ + py ¢ + qy = f (x)

Âèä f (x)

P

x = a x n

+ a x n-1

+

P

x

mx

M

cos

mx +

n( )

0

1

n( )e

+ ... + an

+ N sin mx

Выбор

= x rQ (x) =

= x rQ (x)emx,

=

y

y

y

y

n

n

= x r(A x n + A x n -1 +

ì0, k1,2

¹ m,

= x r(A cos mx +

0

1

+ ... + An),

ï

+ B sin mx),

r = í1, k1 = m,

ì0, k1 ¹ m,

r

=

ì0, k1,2 ¹ 0,

ï2, k

= m.

í

î

1,2

r = í

0.

î1, k1 = m.

î1, k =

1

#