- •Исследование динамики, устойчивости и качества систем автоматического управления
- •Введение
- •Лабораторная работа №1 «Математические модели линейных стационарных систем управления»
- •1. Теоретическая часть
- •1.1 Математические модели непрерывных линейных систем
- •1.2 Математическое описание систем с помощью ду
- •1.3 Операторная передаточная функция
- •2. Практическая часть
- •3. Порядок проведения работы
- •Эксперимент №1. Моделирование пропорционального звена
- •Эксперимент №2. Моделирование интегрирующего звена
- •Эксперимент №3 Моделирование апериодического звена первого порядка.
- •Эксперимент № 4. Моделирование интегрирующего звена второго порядка
- •Эксперимент № 5. Моделирование консервативного звена
- •Эксперимент № 6. Моделирование колебательного звена
- •Эксперимент № 7 Моделирование дифференцирующего звена первого порядка.
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Содержание отчёта.
- •Вопросы для собеседования
- •Лабораторная работа № 2 «Преобразование Лапласа. Нахождение оригинала функции по её изображению»
- •1. Теоретическая часть
- •1.1 Нахождение оригиналов функций по их изображениям
- •2. Практическая часть
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Содержание отчёта
- •Вопросы для собеседования
- •Лабораторная работа № 3 «Описание систем в форме передаточных функций. Типовые соединения звеньев. Преобразование структурных схем»
- •1. Теоретические сведения
- •1.1 Одноконтурная замкнутая система управления
- •1.2 Типовые соединения звеньев одномерной системы управления
- •1.3 Передаточная функция многоконтурной системы
- •Правила структурных преобразований.
- •2. Практическая часть.
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Задание 6.
- •Задание 7.
- •Содержание отчёта
- •Вопросы для собеседования
- •Лабораторная работа № 4 «Временные характеристики линейных систем управления. Определение реакции системы на произвольное входное воздействие»
- •1 Теоретическая часть
- •1.1 Временные характеристики линейных систем управления
- •1.2 Представление входного сигнала в виде совокупности простых составляющих
- •1.3 Реакция системы на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля (частный случай интеграла Коши)
- •2. Практическая часть
- •2. 1. Вычисление временных характеристик
- •2.2. Определение реакции системы на произвольное входное воздействие
- •2.3. Исследование свободного и вынужденного движения системы
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Задание 2. Исследование вынужденного и свободного движения системы
- •Содержание отчёта
- •Вопросы для собеседования
- •Лабораторная работа №5 «Определение частотных характеристик систем автоматического управления»
- •1. Теоретические сведения
- •1.1 Логарифмические частотные характеристики
- •1.2 Частотные характеристики цепочки последовательно соединенных звеньев
- •2. Практическая часть
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Содержание отчёта
- •Вопросы для собеседования
- •Лабораторная работа № 6 «Исследование устойчивости линейных систем управления с обратной связью»
- •1. Теоретическая часть
- •1.1 Алгебраические критерии
- •1.2 Критерий устойчивости Гурвица (алгебраический)
- •1.3 Частотные критерии устойчивости
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы для собеседования
- •Лабораторная работа № 7 «Исследование точности линейных систем управления в установившемся режиме»
- •1. Теоретическая часть
- •2. Практическая часть
- •Задание на выполнение лабораторной работы
- •Литература
Критерий устойчивости Найквиста
В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования систем с единичной отрицательной обратной связью (рис. 3).
Рис. 3. Замкнутая система.
Критерий основан на рассмотрении амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости соответствующей замкнутой системы.
Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.
АФЧХ разомкнутой системы может быть получена как аналитически, так и экспериментально.
Напомним основные определения критерия Найквиста для статических систем:
1. Если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ годограф разомкнутой системы не охватывал критическую точку (-1, j0) в положительном направлении (против часовой стрелки).
2. Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ годограф разомкнутой системы охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Рис. 4. Годографы устойчивой замкнутой системы:
а – разомкнутая система неустойчива (l = 1);
б – разомкнутая система устойчива (l = 0).
При сложной форме годографа могут возникнуть затруднения при определении числа её оборотов вокруг критической точки (-1, j0). В этом случае используют правило переходов, предложенное Я.З. Цыпкиным.
Назовём переход характеристики через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки (-1, j0) положительным, если он происходи сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу верх.
Если характеристика начинается или заканчивается на отрезке левее критической точки (-1, j0, то в этих случаях она совершает полперехода.
3. Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ разность отрицательных и положительных переходов годографа разомкнутой системы через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки (-1, j0) была равна l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
АФЧХ разомкнутых статических систем при изменении частоты ω от 0 до ∞ образуют замкнутый контур. У астатических разомкнутых систем при ω=0 годограф начинается в бесконечности. Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка v необходимо начало АФЧХ разомкнутой системы дополнить дугой бесконечного радиуса против часовой стрелки до пересечения с вещественной положительной полуосью (т.е. сделать контур замкнутым) и применить соответствующее правило по критерию устойчивости Найквиста (рис. 5).
Рис. 5. Годограф устойчивой замкнутой системы.
Задание на выполнение лабораторной работы
Эксперимент 1. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии .
1.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink, используя блоки (см. ЛР № 1 эксп. 3);
1.2. Получите реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие при ;
1.3. Исследуйте устойчивость заданной разомкнутой системы:
- по коэффициентам характеристического уравнения
- по корням;
- по кривой переходного процесса;
- по критерию Гурвица;
Сделайте вывод об устойчивости заданной системы, результаты занесите в табл.6.1.
1.4. Охватите звено единичной отрицательной обратной связью (рис. 3), получите передаточную функцию замкнутой системы;
1.5. Получите семейство переходных характеристик замкнутой системы при изменении коэффициента в пределах от 0.2 до 10).
1.6. Исследуйте устойчивость замкнутой системы:
- по кривой переходного процесса;
- по корням;
- по коэффициентам характеристического уравнения;
- по критерию Гурвица;
1.7. Сделайте вывод об устойчивости замкнутой системы, результаты занесите в таблице 1. Сделайте вывод о влиянии коэффициента на устойчивость;
1.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова;
1.9. Постройте годограф разомкнутой системы с использованием пакета Matlab (используйте материалы лабораторной работы № 5). Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста.
Таблица 1.
Разомкнутая система |
|||
Передаточная функция |
Характеристический полином |
||
|
|
||
Исследование устойчивости |
|||
корни |
коэффициенты |
по |
по Гурвицу |
|
|
|
|
Система устойчива |
Система устойчива |
Система устойчива |
Система устойчива |
Замкнутая система |
|||
Передаточная функция |
Характеристический полином |
||
|
|
||
Исследование устойчивости |
|||
корни |
коэффициенты |
по |
по Гурвицу |
|
|
|
|
Система |
Система |
Система |
Система |
Переходная характеристика разомкнутой системы |
Переходная характеристика замкнутой системы |
||
|
|
||
Критерий Михайлова |
Критерий Найквиста |
||
|
|
|
|
|
|||
Система |
Система |
Эксперимент 2. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии .
2.1. Для моделирования использовать схему эксперимента 1, заменив отрицательную обратную связь на положительную.
2.2-2.7. Повторите пункты 1.2-1.7 эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 2. Определите .
2.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова для разных коэффициента ( ). Кривые Михайлова для разных коэффициентов показать на одном рисунке.
2.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста для .
Эксперимент 3. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
3.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink.
3.2.-3.7. Повторите пункты 1.2. -1.7. эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 3.
3.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова при изменении коэффициента .
3.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста при изменении коэффициента .
Эксперимент 4. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией В разомкнутом состоянии .
4.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink;
4.2.-4.7. Повторите пункты 1.2. -1.7. эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 5. Определите .
4.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова при К< ;
4.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста при К< .