1.8.Распределение нелетучей примеси по длине

кристалла, полученного при конечной скорости

движения расплавленной зоны

Распределение нелетучей примеси вдоль кристалла, полученного при конечной скорости движения фронта кристаллизации, в одномерном приближении может быть описано теми же формулами, что и для квазистатического режима кристаллизации с точностью до замены равновесного коэффициента К₀ на эффективный коэффициент распределения примеси К_ЭФ.

Для зонной перекристаллизации (первый проход зоны вдоль однородно легированного исходного слитка)

(45)

Чтобы обосновать справедливость последних утверждений достаточно принять во внимание малую толщину диффузионного пограничного слоя. Количество содержащейся в нем «избыточной» примеси (рис. 9) невелико и изменяется с течением времени очень медленно. Поэтому при составлении текущего уравнения материального баланса количеством «избыточной» примеси, содержащимся в концентрационном «гребне» диффузионного пограничного слоя (см. рис. 9), можно пренебречь и брать в качестве величину , а вместо К₀ использовать К_ЭФ.

Рис. 9. Схема распределения концентрации примеси в окрестности фронта кристаллизации при К₀ < 1

В остальном же рассуждения пункта 1.4 можно повторить без изменений и прийти к формуле (46). Однако следует подчеркнуть, что эта формула неприменима для описания реального концентрационного профиля :

• на начальных участках готового слитка, при кристаллизации которых происходит первичное накопление примеси в области диффузионного пограничного слоя;

в хвостовой части слитка, где в твердую фазу выделяется примесь, накопленная в последних порциях расплава.

Кроме того, для применимости (45) условия роста должны обеспечивать постоянство эффективного коэффициента распределения примеси.

2. Лабораторные задания

2.1. После изучения теоретического материала ознакомьтесь со всем блоком лабораторных заданий и приложениями. Согласуйте с преподавателем состав своего индивидуального лабораторного задания и детали вычислений. Спланируйте свои дальнейшие действия.

2.2. Расчёт распределения нелетучей примеси в кремнии после однократной зонной перекристаллизации однородно легированного исходного слитка в квазиравновесном режиме.

(Для выполнения задания рекомендуется воспользоваться программой Mathcad).

2.2.1. Пренебрегая взаимодействием расплава с паровой фазой и материалом контейнера, найдите по формуле (16) распределение примеси в кремнии N₁ после первого квазистатического прохода расплавленной зоны длиной l вдоль однородно легированного исходного слитка длиной L. Сорт примесей, значения l и L согласуйте с преподавателем. Значения равновесных коэффициентов распределения приведены в приложении 1. Концентрацию примеси в подпитывающей фазе N₀ примите равной предельной растворимости примеси в кремнии при температуре затвердевания (приложение 2). Результаты представьте в виде графиков зависимости отношения (N₁/N₀) от безразмерной координаты (x/l). Распределение примеси в хвостовой части слитка длиной ~l не рассматривать.

2.2.2. Повторите вычисления п.2.2.1, варьируя длину расплавленной зоны. Набор значений l согласуйте с преподавателем.

2.3. Расчёт распределения нелетучей примеси после многократной квазиравновесной однонаправленной зонной перекристаллизации однородно легированного исходного слитка.

(Для выполнения задания рекомендуется воспользоваться программой Mathсad).

2.3.1. Пренебрегая взаимодействием расплава с паровой фазой и материалом контейнера, найдите путём численного решения дифференциального уравнения (20) с граничным условием (22) распределение примеси в кремнии N₁ после первого прохода расплавленной зоны длиной l вдоль однородно легированного исходного слитка длиной L. Сорт примеси, значения l и L согласуйте с преподавателем. Значения равновесных коэффициентов распределения приведены в приложении 1. Начальную концентрацию примеси в подпитывающей фазе N₀ примите равной предельной растворимости примеси в кремнии при температуре затвердевания (приложение 2). Результаты представьте в виде графиков зависимости отношения (N₁/N₀) от безразмерной координаты (x/l). Распределение примеси в хвостовой части слитка длинной ~l не рассматривать. Сравните полученное распределение с результатами п.2.2.1. Сделайте выводы о точности численного решения поставленной задачи.

2.3.2. Продолжив вычисления п.2.3.1, найдите путём численного решения дифференциального уравнения (23) с граничным условием (24) распределение примеси в кремнии N_n после каждого из n квазистатических проходов в том же направлении расплавленной зоны длиной l вдоль однородно легированного исходного слитка длиной L. Сорт примеси, значения l и L и количество проходов зоны n согласуйте с преподавателем. Результаты представьте в том же формате, что и в п.2.3.1. При выполнении численного эксперимента следует учитывать, что для многократной однонаправленной зонной перекристаллизации физически корректное решение задачи (23) – (24) для n-го прохода зоны распространяется на начальную часть слитка длиной (L-n·l).

2.3.3. Повторите вычисления п.2.3.2, варьируя длину расплавленной зоны. Набор значений l согласуйте с преподавателем. Сделайте выводы о влиянии длины зоны и количества проходов на эффективность очистки кристалла от примесей.

2.4. Расчёт зависимости эффективного коэффициента распределения примеси от приведённой скорости роста. Исследование влияния конечной скорости движения фронта кристаллизации и длины расплавленной зоны на распределение нелетучей примеси в кристаллах, полученных зонной перекристаллизацией.

(Для выполнения задания рекомендуется воспользоваться программой Mathcad).

2.4.1. Рассчитайте по уравнению Бартона-Прима-Слихтера зависимость эффективного коэффициента распределения примеси от приведенной скорости роста (f/D) при изменении скорости движения фронта кристаллизации f от нуля до трёх мм/мин. Значение толщины диффузионного пограничного слоя следует брать в интервале от 10^-3 см до 10^-2 см. Значения коэффициента диффузии следует брать в интервале от 10^-5 см²/с до 10^-4 см²/с. Конкретный набор этих параметров и сорт примеси согласуйте с преподавателем.

2.4.2. Используя результаты п.2.4.1, повторите вычисления п.2.3.1 и п.2.3.2, используя значения эффективного коэффициента распределения примеси, полученные в п.2.4.1. Набор значений скорости f и других значимых параметров процесса зонной перекристаллизации согласуйте с преподавателем. Сделайте выводы о влиянии скорости движения фронта кристаллизации и количества проходов зоны на эффективность очистки кристалла от примесей.

2.4.3. Повторите вычисления п.2.4.2, варьируя дополнительно и длину расплавленной зоны. Набор значений l также согласуйте с преподавателем.

2.4.4. Сделайте выводы о влиянии основных технологических факторов процесса зонной перекристаллизации на эффективность очистки кристалла от примесей.

2.5. Сформулируйте выводы по результатам проведённого численного эксперимента.