1.2. Упрощающие предположения, принимаемые при теоретическом описании процессов направленной

кристаллизации

Определим равновесный коэффициент распределения примеси равенством:

К₀=(N^тв/N^ж)_{фронт крист} , (1)

где обе концентрации ( N^тв – концентрация примеси в твердой фазе и N^ж - концентрация примеси в жидкой фазе ) берутся у фронта кристаллизации. Далее будем полагать, что все концентрации измерены в (см^-3). При теоретическом анализе процессов направленной кристаллизации делают следующие упрощающие предположения:

1) диффузия в твердой фазе отсутствует. Даже при температурах порядка температуры плавления полупроводника пренебрегают диффузионным перераспределением примеси в твердой фазе;

2) в расплаве и в паровой фазе происходит почти полное выравнивание состава благодаря процессам диффузии и конвекции;

3) непосредственно у фронта кристаллизации составы кристаллизующейся фазы и расплава связаны соответственно равновесной диаграмме состояния системы полупроводник – примесь (рис. 3а);

4) в процессе кристаллизации равновесный коэффициент распределения примеси остаётся неизменным:

К₀ = const. (2)

Т_плА

Рис. 3. Т-Х диаграмма идеального двухкомпонентного раствора:

а – полная Т-Х диаграмма идеального двухкомпонентного раствора; б – линейная аппроксимация кривых ликвидуса и солидуса в области Х_В << 1

Это предположение справедливо, если концентрация легирующей примеси достаточно мала. Тогда в области Х_В << 1 линии ликвидуса и солидуса допускают аппроксимацию отрезками прямых (рис. 3б) и потому можно полагать, что К₀ = (N^тв/N^ж)_{фронт крист} ≈ (Х_В^тв/Х_В^ж) _{фронт крист} = const.

Перечисленные упрощающие предположения отражают неравновесное протекание реальных процессов направленной кристаллизации. В самом деле, после завершения равновесной кристаллизации состав слитка однороден и совпадает с составом исходного расплава. В реальных же условиях направленной кристаллизации примесь вдоль слитка распределяется неоднородно. И далее нам предстоит выяснить, как именно распределяется примесь вдоль слитка в тех или иных процессах направленной кристаллизации.

1.3. Уравнения материального баланса примесного

компонента и баланса объемов конденсированных фаз

Введем обозначения для концентраций легирующей примеси: N^тв – концентрация примеси в твердой фазе, N^ж – в расплаве, N^подп – в подпитывающей фазе, N^п – в паровой фазе, и для объемов взаимодействующих фаз: V^тв, V^ж, V^подп, V^п соответственно. Далее в этом пункте будем полагать, что подпитывающая фаза легирована однородно (N^подп = const) и объём паровой фазы остаётся постоянным (V^п = const). Если во всех фазах системы, за исключением получаемого слитка, легирующая примесь распределена однородно, то общее количество примеси в системе N^пол будет выражаться формулой

. (3)

В процессе кристаллизации полное количество атомов примеси в системе остаётся неизменным: N^пол = const. Это условие в дифференциальной форме будет иметь вид: dN^пол = 0. С учетом принятых ограничений N^подп=const и V^п=const на основании (3) получаем

, (4)

где значение концентрации примесного компонента в твердой фазе берется у фронта кристаллизации. Равенство (4) представляет собой дифференциальную форму уравнения материального баланса примесного компонента в рамках принятых упрощающих предположений, рассмотренных выше.

При анализе процессов направленной кристаллизации с хорошей точностью можно полагать, что сумма объемов всех конденсированных фаз остается неизменной в ходе процесса V^тв + V^ж + V^подп = const, или в дифференциальной форме

dV^тв + dV^ж + dV^подп = 0 . (5)

Это уравнение принято называть уравнением баланса объемов.

Уравнения (4) и (5) являются основными исходными уравнениями для анализа процессов направленной кристаллизации, протекающих в квазистатическом режиме.