- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Введение
- •Глава 1 основы теории упругости
- •1.1 Основные положения, допущения и обозначения
- •1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра
- •1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке
- •1.4 Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке
- •1.5 Напряжения по октаэдрическим площадкам
- •1.6 Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями
- •1.7 Относительная линейная деформация в произвольном направлении
- •1.8. Уравнения совместности деформаций
- •1.9 Закон Гука для изотропного тела
- •1.10 Плоская задача в прямоугольных координатах
- •1.11 Плоская задача в полярных координатах
- •1.12 Возможные решения задач теории упругости
- •1.13 Решение задач в перемещениях
- •1.14 Решения задач в напряжениях
- •1.15 Случай температурного поля
- •1.16 Краткие выводы
- •Глава 2 простейшие осесимметричные задачи
- •2.1 Уравнения в цилиндрических координатах
- •2.2 Деформация толстостенного сферического сосуда
- •2.3 Сосредоточенная сила, действующая на плоскость
- •2.4 Частные случаи загрузки упругого полупространства
- •2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство
- •2.6. Задача об упругом смятии шаров
- •Глава 3 толстостенные трубы
- •3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы
- •3.2 Исследование напряжений при давлении на одном из контуров
- •3.3 Условия прочности при упругой деформации
- •3.4 Напряжения в составных трубах.
- •3.5 Понятие о расчете многослойных труб
- •3.6 Примеры
- •Глава 4 пластины и мембраны
- •4.1 Основные определения и допущения
- •4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах
- •4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины
- •4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины
- •4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины
- •4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы. Условия прочности
- •4.7 Температурные напряжения в пластинах
- •4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения
- •4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране
- •4.10 Примеры
- •Глава 5 оболочки
- •5.1 Общие сведения об оболочках
- •5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы
- •5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
- •5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки
- •5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке
- •5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
- •5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек Уравнение совместности деформации.
- •5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке
- •5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке
- •5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности
- •5.11 Примеры
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2 Осесимметричные задачи теории упругости
5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке
Выше (расчетный случай 2) указывалось, что когда расстояние l между торцами или подкрепляющими кольцами цилиндрической оболочки меньше отношения , усилия и перемещения в оболочке следует определять, учитывая ее ограниченную длину. В этом случае удобнее пользоваться для интеграла дифференциального уравнения равновесия элемента (5.32) формулой (5.34), а не (5.33), а начало координат располагать в середине длины оболочки.
Кроме того, для определения произвольных постоянных интегрирования должны быть составлены другие граничные условия. Например, первое условие для расчетного случая 1, составленное в предположении равенства нулю радиального перемещения w при абсциссе х, стремящейся к бесконечности, не может быть использован для короткой оболочки, но имеется возможность использовать граничные условия на обоих торцах оболочки.
Для примера составим уравнение изогнутой срединной поверхности для нагрузки Q0 и M0 (см. расчетный случай 1), приложенной к короткой оболочке (рис. 105). Так как интенсивность нагрузки q = 0, уравнение изогнутой срединной поверхности в соответствии с формулой (5.34)
Рис. 105
Постоянные A определяем из следующих граничных условий:
Так как каждое из последних двух условий объединяет в себе два условия (плюс или минус ), число уравнений, необходимых для определения постоянных А, достаточно. Усилия и перемещения в коротких оболочках удобно выражать с помощью тригонометрических и гиперболических функций от .
5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке
Одинаковое постоянное изменение температуры во всех направлениях. Если торцы оболочки свободны и деформация ее как в радиальном направлении, так и вдоль образующей не стеснена, напряжения при равномерном изменении температуры не возникают. При любом способе симметричного закрепления торов (рис. 106) в торцевом сечении возникают те или иные реактивные погонные усилия: изгибающие моменты (M0)t, продольные (N0)t и поперечные (Q0)t силы.
|
|
а) |
б) |
Рис. 106
Для нахождения изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих при изменении температуры на , приравняем радиальные температурные перемещения, равные абсолютному изменению длины радиуса,
радиальным перемещеням wx=0 в сечении х = 0, вызванным погонными моментами (M0)t и поперечными силами (Q0)t [см. формулу (5.57)]. Получим уравнение
, (5.86)
содержащее два неизвестных: .
Второе уравнение, содержащее эти два неизвестных, получится из условия равенства нулю угла наклона касательной к оси х в защемлении (рис. 106,а) или в середине пролета (рис. 106,б). Для защемленной оболочки (рис. 106,a) это условие запишется по формуле (5.58)
, (5.87)
для опертой оболочки (рис. 106,б) по формуле (5.54)
. (5.88)
Решая совместно уравнения (5.86) и (5.87) или (5.86) и (5.88), можно найти усилия (M0)t и (Q0)t, а затем w, Qx и Мx в любом сечении с помощью формул (5.53), (5.55) и (5.56).
Погонная продольная сила (Nx)t, возникающая при закреплении торцов оболочки, определяется из условия совместности деформации вдоль оси х
откуда
.
Постоянная разность температур в радиальном направлении. Обозначим через t1 температуру на внутренней поверхности оболочки и через t2 на наружной. В сечениях, удаленных от закрепленных торцов, или в случае, если торцы свободны, местного изгиба нет. Предположим, что температура и вызванные ею относительные линейные деформации изменяются по толщине h оболочки по линейному закону (рис. 107). Примем t2 > t1 и обозначим
.
Относительная температурная деформация наружного волокна оболочки
.
Рис. 107
С другой стороны, эта же деформация, на основании гипотезы плоских сечений
,
где 1 радиус образующих цилиндра при изгибе.
Приравняв эти выражения друг другу, получим кривизну
. 5.89)
В то же время искривление образующей цилиндрической оболочки под действием изгибающего погонного момента Мх характеризуется кривизной [см. формулу (5.26)]
. (5.90)
Если торец защемлен, искривления образующей не происходит, погонный изгибающий момент Мх находим, приравнивая выражения (5.89) и (5.90):
Наибольшие нормальные напряжения в крайних волокнах
. (5.91)
В случае t2 > t1 знак плюс соответствует наружной поверхности оболочки, знак минус внутренней. Около закрепленных торцов возникает местный изгиб, и на напряжение по формуле (5.91) алгебраически накладываются напряжения, вычисленные по значению, из условия удовлетворения граничным условиям.
3. Постоянная разность температур в направлении оси х. Изменение температуры вдоль оси х вызывает изгиб оболочки, обусловленный различными радиальными перемещениями поперечных сечений. Он может описываться дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению(5.32), если подставить в него переменную интенсивность q, вызывающую такие же деформации, как и переменная температура.
Примем закон изменения температуры по длине оболочки
Относительное окружное напряжение по закону Гука
а погонная продольная сила
.
С другой стороны, Nу = —qR (см. рис. 101), откуда интенсивность радиальной нагрузки, эквивалентной температурному воздействию,
.
Подстановка этого значения в уравнение (5.32) дает
(5.92)
и задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения (5.92).