- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Введение
- •Глава 1 основы теории упругости
- •1.1 Основные положения, допущения и обозначения
- •1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра
- •1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке
- •1.4 Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке
- •1.5 Напряжения по октаэдрическим площадкам
- •1.6 Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями
- •1.7 Относительная линейная деформация в произвольном направлении
- •1.8. Уравнения совместности деформаций
- •1.9 Закон Гука для изотропного тела
- •1.10 Плоская задача в прямоугольных координатах
- •1.11 Плоская задача в полярных координатах
- •1.12 Возможные решения задач теории упругости
- •1.13 Решение задач в перемещениях
- •1.14 Решения задач в напряжениях
- •1.15 Случай температурного поля
- •1.16 Краткие выводы
- •Глава 2 простейшие осесимметричные задачи
- •2.1 Уравнения в цилиндрических координатах
- •2.2 Деформация толстостенного сферического сосуда
- •2.3 Сосредоточенная сила, действующая на плоскость
- •2.4 Частные случаи загрузки упругого полупространства
- •2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство
- •2.6. Задача об упругом смятии шаров
- •Глава 3 толстостенные трубы
- •3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы
- •3.2 Исследование напряжений при давлении на одном из контуров
- •3.3 Условия прочности при упругой деформации
- •3.4 Напряжения в составных трубах.
- •3.5 Понятие о расчете многослойных труб
- •3.6 Примеры
- •Глава 4 пластины и мембраны
- •4.1 Основные определения и допущения
- •4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах
- •4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины
- •4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины
- •4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины
- •4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы. Условия прочности
- •4.7 Температурные напряжения в пластинах
- •4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения
- •4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране
- •4.10 Примеры
- •Глава 5 оболочки
- •5.1 Общие сведения об оболочках
- •5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы
- •5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
- •5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки
- •5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке
- •5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
- •5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек Уравнение совместности деформации.
- •5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке
- •5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке
- •5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности
- •5.11 Примеры
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2 Осесимметричные задачи теории упругости
5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности
Наибольшие напряжения в цилиндрической оболочке складываются алгебраически из напряжений мембранных, напряжений от изгиба моментами Мх и My и температурных напряжений t, если они есть. Пренебрегая напряжениями = q малыми по сравнению с напряжениями x и y (см. рис.92), элемент оболочки, выделенный двумя меридиональными и двумя экваториальными сечениями, можно считать испытывающим плоское деформированное состояние.
Так как касательные напряжения
то нормальные напряжения x и y представляют собой главные напряжения. Наибольшее нормальное напряжение, действующее по поперечному сечению цилиндра и направленное вдоль образующей (см. рис. 92), возникает на одной из поверхностей оболочки и вычисляется как алгебраическая сумма
(5.93)
Знаки плюс или минус в выражении (5.93) зависят от направления нагрузки q, характера изменения температуры и расположения точки, в которой определяется напряжение на внутренней или наружной поверхности оболочки.
Наибольшее нормальное напряжение, действующее по радиальному сечению и направленное по касательной к окружности,
(5.94)
В уравнении (5.94) последний член представляет собой напряжение, вызванное обжатием оболочки вследствие радиального перемещения wx,
Алгебраически большее из двух отрицательных напряжений, вычисленных по формулам (5.93) и (5.94), в случае наружного давления будет главным напряжением 2, меньшее главным напряжением 3. Главное напряжение 1 равно нулю. В случае внутреннего давления главное напряжение 1 равно алгебраически большему из двух положительных напряжений, 2 равно меньшему, a 3 равно нулю. Поэтому в условии прочности по третьей теории прочности
одно из слагаемых в левой части при любом нагружении равно нулю и условие прочности будет
.
По четвертой теории прочности условие прочности при внутреннем давлении
.
Найдем, например, главные напряжения и составим условие прочности для цилиндрической оболочки, подвергнутой наружному давлению q, считая температурные воздействия отсутствующими.
В сопряжении цилиндра с торцом мембранные напряжения сжимающие, напряжения от изгиба у торца растягивающие на наружной поверхности оболочки и сжимающие на внутренней, напряжения от обжатия сжимающие. Поэтому на внутренней поверхности
а на наружной поверхности, с учетом того, что местные напряжения больше мембранных и возникающих от обжатия,
Так как на внутренней поверхности абсолютная величина нормальных напряжений больше, чем на наружной, условие прочности примет вид
.
Местные напряжения от краевого эффекта не всегда следует считать расчетными. Для пластичных материалов концентрация местных напряжений, превышающих допускаемые, захватывающая небольшой участок конструкции, при статически постоянном действии нагрузки иногда допускается. Если же такое перенапряжение происходит периодически, например при многократном повышении и спаде давления, оно может вызвать возникновение усталостной трещины именно в зоне концентрации и не может быть допущено. Расчетными считаются также местные напряжения и для оболочек, выполненных из хрупких материалов.
В ряде случаев при наружном давлении размеры оболочки лимитируются не рассмотренными условиями прочности, а условиями устойчивости. Оболочки нередко должны дополнительно удовлетворять требованиям стойкости в коррозионно-агрессивных средах и при других химических воздействиях. Для оболочек, подверженных действию высокой температуры, допускаемое напряжение следует назначать с учетом возможной ползучести материала.