- •Часть 1
- •Введение
- •1. Программа по математике
- •1.1.Основные математические понятия и факты ·Арифметика, алгебра и начала анализа
- •·Геометрия
- •1.2.Основные формулы и теоремы
- •2.1. Задачи с целыми числами. Признаки делимости
- •2.2.Действительные числа
- •2.3.Процент числа. Основные задачи на проценты
- •2.4.Преобразование числовых и алгебраических выражений
- •2.4.1.Свойства степеней
- •2.4.2. Свойства арифметических корней
- •2.4.3. Формулы сокращенного умножения
- •2.4.4. Деление многочлена на многочлен
- •Пример.3.1. Решить уравнение
- •3.1.3.2.Возвратное или симметричное уравнение
- •3.1.5. Уравнения с параметром (линейные, квадратные и приводимые к ним)
- •3.2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
- •Согласно определению модуля имеем
- •3.3. Иррациональные уравнения
- •Основные методы решения иррациональных уравнений
- •3.3.2. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений – точные квадраты
- •3.3.3. Уединение радикала и возведение в степень
- •3.3.4.Уравнения, содержащие кубические радикалы
- •3.3.5. Введение вспомогательной переменной
- •Пример 3.20. Решить уравнение
- •Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения: вариант 1
- •4.1.4.Нестандартные методы решения
- •4.2. Рациональные неравенства
- •4.2.6. Иррациональные неравенства
- •5. Текстовые задачи
- •5.1. Задачи на движение
- •5.2. Задачи на работу и производительность труда.
- •5.4. Задачи на процентное содержание и концентрацию
- •5.5. Задачи на числа
- •6. Прогрессии
- •6. 1. Арифметическая прогрессия
- •6. 2. Геометрическая прогрессия
- •Задачи для самостоятельного решения вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •7. Тригонометрия
- •7.1. Тригонометрические выражения.
- •7.1.1. Основные понятия
- •7.1.2. Связь между функциями одного угла
- •7.1.3. Функции суммы и разности углов
- •7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму
- •7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов
- •7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
- •7.2.1. Замена неизвестной
- •7.2.2. Понижение степени
- •7.2.3.Введение вспомогательного угла
- •7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций
- •7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
- •7.3. Тригонометрические неравенства.
- •Задачи для самостоятельного решения вариант1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Приложение вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 1 2
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •4.Найти все пары чисел х и у, удовлетворяющие системе неравенств
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 31
- •Вариант 32
- •Вариант 33
- •Вариант 34
- •Вариант 35
- •Литература
- •Оглавление
- •Математика Пособие для подготовки к егэ в 2 частях
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
7.2.1. Замена неизвестной
Если в уравнении тригонометрические функции удается выразить через одну функцию, то эту функцию можно выбрать в качестве новой неизвестной.
Пример 7.8. Решить уравнение 5-7 sin x = 3cos2 x.
Используя основные тригонометрические тождества, выразим cos2 x = 1 - sin2 x и запишем уравнение в виде
5 - 7sin x = 3(1- cos2 x)
или
5-7sin x = 3 - 3 sin2 x
или
3sin2 x -7sin x + 2 = 0.
Выведем новую неизвестную y = sin x и получим квадратное уравнение
3y2 - 7y + 2 = 0,
корни которого y1=1/3 и y2=2. Вернемся к старой неизвестной x. Получаем простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение , k .
Пример 7.9. Решить уравнение 2sin x + 5 cos x =0.
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Проверим, что cos x = 0 не удовлетворяет уравнению. При постановке cos x = 0 в уравнении получаем 2sin x = 0 или sin x = 0. Но, если cos x = 0 u sin x =0, то не выполняется основное тригонометрическое тождество. Следовательно, таких значении x не существует.
Разделим все члены уравнения на cos x (т.к .cos x ≠ 0):
2tg x + 5 = 0.
Получаем простейшее тригонометрическое уравнение tg x = - 5/2, его решение x = -arctg5/2 + πk , k . Здесь учтено, что функция арктангенс − нечетная.
Пример 7.10. Решить уравнение 2sin2 x + 5sin x cos x + 5cos2 x = 1.
Левая часть уравнения представляет собой однородный многочлен второй степени про переменным sin x и cos x. Однако в правой части уравнения стоит число 1. Поэтому, используется основное тригонометрическое тождество, запишем число 1 также в виде однородного многочлена второй степени:
1 = sin2x + cos2x.
Получаем уравнение:
2sin2 x + 5sin xcos x + 5cos2x = sin2x +cos2 x
или
sin2x + +5sin xcos x + 4cos2x = 0.
Такое уравнение является однородным.
Можно проверить, что значение cos = 0 не удовлетворяет этому уравнению. Разделим все члены уравнения на cos2x (т.к. cos х≠ 0). Имеем:
tg2x + 5tg x + 4 = 0.
Введем новую неизвестную y = tg x и получим квадратное уравнение
y2 + 5y + 4 = 0,
корни которого y1 = -1и y2 = -4. Вернемся к старой неизвестной x. Имеем простейшее тригонометрическое уравнения: tg x = -1 (его решения x = arctg (-1) + πk = -π/4 + πk, k ) и tg x = -4 (решения x = -arctg4 + πk, k ).
Пример 7.11. Решить уравнение .
Тригонометрические уравнения вида с помощью подстановки приводится к рациональному относительно t уравнению.
Сделаем замену . Отсюда .
Получаем уравнение
.
, .
нет решений.
7.2.2. Понижение степени
Пример7.12.Решить уравнение .
Воспользуемся формулами понижения степени. Получаем уравнение
.
Или
(n и k − целые числа).
7.2.3.Введение вспомогательного угла
Этот способ основан на использовании формул для синуса или косинуса суммы (разности) двух углов. Он применяется при решении уравнений a sin x + cos x = c (где a,b,c –некоторые коэффициенты ).
Разделим обе части уравнения на и получим :
cos x = .
Так как выполнены условия и + = 1, то можно считать и = sin (или наоборот). Из этих соотношений можно найти угол . Тогда уравнение имеет вид: или . Это уравнение является пройстейшим и имеет решения только при .
Пример 7.13. Решить уравнение sin x +
Найдем и разделим все члены уравнения на 2. Получаем:
, будем считать что cos = , sin , тогда = . Уравнение имеет вид :
или
sin = .
Решения уравнения x + = , откуда x = , где .
Пример 7.14. Решить уравнение sin 10x + cos 10x = sin 16x.
Преобразуем левую часть уравнения. Вычислим и разделим все члены уравнения на . Получаем : Будем считать, что cos = и sin = , тогда = .
Уравнение принимает вид :
sin
или
sin
Преобразуем разность синусов в произведение :
.
Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем
а) x = n, n .
б) , .