Методическое пособие 749
.pdfРис. 1.1. Изменение скорости по слоям жидкости
Наоборот, молекулы, поступающие в зону малых скоростей, увлекают жидкость. Таким образом, вследствие теплового движения молекул и сил сцепления между частицами жидкости возникает тенденция к выравниванию эпюры скоростей. Подтормаживание слоев с большей скоростью при этом аналогично действию трения в механике твердого тела. Используя эту аналогию, действие вязкости называют внутренним трением в жидкости. Теряемая механическая энергия потока расходуется на увеличение внутренней энергии молекул, т.е. переходит в теплоту.
По гипотезе И. Ньютона (1686), подтвержденной многочисленными экспериментами, касательное усилие между слоями жидкости, имеющими разную скорость («сила трения»), пропорционально площади соприкосновения слоев
F и градиенту скорости в поперечном направлении |
dv |
(закон Ньютона о вяз- |
|||
dn |
|||||
|
|
|
|
||
ком трении). |
|
|
|||
f F |
dv |
. |
|
(1.5) |
|
|
|
||||
|
dn |
|
|
Касательное напряжение , или сила трения на единицу площади соприкосновения слоев, выражается формулой
|
f |
|
dv |
. |
(1.6) |
|
|
||||
|
F |
|
dn |
|
|
Коэффициент пропорциональности (греческая буква мю) |
в формулах |
(1.5) и (1.6) носит название динамического коэффициента вязкости. Его раз-
мерность в системе СИ – (Н·с)/м2. В некоторых задачах гидромеханики, когда вязкость мало влияет на течение, используется понятие о фиктивной жидкости, лишенной свойства вязкости – «идеальной жидкости».
Наряду с динамическим коэффициентом вязкости в гидромеханике часто используется также кинематический коэффициент вязкости (греческая буква ню) представляющий собой отношение
10
.
Размерность кинематического коэффициента вязкости м2/с. В практике чаще применяется производная единица см2/с, причем 1 см2 с 10 4 м2с . Еди-
ница см2/с носит название Стокс (Ст). В табл. 1.2 приведены значения кинематического коэффициента вязкости в стоксах для некоторых жидкостей при температуре 20 °С.
Вязкость капельных жидкостей уменьшается с повышением температуры, что связано с уменьшением сил сцепления между частицами. В табл. 1.3 даны значения коэффициента кинематической вязкости при различной температуре для некоторых жидкостей и газов. Вязкость газов, наоборот, увеличивается с повышением температуры из-за увеличения скоростей хаотического движения молекул.
Таблица 1.2
Вид жидкости |
, Ст |
Ртуть |
0,00111 |
Бензин |
0,0083-0,0093 |
Вода |
0,0101 |
Спирт |
0,0133 |
Масло турбинное |
1,32 |
Глицерин |
4,1 |
Таблица 1.3
Кинематический коэффициент вязкости воды и масла при различной температуре
Температура, |
|
, см2/с |
|
С |
вода |
масло турбинное |
воздух |
0 |
0,0179 |
5,20 |
0,133 |
20 |
0,0101 |
1,32 |
0,151 |
40 |
0,0066 |
0,33 |
0,170 |
60 |
0,0048 |
0,146 |
0,189 |
100 |
0,0028 |
- |
0,230 |
Для определения вязкости капельных жидкостей используются приборы – вискозиметры (на рис. 1.2). Чаще других применяется вискозиметр Энглера, в котором вязкость определяется по времени истечения определенного объема жидкости через калиброванное отверстие.
11
а |
б |
Рис. 1.2. Вискозиметр: |
а – ротационный ZM-1001; б – Энглера В1-31Е |
Удельная теплоемкость c , Дж/(кг К) – количество тепла, поглощенного при нагревании единицы массы вещества, отнесенное к температуре.
Удельная теплоемкость обычно определяется экспериментально или подсчитывается с помощью молекулярной теории. Эта величина естественно зависит от типа процесса при изменении состояния.
Внутренняя энергия U , Дж.
Удельная внутренняя энергия определяется как энергия, приходящая на единицу массы вещества. Откуда следует и ее размеренность Дж. Складывается из кинетической и потенциальной энергии, связанной с движением молекул, и зависит от температуры.
Для идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния P RT удельная внутренняя энергия U зависит только от T .
dU cvdT .
При cv const
U2 U1 cv T2 T1 .
Воздух с большой точностью подчиняется законам идеального газа.
Энтальпия i , Дж.
Удельной энтальпией называют величину
i U P .
Как легко видеть размерность i совпадает c размерностью внутренней энергии, Дж. Энтальпия идеального газа зависит только от температуры и ее можно вычислить из соотношения
12
|
P |
|
|
di d U |
|
|
cpdT . |
|
|||
|
|
|
При cp const
i2 i1 cp T2 T1 .
Уменьшение объема вещества при увеличении давления называется сжимаемостью. По закону Гука, приращение объема жидкости dV , связанное с приращением давления dp , определяется формулой
dV |
1 |
Vdp , |
(1.7) |
|
|||
|
E |
|
где E – модуль объемной сжимаемости (модуль Юнга) жидкости, Па.
Модуль объемной сжимаемости газов зависит от термодинамического характера процесса сжатия. Обычно он в тысячи раз меньше, чем для капельных жидкостей (поэтому газы и называют сжимаемыми жидкостями). Наряду с модулем Юнга E для характеристики сжимаемости жидкости применяют обрат-
ную ему величину – коэффициент сжимаемости E1 . Как уже упоминалось,
капельные или несжимаемые, жидкости при небольших изменениях давления практически не меняют объема.
Объемный модуль упругости K, Па – есть мера изменения объема и плотности при изменении давления и, следовательно, определяется как
|
dV |
1 |
|
d |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
V |
|
dP |
|
dP |
Величина, обратная сжимаемости, называется – объемным модулем упру-
гости
Ev |
|
|
dP |
|
|
dP |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d / |
|
||||
|
|
|
dV / V |
|
|
||||
который определяется обычно экспериментально и зависит |
от процесса |
||||||||
E kP – адиабатический, где k |
cp |
; |
E P – изотермический. |
E 20000 ат |
|||||
|
|||||||||
v |
|
|
cv |
v |
|
|
v |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
для воды при нормальных условиях.
13
Скорость звука c , м/с.
dP 0,5 |
|
c |
. |
d
Данная физическая величина обычно определяется экспериментально по Ev и . С использованием адиабатического модуля упругости получаем
c kP 0,5 .
Это выражение дает высокую точность для обычных газов.
Давление насыщенного пара Pv , Па – давление, при котором происхо-
дит кипение жидкости.
Поверхностная энергия и поверхностное натяжение , Н/м. Мерой поверхностной энергии является поверхностное натяжение.
Рассмотрим уравнение состояния для двух сред.
Жидкости. Уравнения состояния большинства веществ, в том числе и капельных, имеют простой вид только для очень редких случаев, если представить зависимость T , P, V совместно.
В широком диапазоне давлений большинство жидкостей несжимаемо и их состояние достаточно точно определяет T . Указанные зависимости обычно представлены в табличной форме в различных справочниках, ресурсах и базах данных.
Газы. Газ, находящийся в равновесном состоянии с жидкой фазой, называется насыщенным. Если температура газа при данном давлении выше равновесной, то такой газ называют перегретым паром.
Для насыщенных газов уравнения состояния также сложны, как и для жидкостей. Для перегретых, к которым относятся все входящие в атмосферу газы, справедливо уравнение состояния идеального газа
Р RT ,
где R – газовая постоянная, Дж/(кмоль·K); P – абсолютное давление Па;
– плотность, кг/м3;
R 8301,6 ,
14
где 8301,6 Дж/(кмоль К) – газовая постоянная для 1 кмоль двухатомных газов
идля метана;
– молекулярный вес газа.
Риногда называют термодинамическим давлением, поскольку оно реализуется при термодинамическом равновесии.
Связь R, cp , cv определяется следующим соотношением
c |
|
c R |
k |
R; c |
R |
; k |
cp |
. |
||
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
v |
r 1 |
v |
k 1 |
|
cv |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Процессы изменения состояния газов.
Сиспользованием уравнения состояния идеального газа легко видеть:
–изотермический процесс
Р |
RT const ; |
(1.8) |
|
|
|||
|
|
–изобарический процесс Р RT const ;
–изоэнтропический адиабатический процесс
P |
Cs const . |
(1.9) |
|
k |
|||
|
|
Из уравнения (1.8) и (1.9) легко получить
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
T |
|
Cs |
|
|
|
|
|
|
|
|
const ; |
T |
|
C k |
const . |
||||
k 1 |
R |
|
k |
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P k 1 |
|
|
|
|
Видеальном случае k const , а для реальных газов он близок к константе
вшироком диапазоне состояний. При адиабатическом сжатии внешняя работа идет на повышение внутренней энергии и повышает температуру тела. Адиабатический процесс с трением описывается записанными выше уравнениями, но коэффициент k несколько отличается: при сжатии он больше; при растяжении меньше.
Поверхностное натяжение. Это механическое свойство капельной жидкости является следствием действия в жидкости сил сцепления и проявляется в местах соприкосновения жидкости со стенками сосуда. В капиллярных трубах поверхностное натяжение играет существенную роль, в крупных же сосудах и трубопроводах, с которыми приходится иметь дело теплоэнергетике, силы поверхностного натяжения исчезающе малы по сравнению с другими силами.
Тепловое расширение. Тепловое расширение жидкости и связанное с ним изменение плотности при изменении температуры незначительны и обыч-
15
но не принимаются во внимание в большей части гидравлических расчетов. Тепловое расширение и сжатие газов исследуется технической термодинамикой.
Капиллярные явления.
Свойство поверхностного натяжения вызывает особые явления на поверхности контакта. Устойчивые линзы на поверхности раздела будут тогда, если напряжения на поверхностях контакта и углы контакта удовлетворяют следующему требованию (рис. 1.3).
АС ВСcos BC ABcos AB ,
BC sin BC AB sin AB .
Устойчиво будет, если
AC ( AB BC ) .
Рис. 1.3. Схема сил, действующих при смачивании
Смачивание твердых поверхностей.
Конфигурация свободной поверхности зависит от сил сцепления между молекулами жидкости (силы когезии) и твердой поверхности (адгезии) (рис. 1.4). Если происходит смачивание твердой поверхности (рис. 1.5), ее называют гидрофильной, если нет – то гидрофобной.
Рис. 1.4. Схема сил, действующих при смачивании твердой поверхности
16
а б в Рис. 1.5. Виды смачивания твердой поверхности: а - полное
смачивание; б - частичное смачивание; в - несмачивание
ТГ Т* *Гcos ;T* ТГ *Г *Т ;
Т* *Г 1 cos .
Капиллярные явления в трубах.
Поведение жидкости в капиллярных трубах (рис. 1.6) зависит от поверхностного натяжения и смачивания твердых стенок
P P P |
|
1 |
|
1 |
|
, |
||
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
R1 |
R2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
где – поверхностное натяжение; |
|
|
|
|
|
|
|
|
R1, R2 – радиусы кривизны, R |
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для случая круглой трубы R1 R2 .
а б Рис. 1.6. Поверхностное натяжения для различных сред
в трубе: а - ртуть; б - вода
17
1.2. Основные понятия и уравнения гидростатики
Гидростатика – раздел гидродинамики, изучающий случаи равновесия жидкостей под действием различных сил.
1.2.1. Силы, действующие в жидкости
Механика жидкости и газа рассматривает две категории сил, действующих в жидкости: объемные и поверхностные.
Объемные, или массовые, силы действуют на каждую частицу жидкости внутри данного объема. Таковы силы тяжести и инерции (в том числе центробежная сила). Объемные силы, отнесенные к единице массы жидкости, имеют размерность ускорения. Так, при действии силы тяжести объемная сила численно равна ускорению силы тяжести g ; при действии центробежной силы
инерции объемная сила равна 2 r (здесь – угловая скорость вращения, r –
радиус). Результат действия объемной силы на заданный объем жидкости V выражается ее произведением на массу жидкости внутри данного объема, которая в свою очередь равна произведению V . В итоге действие силы тяжести выражается весом заданного объема g V , действие центробежной силы
V 2 r и т.д.
При выборе в жидкости декартовой системы координат xyz рассматри-
вают проекции объемной силы (имеющие размерность ускорения) на координатные оси, которые обозначаются прописными буквами X ,Y , Z . Например, пусть плоскость xy параллельна поверхности жидкости, а ось z направлена
вертикально вверх. При этом на жидкость действует только сила тяжести. Тогда проекции X и Y равны нулю, а проекция Z равна g (она отрицательна, по-
скольку сила тяжести действует в направлении, противоположном оси z). Поверхностные силы действуют на поверхностях, ограничивающих дан-
ный объем жидкости от атмосферы, стенок сосуда или соседних объемов жидкости. К поверхностным силам относятся нормальные силы (атмосферное давление, давление со стороны стенок сосуда) и касательные силы, например, касательные напряжения у стенок трубы или у поверхности обтекаемого тела, возникающие при движении жидкости.
1.2.2. Гидростатическое давление в покоящейся жидкости
Сила, действующая со стороны жидкости на единицу площади поверхности тела, соприкасающегося с ней, называется гидростатическим давлением. Если на площадь F действует сила P , то гидростатическое давление определяется по формуле
18
p |
P |
. |
(1.10) |
|
|||
|
F |
|
Если площадь F расположена в жидкости не горизонтально, то в разных ее точках гидростатическое давление оказывается не одинаковым, – оно зависит от глубины. В этом случае давление в точке определяется через предельный пе-
реход по формуле |
|
|
|
p lim |
P |
. |
(1.11) |
|
|||
F 0 |
F |
|
Таким образом, гидростатическое давление аналогично напряжению сжатия тела под действием какой-либо силы.
Вектор давления на некоторую площадку, выбранную в жидкости, направлен по внутренней нормали к ней и не зависит от ориентации площадки.
Единицей измерения давления является Паскаль (Па). Наиболее распространенная в практике единица давления – это кгсм2 (килограмм силы на квадратный метр). Она называется технической атмосферой (ат). Причем 1 ат = 10000 кгсм2 = 735,6 мм ртутного столба = 10,0 м водяного столба.
Название «атмосфера» для этой единицы появилось потому, что она по величине близка к среднему атмосферному давлению на уровне моря, равному
1,033 кгссм2 (давление столбца ртути высотой 760 мм).
Следует отметить, что при сохранении сплошности жидкости давление в ней не может быть ниже некоторого минимума, равного давлению паров данной жидкости, насыщающих пространство при данной температуре. При попытке понизить давление ниже упругости насыщенного пара жидкость вскипает. В табл. 1.4 приведены данные о давлении насыщения для паров воды при различной температуре.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 |
||
Температура, C |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
|
100 |
|
Давление насыщен- |
0,5884 |
2,354 |
7,355 |
19,61 |
47,07 |
|
101,3 |
|
ного пара, кПа |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из приведенных данных следует, например, что при температуре 80 °С вода вскипает, если давление на ее поверхности станет менее 47,07 кПа.
1.2.3. Равновесие жидкости
Для того чтобы жидкость находилась в равновесии, она должна быть в состоянии покоя или двигаться по законам твердого тела. Равновесное состояние является результатом действия внешних сил и связей на границах жидкости.
19