Методическое пособие 749

В экспериментах Рейнольдса жидкость вытекала из бака по стеклянной трубе (рис. 3.1), скорость течения регулировалась краном. Чтобы наблюдать перемещение струек, в поток вводилась струйка красителя.

Рис. 3.1. Схема эксперимента Рейнольдса

Опыты показали, что при малых скоростях течения v струйка красителя распространяется вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними объемами жидкости. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Сила трения между слоями определяется формулой Ньютона, такой режим течения был назван ламинарным.

Если скорость течения делается больше некоторой критической скорости vкр , окрашенная струйка начинает колебаться и размываться. В поперечной

эпюре скоростей появляются разрывы, скорости отдельных частиц изменяются при их перемещении; в фиксированной точке потока появляются пульсации скорости и давления. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями, движущимися друг относительно друга, происходит за счет взаимного перемещения уже не отдельных молекул, как при ламинарном течении, а значительно больших по сравнению с молекулой частиц! Это приводит к возрастанию силы трения между слоями.

Рейнольдс показал, что режим движения в трубе определяется величиной безразмерного соотношения, названного впоследствии числом Рейнольдса Re

	Re	vD	,	(3.3)

где D – диаметр трубы, м;

– кинематический коэффициент вязкости жидкости.

Согласно опытным данным, при Re 2300 течение всегда ламинарное, в этом случае возмущения, вносимые в поток жидкости, затухают из-за действия вязкого трения. При больших значениях числа Рейнольдса внесенные в поток возмущения приводят к потере его устойчивости, наблюдается турбулизация.

Значение Reкр 2300 называют критическим числом Рейнольдса.

Величину Re можно трактовать как соотношение между силой инерции, опрокидывающей частицу, и силой вязкого трения, препятствующей такому опрокидыванию. Возрастание числа Рейнольдса влечет за собой уменьшение относительного влияния на поток стабилизирующей силы трения у стенки. С

70

достижением Reкр это приводит к потере устойчивости потока, разрывам попе-

речной эпюры скорости и появлению пульсаций.

Опытные данные по потерям напора. Установка Рейнольдса (рис. 3.1)

позволяет исследовать влияние режима течения на потери напора в трубе. В результате измерения потерь hl , связанных с трением о стенки трубы, при разных

скоростях течения было обнаружено, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны скорости в первой степени, а при турбулентном – в степени от 1,75 до 2. Для развитого турбулентного движения при больших скоростях

потока характерен квадратичный закон сопротивления:	h v2	. Соответственно
	l

при различных режимах течения гидравлический коэффициент трения тр в

формуле Дарси (3.2) зависит от разных факторов.

Зависимость тр от числа Рейнольдса и относительной шероховатости

стенок трубы была исследована экспериментально немецким ученым Никурадзе. Схема опытной установки принципиально не отличалась от прибора Рейнольдса. По измеренным в опытах hl и v вычислялась величина тр . Шерохова-

тость стенок создавалась наклеиванием на внутреннюю поверхность трубы калиброванного песка, причем диаметр песчинки отождествлялся с высотой выступа шероховатости.

Полученная в экспериментах Никурадзе зависимость представлена графически на рис. 3.2.

		r
тр	f Re,			,	(3.4)

где r – радиус трубы, м.

Рис. 3.2. Зависимость коэффициента трения тр от числа Рейнольдса Re

Величины Re и тр отложены по осям в логарифмическом масштабе. Анализ графика Никурадзе показывает, что при малых числах Рейнольдса

71

( Re < 2300, ламинарный режим) коэффициент трения не зависит от размеров бугорков шероховатости, величины тр для разных труб лежат на общей прямой

АВ. Это происходит потому, что при ламинарном течении скорость у стенки равна нулю, выступы шероховатости находятся в застойной зоне (рис. 3.3, а) – область гидравлически гладкого сопротивления. В этом случае между турбулентным ядром потока, занимающим большую часть сечения трубы, и стенкой лежит тонкий ламинарный подслой. На рис. 3.3, б его граница показана пунктирной линией. Эпюра скоростей в ламинарном подслое переходит на его границе в эпюру осредненных скоростей турбулентного течения v в ядре потока. Ламинарный подслой играет роль своего рода слоя смазки, покрывающего выступы шероховатости; проникновению в него турбулентных пульсаций препятствует близость стенки. Потери напора в трубе определяются вязким трением внутри подслоя и зависят только от числа Рейнольдса.

а

б

в

г

Рис. 3.3. Развитие течения с увеличением числа Re

С возрастанием скорости (увеличением Re ) ламинарный подслой утоняется, отдельные выступы шероховатости вторгаются в турбулентное ядро потока (рис. 3.3, в). При этом меняется сама природа сопротивления. Если при ламинарном течении и в области гладкого сопротивления потери напора были связаны с внутренним трением в жидкости, то при выдвижении бугорков шероховатости из ламинарного подслоя поток обтекает их с образованием за тыловым склоном вихревых областей. Давление на переднем склоне бугорка оказывается больше, чем на заднем, и поток тормозится этими перепадами давления. При наличии остатков ламинарного подслоя, покрывающих мелкие выступы шероховатости, величина коэффициента трения определяется совместным влиянием

72

числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Эта область сопротивления называется доквадратичной.

Наконец, при дальнейшем увеличении Re ламинарный подслой полностью срывается (рис. 3.3, г), тр становится функцией только относительной вы-

соты выступов шероховатости. Это – область квадратичного сопротивления. Переход от одной области сопротивления к другой определяется величи-

r

нами Re и . Из рис. 3.2 следует, например, что сопротивление становится

квадратичным ( тр перестает зависеть от Re ) примерно при Re 100000.

В технических условиях шероховатость труб отличается от зернистой шероховатости опытов Никурадзе более плавными очертаниями бугорков и неодинаковой их высотой. Средняя высота выступов шероховатости составляет для цельнотянутых стальных труб от 0,02 до 0,1 мм, для бывших в употреблении, незначительно корродированных, – от 0,1 до 0,4 мм. Сопротивление труб с естественной шероховатостью исследовалось в специальных опытах (например, работы Ф.А. Шевелева). Свод данных, характеризующих течение в различных областях сопротивления, приведен в таблице.

Таблица

Характеристики течения в различных областях сопротивления

Режим те-

Область сопро-

Закон сопротив-

Пределы области

Формула для тр

чения

тивления

ления

ламинар-

–

hl

v

Re 2300

64

ный

Re

турбулент-

гидравлически

r

0,3164

1,75

4000 Re 46

ный

гладкая

hl

v

4

Re

(формула Блазиуса)

m

100

0,25

hl

v

,

r

r

турбулент-

доквадратич-

46

Re 1120

0,14 1, 46

r

ный

ная

m 1,75..2

Re

(формула А.Д. Альтшуля)

1

r

r

2

турбулент-

hl

v

2

Re 1120

2lg

1,74

квадратичная

ный

Re 100000

(формула Пранд-

тля-Никурадзе

Ламинарное течение в круглой трубе. Плавное изменение скоростей при ламинарном режиме и удобство задания граничных условий (нулевая скорость у стенки) позволяют исследовать ламинарные потоки аналитически. Рассмотрим, например, ламинарное течение в круглой трубе радиуса r (рис. 3.4). Определим силы, действующие на объем жидкости в форме цилиндра радиусом

73

r и длиной l . В направлении оси трубы на торцевые поверхности этого цилин-

дра действуют силы давления		p r2 и		p r2	, на боковую поверхность – сила
		1		2
2 rl	(здесь – касательное напряжение трения). Приравнивая эти силы, име-
ем
			p1	p2 r	.	(3.5)
				2l

Рис. 3.4. Схема ламинарного движения течения в трубе

Поскольку в круглой трубе течение осесимметрично и скорость измеряется только по радиусу, выражение для напряжения трения (3.5) приобретает вид

	dv	.	(3.6)
	dr

Два последних выражения дают дифференциальное уравнение, описывающее поперечное распределение скоростей в трубе

	dv			p1 p2	r.	(3.7)
	dr			2 l
Интегрируя его, имеем
v		p p r2			C.
		1	2			(3.8)
			4 l

Постоянную интегрирования C определим из условия на стенке v 0 при r r0 . Подставляя в выражение для v , получим формулу Пуазейля

74

v	p1 p2	r2	r2 .	(3.9)
	4 l	0

Согласно формуле Пуазейля эпюра скоростей в поперечном сечении трубы имеет форму параболы (рис. 3.4). Максимальная скорость наблюдается при r 0, причем в этой области

v	p	p	r2	(3.10)
	1	2	0 .
max		4 l

Расход в трубе можно определить интегрированием по сечению трубы элементарных расходов, которые равны произведению скорости (3.9) на площадь элементарного кольца 2 rdr

r0	r4	p	p
Q v2 r	0	1	2	.	(3.11)
	8
0			l

Средняя скорость в трубе

v		Q			p1 p2 r02		vmax	.	(3.12)
		r			8 l
ср			2			2
		0

Используя (3.12) легко определить величину гидравлического коэффициента трения тр в формуле Дарси (3.2). Действительно, принимая, во внимание,

что

p1 p2 hl ,				(3.13)
			,	(3.14)
		g
r	D	,		(3.15)
0	2

получаем

		64		64	.	(3.16)
тр		vD		Re

Зависимость (3.16) для коэффициента трения при ламинарном течении в круглой трубе приведена в табл. 3.1. Она хорошо подтверждается результатами опытных данных.

75

3.3.Некоторые частные случаи ламинарного течения жидкости

3.3.1.Ламинарное течение жидкости в круглой трубе

Рассмотрим участок трубы длиной l расположенный достаточно далеко от входа и горизонтально, чтобы исключить влияние сил тяжести.

Рис. 3.5. Участок трубы

Уравнение Бернулли для выбранных сечений будет иметь вид

	P			P	h
	1			2				,		(3.17)
						тр
где hтр – потеря напора на трение.
h			P P				Pтр
			1		2				.	(3.18)
тр

В потоке жидкости выделим контрольный объём в форме цилиндра, как показано на рис. 3.5, и составим уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы двух сил, действующих на объем: силы давления и силы сопротивления Уравнение будет иметь следующий вид

		(P	P ) r2		2 rl 0 .
		1	2
Здесь (P	P ) r2	– суммарная составляющая сил давления; 2 rl					– силы
1	2
сопротивления.
Отсюда
					Pтрr	.	(3.19)
					2l

76

Выразим касательное напряжение по закону Ньютона, т.е.
	dv	.	(3.20)
	dr

Знак минуса обусловлен тем, что направление отсчёта радиуса (от оси к стенке) противоположно ранее принятому направлению отсчёта нормали. Получаем

Pтрr

dv

,

(3.21)

2l

dr

dv

Pтр

rdr,

(3.22)

2 l

Pтр

r2

v

C.

(3.23)

2 l

2

Постоянную интегрирования определим из условий, заданных на стенке трубы, где при r r0 , v 0.

	C	Pтр	r2 .	(3.24)
		4 l
			0

И тогда получаем закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении, получаемый путём непосредственного интегрирования уравнений Навье-Стокса.

v

Pтр

r2

r2 ,

(3.25)

4 l

0

v

Pтр

r2 .

(3.26)

4 l

max

0

Следовательно, расход жидкости составит

Q

dQ vds

Pтр

2

r

2

)2 rdr

Pтр

4

(r0

r0 .

(3.27)

4 l

8 l

(Q)

( S )

(r )

Среднее по сечению значение скорости будет определяться по формуле

v		Q			Pтр	r2	,	(3.28)
		r			8 l
cp			2			0
		0

77

т.е. v

1

v .

cp

2 max

Получим закон сопротивления, т.е. зависимость hтр

от расхода и геомет-

рии трубы. Из (3.28) имеем

P

8 l

Q ,

(3.29)

тр

r4

0

h

Pтр

8 lQ

128vlQ

.

(3.30)

r4

gd 4

тр

0

Формула (3.30) получена Пуазейлем экспериментально в 1840 г. Получим так называемый закон Пуазейля-Гагена, который используется для расчёта трубопроводов с ламинарным режимом течения. Приведём уравнение (3.30) к виду

l

vcp2

h

.

(3.31)

тр

d 2g

С этой целью

в формуле (3.30)

заменим расход

через

произведение

d 2

v , после соответствующих преобразований будем иметь

4

cp

h

32vlvcp

64v

L

vcp2

64 l vcp2

l

vcp2

,

(3.32)

gd 2

тр

v d d 2g Re d 2g

л d 2g

cp

где л Re64 .

Здесь следует обратить внимание, что величина hтр при ламинарном тече-

нии пропорциональна скорости в первой степени, а квадрат скорости в формуле (3.32) получен искусственно.

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы и закон сопротивления, легко определить значение для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе

	v3ds			1		r0			r	2	3	rdr
	( S )				v3ds 16 1								.
		3		3						2		2
	vcp s			vcp s	( s)	0			r0			r0

После замены переменной

1 r2 z ,

r02

(3.33)

(3.34)

78

получим

8 0 z3dz 2 .	(3.35)
1

Таким образом, можно показать, что импульс ламинарного потока с полученным законом распределения скоростей в раз больше импульса того же потока, но с равномерным распределением скорости

	v2ds			4	.	(3.36)
	v2	s		3
( S )	cp

Полученные соотношения хорошо подтверждаются экспериментально за исключением некоторых частных случаев.

3.3.2. Начальный участок ламинарного течения

Формирование параболического профиля скоростей на начальном участке ламинарного течения в круглой трубе под действием сил вязкости происходит как показано на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Формирование параболического профиля скоростей на начальном участке ламинарного течения в круглой трубе

Расстояние от начала трубы, на котором происходит стабилизация параболического профиля скоростей, называется начальным участком течения ( lнач. ).

За пределом этого участка мы имеем стабилизированное ламинарное течение. Для определения длинны начального участка используется формула Шиллера

	lнач	0,029Re .	(3.37)
	d
Тогда максимально возможная длина начального участка составит
lнач.max d 0,029Reкр 66,5d .			(3.38)

79