Методическое пособие 749

Как видим, скорость истечения идеальной жидкости равна скорости свободного падения тела в пустоте с высоты H . Если давление над поверхностью в баке и в пространстве, в которое вытекает струя, неодинаково, то из уравнения (2.27) следует

	v2		p0 H p		p
	с					,
	2g

откуда

2 p

vc , (2.29)

где p – разность давлений на уровне оси отверстия.

Из-за вязкого трения скорость струи оказывается несколько меньше теоретической. Влияние трения учитывают введением в формулу (2.28) коэффициента скорости истечения 1, так что

v 2gH 2 p . (2.30)

c

По опытным данным, в автомодельной области истечения 0,96 , т.е. вязкость и трение снижает скорость истечения на 4 %.

При малых перепадах давления p (порядка нескольких процентов от исходного давления p0 ) формулой (2.30) допустимо пользоваться также для расче-

та скорости истечения газов. В этом случае неучет их сжимаемости не приводит к существенным ошибкам. При значительных перепадах давления скорость истечения определяют по формулам газодинамики.

Пример. Воздух вытекает из баллона в атмосферу. Процесс истечения адиабатный. Разность плотностей в баллоне и атмосфере составляет 2 %. Определить соответствующую скорость истечения, пренебрегая сжимаемостью воздуха.

Для адиабатного процесса давление связано с плотностью соотношением

pconst , где k – показатель адиабаты. Дифференцируя, имеем

k

dp const, k k 1d kp d .

Для малых изменений плотности допустимо считать дифференциалы равными их приращениям, т.е.

60

p kp ,

0 0

и, принимая для атмосферы p0 1 бар , 0 1,25 кгм3 , имеем

v		2 p		0,96		2 1, 4 105 0,02		64 м/с .
c						1, 25

Приведенный пример показывает, что даже при сравнительно большой скорости истечения изменения плотности газа незначительны и воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость.

Расход Q в струе равен

Q vc Fc F0 2gH .

Произведение коэффициентов сжатия струи и скорости истечения называют коэффициентом расхода (не путать с динамическим коэффициентом вязкости!), . Расход струи определяется формулой

					2 p	.
	Q F	2gH F					(2.31)
	0	0

В автомодельной области истечения коэффициент расхода круглого отверстия с острыми кромками равен примерно 0,61.

2.2.8. Истечение жидкости через насадки. Расходомеры

Насадками называются короткие патрубки (длиной от 3 до 5 диаметров), присоединенные к отверстию (рис. 2.9). Жидкость вытекает через все выходное сечение насадка.

Рассмотрим истечение через внешний цилиндрический насадок (рис. 2.9, а). У входа в насадок (сечение C-C) струя имеет меньший диаметр, чем на выходе, поэтому скорость vс здесь больше, чем выходная скорость vвых .

В соответствии с уравнением Бернулли давление в сжатом сечении оказывается меньше, чем на выходе из насадки. Появление вакуума в сжатом сечении равносильно увеличению напора H , что приводит к увеличению расхода по сравнению с истечением через отверстие того же диаметра. Опыт показывает, что коэффициент расхода в формуле (2.31) для внешнего цилиндрического насадка равен примерно 0,82.

61

а

б

в	г
Рис. 2.9. Истечение жидкости через различные насадки
При истечении через конический расходящийся насадок (рис. 2.9, б) осо-
бенно велика разность скоростей vc	и vвых , поэтому вакуум в сжатом сечении

оказывается более глубоким, чем в цилиндрическом насадке. Конические расходящиеся насадки используются для уменьшения скорости истечения.

Конический сходящийся (рис. 2.9, в) и коноидальный (рис. 2.9, г) насадки обеспечивают возрастание скорости истечения (коэффициент скорости коноидального насадка приближается к единице) и увеличивают компактность струи.

Расходомер. Эффект уменьшения давления при возрастании скорости течения используется для измерения скорости и расхода потока. Рассмотрим расходомер Вентури, представляющий собой трубу с плавным сужением и последующим уширением (рис. 2.10, а).

Перед сужением (сечение 1-1) и в наименьшем сечении трубы 2-2 установлены пьезометры.

Применим уравнение Бернулли (2.16) к выбранным сечениям потока несжимаемой жидкости и пренебрежем поначалу потерями напора между ними. Имеем

v12 p1 v22 p2 .

2g 2g

Уравнение неразрывности vF const позволяет выразить v1 через v2

	v1 v2	F2	v2		D2	2
						.
		F1			D1

Подставляя значение v1 в уравнение Бернулли, имеем

62

2					2
v2			F2					p1 p2
	1								H ,
2g			F1

где H – разность уровней жидкости в пьезометрах. Отсюда расход, вычисляемый по средней скорости в сжатом сечении, равен

	Q v2 F2	F2		2gH					.
					F2		2
			1
					F1

а	б

в г Рис. 2.10. Эффект уменьшения давления при возрастании скорости течения

При практическом использовании расходомеров величину расхода определяют по упрощенной формуле

Q v2 F2 KF2 2gH ,			(2.32)

где K – поправочный коэффициент, мало отличающийся от единицы и учитывающий соотношение диаметров и потери напора от первого до второго сечения. Величину коэффициента K определяют экспериментально. Сведения по величинам K для различных расходомеров содержатся в гидравлических справочниках.

63

Разность давлений в сечениях расходомера p определяют обычно с помощью дифманометра (рис. 2.10, б), при этом расход вычисляется по формуле

Q KF	2 p	.	(2.33)
2

Аналогичен расходомеру Вентури и принцип действия расходомерного сопла (рис. 2.10, в) и диафрагмы (рис. 2.10, г), где струя после сжатого сечения не имеет твердых границ. Расход определяется с помощью этих устройств также по формуле (2.33), причем в качестве F2 используют площадь проходного

сечения сопла или диафрагмы. Из-за появления вихревых областей потери напора в них больше, чем в расходомере Вентури, соответственно отличаются и значения коэффициента K .

При достаточно большой скорости течения падение давления в сжатом сечении расходомера может оказаться столь значительным, что давление здесь оказывается ниже давления паров, насыщающих пространство при данной температуре. При этом начинается холодное кипение жидкости, или кавитация. В жидкости образуются пузырьки, заполненные парами. Перемещаясь вместе с потоком, пузырьки при его расширении попадают в область повышенного давления. Здесь заполняющий их пар конденсируется, пузырьки захлопываются – окружающая жидкость с большой скоростью их заполняет. В заключительной фазе захлопывания пузырька кинетическая энергия частиц жидкости переходит в потенциальную энергию давления, что приводит к значительному местному повышению давления. Если пузырек захлопывается на твердой стенке трубы, такие повышения давления могут вызывать эрозию материала стенки.

Кавитация наблюдается также в проточных частях гидротурбин, насосов и на судовых гребных винтах. Возрастание скорости вращения, желательное для увеличения мощности машины, приводит к столь большим скоростям обтекания, что давление в отдельных местах потока падает ниже давления парообразования. Кроме эрозии материала кавитация порождает нежелательные вибрации, шум и падение мощности.

2.2.9. Уравнение количества движения

Если энергетические характеристики потока исследуются с помощью уравнения Бернулли, то для определения его силовых и временных характеристик используется уравнение количества движения. Оно выводится из теоремы механики об изменении количества движения, которое формулируется так: при движении массы m изменение во времени ее количества движения mv равно результирующей f внешних сил, действующих на эту массу

64

	mv	f .	(2.34)
	t

Количество движения, или импульс, mv является вектором.

При установившемся движении некоторой массы жидкости количество движения может изменяться из-за перемещения ее границ. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя сечениями струйки (рис. 2.11). Торцевые поверхности этого объема перемещаются вместе с жидкостью и через промежуток времени t занимают положение, показанное на рис. 2.11 пунктиром.

Рис. 2.11. Изменение движения жидкости за время t

За время t внутрь выбранного объема втекает масса жидкости 1F1 1 t и из него вытекает масса 2 F2 2 t . Соответственно поступающее количество

движения равно mv 1 1F1 1v1 t , а теряемое mv 2 2 F2 2v2 t.

Согласно уравнению (2.34) векторное приращение этих количеств движения, отнесенное ко времени, равно результирующей внешних сил, действующих на выделенный объем

mv	F v					F v			m(v	v ) f .	(2.35)
t	1	1	1	1	2	2	2	2	1	2

Выражение (2.35) называется уравнением количества движения в гидродинамической форме; оно получено Эйлером. Поскольку внешние силы уравновешиваются реакцией потока, уравнение (2.35) позволяет определить усилие, с которым поток действует на ограничивающие его поверхности, если количество движения меняется только за счет скорости m const . В сущности, при

постоянной массе исходные уравнения (2.10) и (2.34), использованные для вывода системы дифференциальных уравнений динамики идеальной жидкости и уравнения количества движения одномерного потока, идентичны. Поэтому систему уравнений Эйлера (2.11) также называют «уравнениями импульса».

65

Давление струи на преграду. Рассмотрим задачу о натекании струи под углом на плоскую стенку (рис. 2.12). Выберем сечения потока, показанные на рисунке пунктирными линиями (1-1, 2-2).

Рис. 2.12. Натекание струи на плоскую стенку

Разложим члены уравнения количества движения (2.35) на компоненты, касательные к поверхности (индекс t ) и нормальные к ней (индекс n )

m v1t v2t ft , m v1n v2n fn .

Если пренебречь вязким трением, то в направлении касательной к поверхности действующая на струю сила равна нулю, т.е. ft 0 . В направлении

нормали сила воздействия стенки на струю (очевидно, равная по величине и противоположная по направлению силе давления струи на стенку) равна

f	n	m(v	v	) F		0 F 2 sin ,	(2.36)
		1n	2n	1 1 1	1n	1 1 1

где F1 – площадь исходного сечения струи 1-1.

Реакция вытекающей струи. Рассмотрим истечение струи из бака под действием перепада давления p . Поскольку в баке жидкость можно считать

неподвижной v1 0 , то переносимое струей количество движения равно Fcvc , где Fc и vc – площадь сечения и скорость струи. Выражая скорость струи через

перепад давления по формуле (2.30) и подставляя в уравнение (2.35), получим силу реакции струи (коэффициент скорости истечения считаем равным единице)

	R	2 F p	2Fc p .	(2.37)
		c

Таким образом, реакция струи, направленная противоположно скорости истечения, равна удвоенной величине силы статического давления на площадь сечения струи.

Сила давления потока на стенки криволинейного канала. При движе-

нии по криволинейному каналу (рис. 2.11) на его стенки действуют со стороны

66

жидкости силы давления на торцевые сечения F1 и F2 и сила инерции потока, определяемая по уравнению количества движения (2.35).

Изменение количества движения во входном сечении равно 1F1 12 ; оно уравновешивается силой давления стенок канала на поток f1 . В свою очередь,

эта сила равна по величине и противоположна по направлению реакции потока, которая вместе с силой статического давления дает величину

R p F F 2.					(2.38)
1	1	1	1	1

Изменение количества движения в выходном сечении уравновешивается силой f2 2 F2 22 сила реакции потока совместно с силой статического давления на сечение 2 составляет величину

R p F			F 2.		(2.39)
2	2	2	2	2

Полная сила R воздействия потока на стенки канала равна геометрической сумме сил R1 и R2

R R1 R2.

(2.40)

Приведенный вывод составляет основу раздела о силовом взаимодействии потока со стенками канала в теории турбомашин.

2.2.10. Уравнение моментов количества движения

Рассмотрим движение жидкости в рабочем колесе центробежного насоса (рис. 2.13). Пусть внутренний радиус колеса равен r1 внешний r2 . Абсолютная

скорость жидкости на входе в межлопаточный канал равна c1 , на выходе c2

Окружные	скорости	колеса на	входе u1 и на выходе u2 . Очевидно, что
u1 r1, u2	r2 , где	– угловая	скорость колеса. Скорость движения жидкости

относительно колеса равна векторной разности абсолютной скорости c и окружной u . Обозначим ее на входе в колесо через 1 и на выходе через 2 .

Угол, образованный векторами скорости c1 и u1 на входе в колесо обозначим через 1 («угол входа»), между векторами c2 и u2 на выходе из колеса – через 2 .

Применим к частице с массой m , движущейся через колесо вдоль лопатки, теорему механики об изменении моментов количества движения: изменение во времени момента количества движения относительно оси вращения колеса mc r равно результирующему моменту внешних сил

	mc r	M .	(2.41)
	t
	67

Рис. 2.13. Схема движения колеса с лопатками

На выходе из колеса момент количества движения равен произведению

количества движения mc2		на плечо, равное r2 cos 2 , т.е.		mc2r2 cos 2 ; на входе в
колесо этот момент равен		mc1r1 cos 1 . Подставляя эти величины в уравнение
(2.41), получим уравнение моментов количества движения Эйлера
	m c2r2 cos 2 c1r1 cos 1		M .	(2.42)
		t

Уравнение (2.42) одинаково справедливо как для лопастного насоса, так и для гидравлической турбины. В последнем случае поток входит в рабочее колесо через сечение II и выходит сечением I , изменяя свой момент количества движения и передавая крутящий момент M лопаткам колеса. Для турбины векторы скорости c2 и c1 имеют противоположное направление. Отношение m t

в уравнении (2.42) представляет секундный массовый расход Q с размерно-

стью кг/с.

Умножая уравнение (2.42) на угловую скорость колеса , получим в правой части полезную мощность насоса (или турбины)

Q c2r2 cos 2 c1r1 cos 1 M N.

Очевидно, что эта мощность будет наибольшей при cos 1 0 , т.е. при1 90 (для насоса это – радиальный вход потока в рабочее колесо, для турбины – радиальный выход). В этом случае N Qc2u2 cos 2.

Уравнение (2.42) имеет особую ценность потому, что крутящий момент здесь получен независимо от каких-либо особенностей потока внутри межлопаточного канала.

68

3. ПОТЕРИ НАПОРА И ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ. РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

3.1. Потери напора. Формулы Вейсбаха и Дарси

Формулы Вейсбаха и Дарси. Величина потерь напора hv в уравнении

Бернулли (3.1) не зависит от выбора плоскости сравнения (т.е. от абсолютной величины членов z ). Давление, под которым находится жидкость, также практически не влияет на потери напора, так как вязкость при изменении давления

	почти не меняется. Поэтому абсолютная величина членов	p	несущественна

для определения потерь hv .

Но скорость потока v имеет к потерям самое непосредственное отношение: возрастание скорости всегда приводит к росту потерь напора, так как при этом увеличиваются градиенты скорости и силы внутреннего трения у стенок потока.

Поэтому принято замерять потери напора в долях скоростного напора

v2 2g по формуле ВейсбахаEquation Section 3
h	v2	,	(3.1)
v	2g

где – безразмерный коэффициент сопротивления. Для круглых труб с длиной

l и диаметром D потери по длине hl		связанные с трением о стенки трубы,
определяют по формуле Дарси
h		l v2			,	(3.2)
l	тр D 2g

где тр – безразмерный гидравлический коэффициент трения. Очевидно, что

формула Дарси представляет собой детализацию формулы Вейсбаха, потери по длине предполагаются пропорциональными длине трубы и обратно пропорциональными диаметру.

3.2. Режимы течения вязкой жидкости. Число Рейнольдса

Число Рейнольдса. Опыт показывает, что при движении вязкой жидкости относительно твердой поверхности возможны две качественно отличные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы Рейнольдсом.

69