Методическое пособие 781
.pdfa11 ,a12 ,........,a1n
Aa21 ,a22 ,........,a2n .
........................
an1 ,an2 ,........,ann
Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Уравнения (0.1 – 0.3) запишем в матричной форме. Коэффициенты правой части дают матрицу порядка (2 3). Удобнее использовать матрицы квадратные, поэтому к каждым
двум уравнениям добавим тождество 1, получим квадратные матрицы третьего порядка.
Составим матрицу перехода из системы х3у3 в систему
х2у2.
|
cos |
32 |
sin |
32 |
2 |
|
T32 |
sin |
32 |
cos |
32 |
0 |
. |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем матрицу перехода Т21.
|
cos |
21 |
sin |
T21 |
sin |
21 |
cos |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Матрицу перехода Т10.
21 1
210 .
1
cos
T10 sin 0
10
10
sin cos 0
10
10
0
0 .
1
Левые части уравнений (0.1 – 0.3) с добавлением тождества 1 дают столбцевые матрицы третьего порядка:
61
|
|
|
|
xE |
2 |
|
|
xE |
|
|
xE |
0 |
|
xE |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
rE2 |
yE2 |
; rE1 |
|
yE1 |
; rE0 |
|
yE0 |
; rE3 |
yE3 |
. |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
Радиус-вектор rE3 |
известен, |
т.к. известны координаты |
|||||||||||
xE |
3 |
и yE |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти значение rE2 ,rE1 ,rE0 необходимо:
rE2 |
T32 |
rE3 |
; |
(4.4) |
||
rE |
|
T21 |
rE |
2 |
; |
(4.5) |
1 |
|
|
|
|
||
rE |
0 |
T10 |
rE . |
(4.6) |
||
|
|
|
1 |
|
|
Подставим уравнения (4.4) и (4.5) в уравнение (4.6), получим
rE0 T10 T21 T32 rE3 .
Это уравнение позволяет определить положение точки Е3 в системе координат х0у0. Для этого необходимо перемножить матрицы T10 и Т21, а затем (T10Т21)T32 и столбцевую rE3 .
cos
T10T21 sin
0
10
10
sin cos
0
10
10
0cos
0sin
10
21
21
sin cos
0
21 1 |
|
|
21 |
0 |
. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a11 |
cos 10 cos |
21 |
sin 10 sin |
21 |
|
cos( 10 |
21 ) cos |
20; |
||
a12 |
cos |
10 sin |
21 |
sin |
10 cos |
21 |
sin( 10 |
21 ) |
sin 20; |
|
a13 |
1 cos |
10; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
sin 10 cos |
21 |
cos |
10 sin |
21 |
|
sin 20; |
|
|
|
a22 |
sin |
10 sin |
21 |
cos |
10 cos |
21 |
cos 20; |
|
|
|
a23 |
1 sin |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
62
cos
T10T21 sin
0
20
20
sin cos
0
20 |
1 cos |
20 |
|
20 |
1 sin |
20 . |
(4.7) |
1
Матрицу (4.7) умножаем на матрицу T32 и столбцевую матрицу rE3 :
xE3 rE3 yE3 .
1
Получим:
xE |
0 |
xE |
3 |
cos |
|
|
|
||
yE |
0 |
xE |
3 |
sin |
|
|
|
30 yE3 sin
30 |
yE |
cos |
|
|
3 |
30 |
2 cos |
20 |
1 cos |
10 |
. |
(4.8) |
|
2 sin |
|
1 sin |
|
||
30 |
20 |
10 |
|
|
Уравнения (4.8) можно было бы получить, решая уравнения (4.1), (4.2) и (4.3), но вычисления заняли бы больше времени. Матричная форма записи и решения уравнений удобнее. Для решения таких уравнений существуют стандартные программы, используемые на ЭВМ.
Уравнение (4.8), определяющее положение точки E3 относительно х0у0, можно получить и иным способом, а именно
– составить уравнение проекции контура 010203E3 в системе
х0у0.
Однако метод проекций получается сложнее метода преобразования координат для пространственных механизмов.
4.2.1.3. Определение положений, скоростей и ускорений звеньев пространственных механизмов
При кинематическом анализе механизмов по заданному закону движения ведущих звеньев определяем положение, скорость и ускорение ведомых звеньев механизма. Ведомые звенья являются исполнительными в машине, поэтому знание вышеназванных параметров совершенно необходимо при эксплуатации машин и механизмов.
63
Токарный станок. Для чего здесь необходимо знать скорости ведомых звеньев? Скорость является одним из главных факторов выбора оптимального режима резания. От скорости резания зависит чистота обработки поверхностей. Скорость надо знать.
Знание ускорений необходимо для определения сил инерции, возникающих в механизмах. С учетом сил инерции ведется силовой и прочностной расчет механизма.
Задачу определения положений, скоростей и ускорений ведомого звена рассмотрим на примере пространственного кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.29).
Степень свободы данного механизма равна единице, W=1, т.е. задана одна обобщенная координата, это угол поворота кривошипа АВ, 10. Угол 10 задается как функция времени.
Удобно перемещение звеньев механизма рассматривать относительно неподвижной системы координат. Неподвижную систему координат связываем со стойкой механизма. Ось x0 неподвижной системы направим параллельно линии движения ползуна, ось у0 будет направлена перпендикулярно линии движения ползуна. Причем плоскость х0Ау0 выбирается еще и так, чтобы кривошип АВ лежал в этой плоскости. Ось z0 направим по оси вращения кривошипа.
|
|
|
|
z0 |
|
|
z2 |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
O |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
A |
x0 |
|
10 |
2 |
l1 |
C |
|
|||
l3 |
l2 |
B |
21 |
|
x2 |
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
x0C |
y0 |
|
|
Рис. 4.29 |
|
|
|
|
|
64 |
|
Обозначим координату точки С по оси у0 через 3, а по
оси z0 через 0. Текущее значение перемещения точки С будет определяться одной переменной координатой x0C по оси х0.
Выберем еще две подвижные системы координат. Одну свяжем с кривошипом, вторую с шатуном. С шатуном свяжем систему x2y2z2, где x2 направим по шатуну ВС, z2 – по оси пальца шатуна, y2 перпендикулярно плоскости x2Вz2. Такой выбор системы координат позволяет определить положение точки С в системе x2y2z2 одной координатой, а именно:
x2 |
2 |
|
y2 |
0 . |
(4.9) |
z2 |
0 |
|
Чтобы выразить перемещение ползуна х0С через обобщенную координату 10, подвижную систему x1y1z1 свяжем с кривошипом АВ так: ось z будет параллельна оси z0, ось y1 окажется в 1 плоскости x0Аy0, а x1 направим по кривошипу
АВ.
Углы между осями x2 и x1 обозначим через 21, а между z2 и z1 – через 21. Последовательным переходом из системы
x2y2z2 в систему x1y1z1 и в систему x0y0z0 решаем задачу нахождения положения ползуна в неподвижной системе координат.
Опишем положение ползуна в системе x1y1z1.
x1C |
x2 cos |
21 |
|
|
y1C |
x2 sin |
21 cos |
21 . |
(4.10) |
z1C |
x2 sin |
21 cos |
21 |
|
Найденные координаты точки С в системе x1y1z1 спроектируем на оси неподвижной системы x0y0z0.
65
x0C |
x1C cos |
10 |
y1C sin 10 |
1 cos |
10 |
|
|
|
|
|
2 cos |
10 cos 21 |
2 sin |
10 sin |
21 cos |
21 |
1 cos |
10 |
|
|
1 cos |
10 |
|
|
|
|
|
|
. (4.11) |
y1C |
x1C sin |
|
y1C cos 10 |
1 sin |
|
|
|
||
10 |
10 |
|
|
|
|||||
|
2 cos |
21 sin 10 |
2 sin |
21 cos |
10 cos |
21 |
1 sin |
10 |
|
z0C |
z1C 2 sin |
21 sin |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
Выше отмечено, что |
|
|
|
|
|
|
|
y0C 3 |
const, z0C 0 |
const, |
|
|
|||||
подставив эти значения в систему (0.11), получим: |
|
|
|||||||||
x0C |
2 cos |
10 cos |
21 |
2 |
sin |
10 sin |
21 cos |
21 |
1 cos |
10 |
|
3 |
2 cos |
10 sin |
21 |
2 |
sin |
10 cos |
21 cos |
21 |
1 sin |
10 |
. (4.12) |
0 |
2 sin 21 cos |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (4.12) содержит три уравнения и три неизвестных:
x0C, 21, 21.
Из второго и третьего уравнений системы (4.12) определяем углы 21 и 21, подставляя их в первое уравнение, находим x0С, т.е. координату положения ползуна.
Если механизм будет плоским, 20=0, т.к. оси z1z2z3 параллельны. В этом случае ползун будет двигаться в плоскости кривошипа. Система уравнений для определения положения ползуна примет вид:
x0C |
2 cos |
10 cos |
21 |
2 sin |
10 sin |
21 |
1 cos |
10 . |
(4.13) |
3 |
2 cos |
10 sin |
21 |
2 sin |
10 cos |
21 |
1 sin |
10 |
|
Два уравнения с двумя неизвестными. Из второго уравне- |
|||||||||
ния определяем |
21, подставив его в первое уравнение, опреде- |
лим положение ползуна в зависимости от обобщенной координаты 10 и размеров звеньев механизма 1, 2, 3.
66
Для определения скорости и ускорения перемещения ползуна необходимо систему уравнений (4.12) продифференцировать по времени.
Первое дифференцирование системы (4.12) дает возможность получить систему линейных уравнений для определения скорости перемещения ползуна.
Из третьего и второго уравнения полученной системы (4.14) находим 21 и 21, подставив их в первое уравнение, получим возможность определить скорость перемещения ползу-
на xOC |
|
в зависимости от угла поворота |
10 |
кривошипа и угло- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вой скорости |
10 кривошипа. |
Повторное дифференцирование |
|||||||||||||||||
уравнений системы (4.12) |
позволяет |
определить |
ускорение |
||||||||||||||||
xOC ползуна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x0C |
|
|
|
21 2 sin 21 cos |
|
10 |
10 2 cos |
|
21 sin |
10 |
|
|
|||||||
21 2 cos |
21 sin |
10 cos 21 |
|
21 2 sin |
21 sin |
|
10 sin |
21 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 2 sin |
21 cos |
10 cos |
21 |
|
10 1 sin |
10 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
21 2 (sin 21 cos 10 |
|
cos |
21 sin 10 cos 21 ) – |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
sin |
|
sin |
|
cos |
|
cos |
|
|
1 |
sin |
|
||
|
2 |
21 |
10 |
21 |
10 |
21 |
|
|
10 |
||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
21 2 sin |
21 sin |
10 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
21 2 sin 21 sin 10 |
|
10 2 cos |
21 cos |
10 |
|
|
|
(4.14) |
||||||||||
21 2 cos |
21 cos |
10 cos 21 |
|
21 |
2 sin |
21 cos 10 sin |
|||||||||||||
|
21 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 2 sin |
21 sin |
10 cos |
21 |
|
10 1 cos |
10 |
|
|
|
|
|
21 2 (sin |
21 sin |
10 |
10 2 cos |
21 cos |
10 |
cos |
21 cos |
10 cos |
21 ) |
|
|
||||
sin |
|
sin |
|
cos |
|
1 |
cos |
|
|
21 |
10 |
21 |
2 |
10 |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
2 sin |
21 cos |
10 sin |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 21 2 cos |
21 sin |
21 |
21 |
2 sin |
21 cos 21 |
|
|
|
|
|
|
|
67
4.2.1.4.Графическое определение положений звеньев механизма и построение траектории
Для решения поставленной задачи должны быть заданы кинематическая схема механизма и закон движения ведущего (начального) звена.
Для определения положений звеньев механизма кинематическая схема выполняется в масштабе. Для этого выбирает-
ся масштабный коэффициент (м/мм), который показывает, сколько метров натуры содержится в одном мм чертежа.
Пусть задана схема механизма 2-го класса (рис. 4.30).
Известны размеры звеньев механизма AB, BC, CD, AD и закон движения ведущего звена. Механизм имеет ведущее звено АВ.
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
||
B |
|
|
3 |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
А |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Рис. 4.30
Построение начинается с определения положения неподвижных точек механизма А и D ( AD). Затем описываем ок-
ружность радиусом AB и вторую – радиусом CD (рис. 4.31). Выбрав положение звена АВ, определяемое значением
обобщенной координаты 1, находим методом засечек положение остальных звеньев ВС и СD.
Точно также можно найти ряд других положений механизма. Будем считать 1=const, тогда откладывая равные углы от положения кривошипа АВ, найдем положение механизма АВ1С1D и т.д. Затем строим траекторию точки S, лежащей на звене ВС.
68
|
|
|
S1 |
|
C |
C1 |
|
|
|
S |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C2 |
||
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
S2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
А |
|
S’ |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C’
Рис. 4.31
При построении положений звеньев механизма (при одном положении звена АВ) звенья ВС и СD могут занимать два положения ВС и СD или ВС и CD. Это разные механизмы, здесь проявляет себя свойство – условие сборки.
В нашем случае допустим только первый вариант ВСD, т.к. при этом сохраняется требуемое направление угловой скорости звена СD – по часовой стрелке.
Второй вариант – В1С1D – это уже другой механизм, т.к. СD вращается против часовой стрелки.
4.2.1.5. Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов
В такой задаче исходными данными являются кинематическая схема механизма (рис. 4.32), закон движения ведущего звена, размеры звеньев механизма.
Дано: 1 =const, размеры AB, BC, CD, AD, BK, KC.
Определить скорость точки К.
Схема механизма выполняется в масштабе.
Приступим к построению плана скоростей (рис. 4.33, а).
69
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
W=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.32 |
|
|
|
|
||
|
1. |
Определяем |
скорость |
точки |
В |
ведущего |
звена: |
|||||
VB |
1 AB , |
VB |
AB . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
Выбрав |
полюс |
плана |
Р, |
откладываем в масштабе |
||||||
V |
VB |
м с |
вектор скорости точки В VB (рис. 4.6, а). |
|||||||||
PB12 |
мм |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P |
|
|
c |
|
|
|
|
_ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aCD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b12 |
n |
K |
|
b12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.33 |
|
|
|
|
||
|
3. Переходим к определению скорости точки С. Точка С |
|||||||||||
принадлежит звену ВС и СD. Звено ВС совершает плоскопа- |
||||||||||||
раллельное движение. Скорость точки С определяется по тео- |
||||||||||||
реме сложения скоростей – скорость любой точки звена, со- |
||||||||||||
вершающего сложное движение, определяется как сумма ско- |
||||||||||||
ростей в переносном и относительном движении, т.е. |
|
70