Методическое пособие 781

N

	_
2	R12	1

N

Рис. 4.41

Таким образом, если в выделенную из механизма плоскую кинематическую цепь будет входить n звеньев, то для них можно составить 3n уравнений статики ( x=0, y=0, ma=0). Число неизвестных в этих уравнениях будет соответствовать удвоенному числу кинематических пар 5-го класса плюс число кинематических пар 4-го класса, т.е. общее число неизвестных в выделенной кинематической цепи будет равно 2Р5+Р4. Для того чтобы кинематическая цепь была статически определимой, число уравнений должно быть равно числу не-

известных, т.е. должно удовлетворяться условие

3n = 2Р5 + Р4.

Этому условию удовлетворяют группы Ассура. Вот почему для определения реакций механизм расчленяется на группы Ассура.

4.2.2.2. Силы, действующие на звенья механизма

Применение метода кинетостатики предполагает использование принципа Даламбера, в связи с чем необходимо определять силы инерции звеньев механизма.

Сила инерции не является сосредоточенной силой: она распределена по всему объему звена, которое может рассматриваться как тело, состоящее из бесконечно большого числа элементарных масс, при движении которых возникают элементарные силы инерции. Для упрощения расчетов систему

81

элементарных сил инерции приводят к главному вектору и главному моменту сил инерции и в таком виде прикладывают

кзвену механизма.

Вплоских механизмах звенья могут совершать три вида движения: поступательное, вращательное и плоское. Силы инерции определяются в зависимости от характера движения, совершаемого звеном.

4.2.2.3. Силы инерции звена, совершающего поступательное движение

Этот вид движения характерен тем, что траектории, скорости и ускорения всех точек звена одинаковы. Рассматривая звено как неизменяемую систему одинаковых элементарных масс, каждая из которых развивает элементарную силу инерции, будем иметь систему параллельных одинаковых, направленных в одну сторону сил. Равнодействующая таких сил по аналогии с системой элементарных сил веса будет приложена в центре тяжести звена. Эта сила будет лишь больше или меньше силы тяжести –

	это зависит от ускорения, с которым оно движется (рис. 4.42).
	_	_	S	_	_ _
	Pu= – mas			as	P =mas

Рис. 4.42

На этом примере легко проследить осуществление принципа Даламбера. Действительно, если звено движется поступательно с ускорением as, это значит, что на него действует неуравновешенная сила P mas . Для того чтобы тело находилось в равновесии, достаточно к его центру тяжести приложить равную и противоположную силу Pu mas . Тогда в этот момент сумма всех

сил станет равной нулю, т.е. наступает состояние равновесия. Итак, равнодействующая сил инерции звена, движуще-

гося поступательно, равна произведению его массы на уско-

82

рение и приложена в центре масс звена. Система сил инерции в данном случае приводится к равнодействующей.

4.2.2.4. Силы инерции звена, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси

Применяя теорему об изменении количества движения и считая, что звено совершает поступательное движение вместе с системой координат, начало которой находится в центре тяжести звена (рис. 4.43), получим

			dQ				d
	Pи
			dt				dt

m			d
m V				mV			ma	S	,
i i			dt		S
1

где

n . Модуль aS найдем по теореме Пифагора:

a

a

a

S

S S

aS

(aS)2 (a3n )2

rS

2 4 ,

тогда модуль силы инерции

P

mr

2

4 .

u

S

_

Pu’

_

_

O

y

as

Pu

_

_ n

as

as

_

_

x

Pu = – mas

_

_

Mus= – Js

Рис. 4.43

83

Главный момент сил инерции относительно центра тяжести найдем по теореме об изменении кинетического момента инерции той же точки:

dKS

d

d

M uS

J S

J S

J S .

dt

dt

dt

Таким образом, во вращательном движении система сил инерции при выборе центра приведения в центре тяжести приводится к главному вектору и главному моменту сил инерции. Систему сил инерции можно представить и другой эквивалентной системой сил, выбирая за центр приведения, например, ось вращения звена. Перенеся в него главный вектор сил инерции, будем иметь главный вектор, геометрически равный его прежнему значению, а, складывая моменты (прежний момент и момент, получающийся в результате переноса силы из точки S в точку 0), получим главный момент сил инерции относительно нового центра приведения 0:

uo JS

rS (JS

maS S )

(JS mrS2 ) J0

.

M

Pи

Можно найти и такой центр приведения, для которого Mи=0, т.е. такую точку, в которой приложена равнодействующая сил инерции. Такой точкой будет центр качания звена.

4.2.2.5. Силы инерции звена, совершающего плоское движение

В механизме на рис. 4.44 также можно найти такой центр приведения, для которого Mu=0, т.е. система сил инерции может быть сведена к равнодействующей. Как видим, только в случае поступательного движения линия действия равнодействующей сил инерции проходит через центр тяжести звена.

dQ

Pu

maS .

dt

dKS

d

M uS

J S a J S .

dt

dt

84

				y	_
		А	Mu
					Pu
				S	x
			as			B
O

b aBA s

a

Рис. 4.44

4.2.3. Определение реакций в кинематических парах групп Ассура

С целью проведения силового расчета механизм расчленяется на группы Ассура. Расчет начинается с той группы, в состав которой входит выходное звено. Затем последовательно рассчитываются все группы, и заканчивается силовой анализ расчетом входного звена механизма. Методика расчета всех групп II класса едина.

Определение реакций в кинематических парах групп с помощью метода кинетостатики рекомендуется проводить в следующем порядке.

1.Изобразить группу Ассура в заданном положении, вычертив ее в соответствующем масштабе.

2.Приложить к звеньям группы все заданные силы и неизвестные реакции в кинематических парах.

3.Приложить к звеньям группы силы инерции и моменты сил инерции.

85

4. Согласно принципу отвердевания и принципу Даламбера составить уравнение равновесия для группы в целом, как для твердого тела. Записывая уравнение равновесия для группы, следует придерживаться определенного порядка: вначале записать все силы, действующие на одно звено, затем записать все силы, действующие на другое звено. Запись уравнения следует начинать и заканчивать неизвестными реакциями. Для большей ясности в уравнение следует включать и внутренние реакции (рисунок 4.45, б). Сложение векторов сил проводится в той же последовательности, в которой велась запись уравнения.

Проследим этот порядок на примере группы с тремя вращательными парами, входящей в состав шарнирного четырехзвенника. Составим уравнение равновесия группы:

R12 G2 Pu 2 R32 R23 G3 Pu3 Pп.c. R30 0 ;

известная сторона треугольника

				n									n
R			R		R ;			R				R		R .
21		21			21			30			30			30

По этому уравнению построить план сил не удастся, т.к. если построение плана свести к построению треугольника, представив все известные силы как одну сторону треугольника, то увидим, что две другие стороны включают силы, величины и направления которых не известны. Такой треугольник построить невозможно. В этом случае надо использовать уравнение равновесия моментов сил, разложив одну из реакций на два направления, пустив одну из составляющих реакции через ту точку, относительно которой будет составляться уравнение моментов. Составим уравнение моментов относительно точки B для звена 2. Выбирая точку В в качестве центра, мы исключаем тем самым из уравнения моментов нормальную состав-

ляющую	R	n	реакций R12	в шарнире А и реакцию R32 в шар-
12
нире В. Итак,
			M B R21 AB	Mu 2 Pu 2h2 G2 2 0 .

86

O1		a
		h
_
R01

S1

_ G1

а

_

R21

_

A Pu1

_

Py

_

		Pu2
_ n	Mu2	S2
R12	A	_
	_	G2
	R21
	_
	R12

h 2

l2

_

R03

_		B	_
R32			R23
			_
			Pu3
			_
S3	_		Pп.с.
	G3

Mu2

C

	_ n
_	R03
R03
б
Рис. 4.45

Разрешая это уравнение относительно R21 , получим ее

величину. Направление реакции определяется ее знаком. После определения этой составляющей видим, что план сил и в этом случае построить не удается. Тогда таким же образом поступаем с реакцией R30, раскладывая ее на две составляющие и составляя уравнение моментов относительно точки В для звена 3, находим R30 .

Рассматривая уравнение равновесия после того, как силы R21 и R30 отправлены в категорию известных сил, видим,

87

_

Pп.с.

что треугольник, у которого одна сторона известна по величине и направлению, а две другие ( R21n и R30n ) известны по направлению, построить можно. Поэтому приступаем к по-

строению плана сил (рис. 4.46).

_

R30

	_ n		_
	R		R30
	30	_	_
	_			_
	R n	R23= - R32		P
	21			u3
_	_
	R21		_
R21		_
			G3
	_
		Pu
	G2	2

Рис. 4.46

Далее определяем реакции во внутренней паре. Для этого составляем уравнение равновесия для какого-либо одного звена (составление уравнения заключается в простом переписывании части уже составленного уравнения для группы). Напишем уравнение для звена 2, освобождая его от связей в точке В:

R21 + G2+ Pu2+ R23 = 0.

Для определения R32 используем уже построенный для группы план сил:

R32 = – R23 .

4.2.4. Силовой расчет начального звена

Расчет начального звена (рис. 4.45, а) проведем в следующем порядке: освобождаясь от связей, заменяем их действие силами реакций связи. В точке А прикладываем реакцию R32 = – R23, найденную ранее при силовом расчете группы. В

88

точке 0 прикладываем искомую реакцию R1 . В точке S1 прикладываем силы Pu и G1.

В точке А прикладываем силу Py, направление которой известно. Сила Py – это сила, передающаяся на начальное звено со стороны отброшенной части механизма, а также это сила, представляющая действие на начальное звено со стороны двигателя и отброшенных вместе с ним звеньев. Это сила называется уравновешивающей и определяется исходя из заданного закона движения начального звена.

	Py	R12h G1a	.
Если	=const, то M0 = 0 = Py – R21h + G1а .
Если	же звено вращается с угловым ускорением , то

M0=J0 .

После определения Py строится план сил, из которого определяется реакция R10 . Конструкция привода может быть

такой, что на начальное звено внешний силовой фактор передается не в виде силы, а в виде момента сил.

Расположение линии действия Py желательно выбирать так, чтобы реакция R10 была бы по возможности наименьшей.

Рассмотрим порядок расчета еще одной группы (рис.

4.47).

Группа с одной внутренней вращательной парой. Здесь все известные силы, действующие на звенья 2 и 3, представлены в виде эквивалентных систем сил (в виде главных векторов сил и главных моментов). Будем считать, что силы и моменты сил инерции также включены в число известных сил. Составляя уравнение равновесия для группы, будем иметь:

R21

P2 R32 R23 P3

R30 0 .

известная сторона треугольника

89

		_	_
			R32	_
	_	R21
				P3
	R30
			D
				M3

_

P2

_

R23

Рис. 4.47

Отсюда видим, что на известной стороне треугольника надо построить две другие стороны, направления которых известны. Такой треугольник строится, и поэтому решение задачи следует начать с построения плана сил для группы в целом, а затем, записав уравнение равновесия для какого-либо звена, найти внутреннюю реакцию R32 или R23, затем найти точки приложения реакций R30 и R21 из уравнений моментов относительно точки D.

Таким образом, составляя уравнение равновесия для группы в целом и анализируя его, можно найти кратчайший путь решения задачи не только для групп 2-го класса, но и для групп 3-го класса.

В примере на рис. 4.48 решение задачи следует начать с построения плана сил для звена 3.

3

2

Рис 4.48

Вот другой пример (рис. 4.49), когда решение следует начать с определения R30 , затем построить план сил для звена

3.

90