Учебное пособие 1613
.pdfто имеем cos 0 , откуда 2 . Подставляя 2 в (*), получим А = - 0,5. Частное решение имеет вид
x0,5sin t 0,5cos t .
2
13.18.К пружине с коэффициентом жесткости с = 8,4 г/см, подвешен груз весом Р = 49 г. Найти закон движения груза,
если на груз действует сила F t 2sin13t .
Решение. Поскольку сопротивление среды не учитывается, то уравнение движения (2) имеет вид
|
|
|
|
x |
c |
|
x F(t) . |
|
c |
cg |
|
m |
|||
|
|
|
|
||||
Так как |
|
8, 4 981 |
169 , то уравнение примет вид |
||||
m |
49 |
|
|||||
|
p |
|
|
|
|
x 169x 2sin13t .
Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни k1,2 13i , поэтому общее ре-
шение однородного уравнения будет u C1 sin13t C2 cos13t или в другой форме записи x Asin 13t .
Поскольку числа a =0, b=13 совпадают с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует умножить на t, т. е.
x1 At sin13t Bt cos13t .
Находим производные
x1 Asin13t 13At cos13t B cos13t 13Bt sin13t;
x 26Acos13t 169At sin13t 26B sin13t 169Bt cos13t .
Подставляя x1, x1, x1 , в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функци-
ях в левой и правой части равенства, находим: A 0, |
B |
|
1 |
. |
|
13 |
|||||
|
|
|
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
91
x C1 sin13t C2 cos13t 13t cos13t .
Найдем частное решение. В положении равновесия сила веса груза P уравновешиваются силой упругости - c . Поскольку начало координат расположено в положении равновесия груза и направлено вертикально вниз, то статическое
удлинение |
пружины |
|
|
|
|
P |
|
49 |
|
|
5,8 , |
т.е. |
|
при |
t 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x0 5,8 |
|
и |
|
x0 |
|
0 . |
|
Согласно |
|
начальным |
|
условиям: |
||||||||||||||||||||||||
5,8 C |
|
|
,0 13C |
|
1 |
|
. Откуда частое решение |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
sin13t |
|
5,8 |
|
|
|
|
cos13t . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
169 |
13 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если положить |
|
|
|
1 |
|
|
|
A cos |
; 5,8 |
|
t |
|
|
A sin |
|
, то |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
13 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
частное решение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A0 sin 13t 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
где A2 |
|
|
|
|
5,8 13 t 2 |
A |
|
|
|
|
75, 4 t 2 |
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
13 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 arctg 13 75, 4 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С возрастанием времени t амплитуда колебаний А0 неограниченно возрастает. Этот случай, когда частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний системы, называется резонансом.
13.19. Груз веса P = 49 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Сила сопротивления движению пропорциональна скорости R v . Найти уравнение движения гру-
за, если коэффициент жесткости пружины с = 5 г/см;
Р = 0,8 г см/сек и при t = 0 груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 1 см, и ему была сообщена начальная скорость v0 =4 см/с.
92
Решение. Ось Ox направим по вертикали вниз. Положение статического равновесия примем за начало отсчета (рис. 1.7). На груз действуют силы: Р - вес груза, направленный по
вертикали вниз; F c cm x - упругая сила пружины, на-
правленная по вертикали вверх; R x - сила сопротивления, направленная противоположно скорости v x .
Рис. 1.7
Дифференциальное уравнение движения груза (2) в данном случае примет вид
|
|
mx P c cm x x |
|
|
|
|
|
|
(*) |
|||||||||||
Так как P c cm , то уравнение (*) будет |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
mx x cx 0 |
или x |
|
x |
|
c |
0 . |
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
c |
|
||||
Запишем характеристическое уравнение |
k2 |
k |
0 , |
|||||||||||||||||
|
|
m |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||
откуда k1,2 |
|
|
|
2 |
|
c |
|
|
|
|
|
m |
|
P |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. Поскольку |
|
|
|
, то |
|
||||||||
2m |
|
|
m |
|
g |
|
||||||||||||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
k1,2 |
8 |
64 100 8 6i . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение дифференциального уравнения имеет вид |
|
|
|
|||||||||||||||||
x Ae 8t sin 6t |
или |
|
x e 8t C1 sin 6t C2 |
cos 6t . |
Движение груза является затухающим, так как
lim Ae 8t sin 6t 0 .
t
93
Амплитудой колебаний является коэффициент, стоящий
перед синусом, т. е. Ae 8t . Круговая частота 6 .
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: при t =0, х0 = 0, х0 = 4 м/с. Прежде всего находим производную
x 8Ae 8t sin 6t 6Ae 8t cos 6t .
Используя начальные условия, получим систему уравнений
1 Asin ;
4 8Asin 6Acos ,
откуда ctg 2 , 0 arcctg2, |
A |
1 |
|
1 ctg2 5 . |
|
sin |
|||||
|
|
|
|
Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
x5e 8t sin 6t 0 .
13.20.Балка длины l, защемленная одним концом, нагружена на другом конце силой Р. Найти наибольшее значение прогиба и угла поворота.
Решение. Расположим начало координат в точке заделки А. Ось y направим вверх, а ось x - вправо (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Изгибающий момент в произвольном сечении на расстоянии x от начала координат равен M (x) P l x . Тогда диф-
ференциальное уравнение (4) примет вид
EIy P l x .
94
Интегрируя это уравнение два раза, будем иметь
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
x |
3 |
|
|
EIy P lx |
|
|
C1 , |
EIy P lx |
|
|
|
|
C1x C2 . |
|||
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 воспользуемся граничными условиями: y 0 и dydx 0 при
x=0. Подставляя эти значения в предыдущие выражения, получим, что C1 C2 0 .
Таким образом, угол поворота и прогиб будет
dy |
|
Plx |
|
|
x |
|
y |
Plx2 |
|
3 |
|
x |
|||
dx |
|
|
2 |
|
|
, |
6EI |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2EI |
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
Наибольшие значения угла поворота и прогиба будут в точке В
B Pl2 , yB Pl3 . 2EI 3EI
Знак минус в выражении для B означает, что сечение повернулось по часовой стрелке, а знак минус у прогиба yB озна-
чает, что прогиб направлен вниз.
13.21. Дифференциальное уравнение изгиба круглой пластинки имеет вид
d |
1 d |
|
dw |
|
qr |
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
|
, |
|
|
|
2D |
|||||
dr r dr |
dr |
|
|
где D - цилиндрическая жесткость, q - интенсивность нагрузки в функции r. Найти решение, если q равномерно распределена по всей поверхности пластинки радиуса a и пластинка защемлена по контуру.
Решение. Дифференциальное уравнение изгиба третьего порядка, причем правая часть в общем случае является функцией r. Считаем, что нагрузка равномерно распределена, т.е. q - const. Таким образом, уравнение позволяет непосредственное интегрирование по r. После первого интегрирования находим
95
1 d |
dw |
|
qr2 |
|
||
|
|
r |
|
|
4D |
C1 , |
|
|
|||||
r dr |
dr |
|
|
где C1 - постоянная интегрирования.
Умножая обе части уравнения на r и интегрируя, получим
|
r |
|
dw |
|
|
qr4 |
|
|
|
C r2 |
C2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dr |
|
16D |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|
|
qr3 |
|
C r |
|
C |
2 . |
|
(1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dr |
|
16D |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||
Интегрируя еще раз, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
w |
qr |
4 |
|
|
|
C r2 |
|
C |
|
ln |
|
r |
|
C . |
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
64D |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поскольку пластинка защемлена по контуру, то наклон |
|||||||||||||||||||||||||||||
изогнутой поверхности в радиальном направлении |
dw |
0 при |
|||||||||||||||||||||||||||
r 0 |
и r a . Из выражения (1) имеем |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
qr |
3 |
|
C1r |
C2 |
|
|
0; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
16D |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
qr |
3 |
|
C1r |
C2 |
|
|
0 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
16D |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
r a |
|
|
|
|
|
|
|
Из первого равенства С2 = 0. Подставив С2 во второе,
получим C1 qa2 . 8D
Подставив постоянные интегрирования в (2), получим
w64qD a2 r2 2 .
13.22.Найти общее решение дифференциального уравнения изгиба балки - полоски, выделенной из цилиндрической оболочки радиуса r
d 4 w |
|
d 2 w |
2 |
|
p |
|
|
|
||||
dx |
4 |
2m |
dx |
2 |
n |
w |
|
1 |
|
2 |
|
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
96
где |
2m |
pr |
; |
n2 |
Eh |
; |
p - внешнее равномерное давление; |
|
2D |
r2 D |
|||||||
h - |
|
|
|
|
E, - упругие постоянные; D - ци- |
|||
толщина |
оболочки; |
|
линдрическая жесткость.
Решение. Общий интеграл состоит из общего интеграла, соответствующего однородного уравнения
d 4 w |
2m d 2 w |
n2 w 0 , |
dx4 |
dx2 |
|
и частного решения. |
|
|
Соответствующее однородному уравнению характеристическое уравнение имеет вид
k4 2mk2 n2 0 ,
а все четыре корня являются комплексными и определяются выражением
|
|
k m m2 n2 i , |
||||
где |
1 |
n m ; |
1 |
n m ; |
n2 m2 . |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Общий интеграл однородного уравнения имеет вид w0 C1ch x cos x C2 sh x cos x
C3ch x sin x C4 sh x sin x.
Частное решение исходного уравнения запишем в виде
wr. p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
||
Dn |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
Тогда общий интеграл будет
w w0 wr. p C1ch x cos x C2 sh x cos x |
|
|||||
C3ch x sin x C4 sh x sin x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
||
Dn |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
13.23. Конденсатор С разряжается на цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности L и активного сопротивления R (рис. 1.9). Найти силу тока i в контуре, если
при t 0; i0 0; dtdi UL0 .
97
Рис.1.9
Решение. Согласно второму правилу Кирхгофа имеем
L dtdi Ri C1 idt 0 .
Дифференцируя по t, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
d 2i |
R |
di |
|
|
i |
|
0 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
dt |
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Составляем характеристическое уравнение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lk2 Rk |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и находим его корни: k |
|
|
R |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CL |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Очевидно, что общее решение уравнения зависит от соот- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ношения параметров R, L, С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
R |
|
|
|||||
1. Пусть |
|
R |
|
|
0. |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то оба корня |
||||||||||||||||||
2 |
|
CL |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4L |
|
|
|
|
CL |
2L |
|
||||||||||||
характеристического |
|
|
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрицательны. |
Если |
|||||||||||||||||||
обозначить |
|
R |
; |
|
R2 |
|
|
1 |
|
2 , |
|
|
|
то |
|
k и |
общее |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2L |
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
решение имеет вид |
|
i C e t |
|
|
|
|
|
|
e t . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя начальные условия задачи, находим, что
C1 C2 ,
dtdi C1e t C2e t ;
98
|
|
|
|
|
U0 |
|
C1 C2 , |
||
|
|
|
|
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда C2 |
|
U0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 L |
|
|
|
|
|
|||
Частное решение имеет вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
i |
U |
e t e t . |
||
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
2 L |
||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2. Пусть |
|
R |
|
|
0 , |
тогда корни характеристического |
|||
|
2 |
CL |
|||||||
|
|
4L |
|
|
|
уравнения равны между собой k1 k2 и решение имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
i C1 C2t e t . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя начальные условия имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
C1 0, |
di |
|
C2 e t te t , C2 |
U0 |
. |
||||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|||
Частное решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
U0 |
te t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Пусть |
|
R |
|
|
|
0 , тогда |
корни |
характеристического |
|||||||||
|
2 |
CL |
||||||||||||||||
|
|
|
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
уравнения мнимые k |
|
|
i , где |
|
1 |
|
|
R2 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
CL |
|
||||||
Общее решение имеет вид |
|
|
|
4L |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
i e t C1 cos t C2 sin t |
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
i Ae t sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
Ae t - |
амплитуда тока; |
- круговая |
|
частота; - |
начальная фаза.
Найдем частное решение. Из первого начального условия имеем 0 Asin . Поскольку A 0 , то sin 0 . Откуда
0 .
99
Находим производную |
di Ae t sin t Ae t cos t и |
|||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||
используем второе начальное условие |
U0 |
A , тогда |
A |
U0 |
. |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
L |
|||
Следовательно, частное решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i |
|
U0 |
e t sin t . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
U0 sin t |
|
|
L |
|
U0 |
|
|||||
Поскольку lim |
0 |
, то амплитуда колебании |
|
|||||||||
|
L e t |
|||||||||||
t |
L e t |
|
|
|
|
|
|
убывают с течением времени и в контуре возникают затухающие колебания.
1.14. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
1°. В ряде случаев решение дифференциальных уравнений не всегда удается выразить в элементарных функциях. Однако интегралы некоторых дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов. Обычно решение таких уравнений ищут в виде ряда
|
n |
|
|
y an x x0 |
или y an xn , |
(1) |
|
n 0 |
|
n 0 |
|
где an - неопределенные коэффициенты находятся подстановкой решения у и, соответствующих, производных y , y ,... в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности x x0 или переменной х в обеих частях
полученного равенства.
2°. Если требуется найти частный интеграл, т. е. для уравнения y f x, y решить задачу Коши при начальных усло-
виях y0 y x0 , то решение ищется в виде ряда
|
y n x |
|
|
n |
|
y n |
0 |
|
y |
0 |
|
x x0 |
|
или y |
|
|
xn , (2) |
n! |
|
|
n! |
|
||||
n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
|
100