Учебное пособие 1613
.pdfрешение которой и определяет частное решение неоднородного уравнения.
. Если по виду правой части q(x) указать вид частного интеграла y1 затруднительно, то его можно найти с помощью п квадратур по формуле
y1 ek1x e(k2 k1 ) x e(k3 k2 ) x ... e(kn kn 1 ) x q(x)e kn xdxdx...dxdx , |
(2) |
где k1, k2 ,..., kn - корни характеристического уравнения. |
|
В частности, если уравнение второго порядка, то |
|
y1 ek1x e(k2 k1 ) x q(x)e k2 xdxdx , |
(3) |
если третьего порядка, то |
|
y1 ek1x e(k2 k1 ) x e(k3 k2 ) x q(x)e k3xdxdxdx . |
(4) |
В случае комплексных сопряженных корней бывает удобнее выражать тригонометрические функции через показательные по формулам Эйлера
ei cos i sin ; |
e i cos i sin |
(5) |
||||
или |
|
|
|
|
||
cos |
1 |
ei e i ; |
sin |
1 |
ei e i . |
(6) |
2 |
2i |
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Пусть требуется решить неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
y P1 y P2 y q(x) . |
(7) |
Запишем решение соответствующего |
однородного |
уравнения в виде |
|
y C1 y1 C2 y2 , |
(8) |
где y1 и y2 — частные решения однородного уравнения. Будем считать C1 и C2 неизвестными функциями х. Для их определения необходимо решить систему
|
C y |
C y |
|
0, |
(9) |
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
C1 y1 C2 y2 q(x). |
|
51
Решая систему относительно |
C1 и |
C2 найдем |
C1 1 (x) , |
|
C2 2 (x) . Откуда |
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
C1 1 (x) dx C1 |
; |
C2 2 (x) dx C2 . |
|
Подставляя C1 и C2 в выражение (8), получим общее
решение.
Если решается неоднородное уравнение n-го порядка и известна фундаментальная система решений y1, y2 ,..., yn
соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения (1) берем в виде
y(x) C1 (x) y1 C2 (x) y2 ... Cn (x) yn , |
(10) |
где C1 (x),C2 (x),...,Cn (x) определяются из системы уравнений
C1 y1 C2 y2 ... Cn yn 0,C1 y1 C2 y2 ... Cn yn 0,
.....................................................
C1 y(n 2)1 C2 y(n 2)2 ... Cn y(n 2)n 0,
C1 y(n 1)1 C2 y(n 1)2 ... Cn y(n 1)n q(x).
11.1. Найти решение уравнений: а) y 2y 3y 3x 1;
б) y 2 y 2 5x2 ; в) y 6 y 5y 8e3x ; г) y 6 y 9 y 4e3x ;
д) y 3y 2 y (x2 x)ex ; |
|
|
е) y 4 y 5y 3x 8ex ; |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|||
y(0) 0, y (0) |
|
|
|
|
|
|||
Решение. а) Найдем решение соответствующего |
||||||||
однородного |
уравнения |
y - |
2y – 3y |
= |
0. Составляем |
|||
характеристическое уравнение |
k2 2k 3 |
0 |
и находим его |
|||||
корни k1 3, |
k2 1. Общее решение имеет вид |
|
||||||
|
|
|
u C e3x C |
e x . |
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Поскольку правая часть неоднородного уравнения представляет многочлен второй степени, то частное решение
52
y1 следует искать в полной форме многочлена второй степени
y Ax2 |
Bx C , где А, В, С — неопределенные |
1 |
|
коэффициенты. Так как предположили, что y1 есть решение заданного уравнения, то подставив y1, y1, y1 в это уравнение, получим тождество относительно х
2A 4Ax 2B 3Ax2 3Bx 3C 3x2 1.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой части
x2 |
3 3A, |
x |
0 4A 3B, |
x0 |
1 2A 2B 3C. |
Отсюда А = - 1, В = 4 , С = 11 . Следовательно, имеем
3 3
y x2 43x 119 .
Общее решение исходного уравнения примет вид
y C1e3x C2e x x2 43x 119 .
б) Соответствующее однородное уравнение имеет вид
y - 2y = 0. Составляем характеристическое уравнение k2-2k=0 и находим его корни k1=0, k2=2. Общее решение получаем в
форме u C1 C2e2 x .
Определяем форму частного решения y1 . Поскольку в
правой части неоднородного уравнения m = 0 и m совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение
y1 в форме многочлена второй степени умножается на х, т. е. y1 x Ax2 Bx C .
Находим y1 3Ax2 2Bx C, y1 6Ax 2B и подставляем y1, y1, y1 в заданное уравнение
6Ax 2B 6Ax2 4Bx 2C 2 5x2 .
53
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
x2 |
6A 5, |
x |
6A 4B 0, |
x0 |
2B 2C 2. |
Решая эту систему уравнений, |
находим |
A |
5 |
, |
B |
5 |
, |
C |
1 |
. |
||||||||||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|||||
Следовательно, |
y x |
|
5 |
x2 |
|
5 |
x |
1 |
|
, а |
|
|
общее |
решение |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
заданного уравнения примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y C C |
e2 x |
|
x |
|
5 |
x2 |
|
5 |
x |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y + 6y + 5y = 0. Составим характеристическое
уравнение k2 6k 5 0 и найдем его корни |
k 1, |
k |
2 |
5 . |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
Тогда общее решение примет вид |
u C e x C |
e 5x . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Поскольку правая часть уравнения представляет показательную функцию, то частное решение ищем в подобном виде только с неопределенным коэффициентом
y1 Ae3x . Находим |
производные y1 3Ae3x , |
y1 9Ae3x и |
|||||
подставляем y1, y1, y1 |
в исходное уравнение |
|
|||||
|
|
9Ae3x 18Ae3x 5Ae3x 8e3x , |
|
||||
откуда A |
1 |
. Следовательно, y |
|
1 |
e3x . |
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y C1e x C2e 5 x 14 e3x .
г) Найдем решение соответствующего однородного уравнения у'' - 6у' + 9y = 0. Составляем характеристическое
уравнение k2 6k 9 0 и находим его корни k1,2 3 . Так как корни кратные, то решение имеет вид u C1 C2 x e3x .
54
Поскольку в правой части m = 3 и совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то частное решение
ищем в виде |
y Ax2e3x . Находим |
производные |
|
y1 A 2x 3x2 e3x , |
1 |
e3x и |
|
y1 A 2 12x 9x2 |
подставляем в |
исходное уравнение. После приведения подобных членов
получим |
2Ae3x 4e3x , откуда A = 2. Общее решение |
|
исходного уравнения имеет вид |
e3x . |
|
|
y C1 C2 x 2x2 |
д) Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения k2 3k 2 0 . Его
корни k1 1, |
k2 2 . Решение однородного уравнения будет |
||
|
u C ex C |
e2 x . |
|
|
1 |
2 |
|
Поскольку правая часть уравнения представляет произведение многочлена второй степени на показательную функцию и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищем в
виде y1 Ax3 Bx2 Cx ex . Находя производные y1 и y2 и подставляя их в исходное уравнение, будем иметь
6Ax 2B 3Ax2 2Bx C 3Ax2 2Bx C Ax3 Bx2 Cx ex
9Ax2 6Bx 3C 3Bx2 3Cx ex 2Ax3 2Bx2 2Cx ex
x2 x ex .
Приведя подобные члены и сравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему относительно А, В и С, решая которую, будем иметь
A |
1 |
, |
B |
3 |
, |
C 3 . |
|
3 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Следовательно, частное решение примет вид
|
x2 |
|
3 |
|
|
||
y1 |
x |
|
|
|
x 3 |
ex . |
|
3 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Окончательно решение будет
55
x2 |
|
3 |
|
|
|
y C1ex C2e2 x x |
|
|
|
x 3 |
ex . |
|
2 |
||||
3 |
|
|
|
||
е) Для соответствующего однородного уравнения |
|||||
составляем характеристическое уравнение |
k2 4k 5 0 . Его |
корни k1 1, k2 5 . Общее решение однородного уравнения
умножаем на x то есть |
|
|
y Ax B Cxex . |
|
|
|
|
1 |
|
Находя производные |
y1 |
и y2 и подставляя их в исходное |
||
уравнение, будем иметь |
|
e 5x . |
|
|
примет вид u C ex C |
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме двучлена и показательной функции и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение запишем также в виде суммы двучлена и
показательной функции, причем |
показательную функцию |
Cex Cex Cxex 4 A Cex Cxex |
5 Ax B Cxex 3x 8ex . |
Приравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях х и при показательной функции,
находим, что A 53 , B 1225 , C 43 . Таким образом, частное решение будет
y1 53 x 54 43 xex ,
а общее решение исходного уравнения примет вид y C1ex C2e 5x 53 x 54 43 xex .
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями. Находя производную
y C1ex 5C2e 5x 53 43 ex 43 xex
и значения у и у' при х = 0, получим систему
56
C1 C2 1225 ,
C1 5C2 53 ,
откуда C1 12 , C2 501 .
Следовательно, частное решение исходного уравнения будет
|
y |
1 |
|
|
x |
|
1 |
|
5 x |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
4 |
|
x |
|
||
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
xe |
|
. |
|
|
2 |
|
|
50 |
|
|
5 |
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
11.2. Найти общее решение уравнений: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) |
y 2 y 10 y 2sin 3x 5cos x ; б) |
|
y 3y sin 2x ; |
|||||||||||||||||||
в) |
y y cos x ; |
|
г) |
y y sin x e x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
д) |
y 7 y 6 y ex sin x ; е) |
y y x cos x . |
|
Решение. а) Найдем общее решение соответствующего
однородного |
уравнения y 2 y 10 y 0 . Его |
характери- |
стическое уравнение k2 2k 10 0 имеет корни |
k 1 3i . |
|
|
|
1,2 |
Так как 1, |
3 , то общее решение имеет вид |
|
|
u ex C1 cos 3x C2 sin 3x . |
|
Правая часть неоднородного уравнения представляет тригонометрический многочлен с разными аргументами у тригонометрических функций, поэтому частное решение ищем в полной форме двух тригонометрических многочленов
y1 Acos3x B sin 3x C cos x D sin x .
Находим производные
y1 3Asin 3x 3B cos3x C sin x D cos x , y2 9Acos3x 9B sin 3x C cos x D sin x .
Подставляем y1, y1, y1 в исходное уравнение и прирав-
ниваем неопределенные коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций
57
9Acos3x 9B sin 3x C cos x D sin x 6Asin 3x 6B cos3x
|
2C sin x 2D cos x 10Acos3x 10B sin 3x |
|
|||||||||||||||
|
10C cos x 10D sin x 2sin 3x 5cos x ; |
|
|
||||||||||||||
|
cos3x |
|
|
0 9A 6B 10A, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin 3x |
|
|
2 9B 6A 10C, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos x |
|
|
5 C 2D 10C, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin x |
|
|
0 D 2C 10D. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из решения системы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
|
12 |
; B |
2 |
|
; C |
9 |
; |
D |
2 |
. |
|
|
|||
|
37 |
37 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
17 |
|
|
17 |
|
|
|
||||||||
Общее решение неоднородного уравнения примет вид |
|
||||||||||||||||
y ex C1 cos 3x C2 sin 3x |
2 |
|
6 cos 3x sin 3x |
|
|
1 |
9 cos x 2sin x . |
||||||||||
37 |
|
17 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
Найдем |
общее |
решение |
однородного |
уравнения |
||||||||||||
y 3y 0 . Характеристическое уравнение |
|
|
k2 3 0 имеет |
||||||||||||||
коpни |
k 3 . Общее решение будет |
u C e 3 x |
C |
e 3 x . |
|||||||||||||
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
Несмотря на то, что правая часть неоднородного уравнения одна тригонометрическая функция, частное решение ищем в полной форме тригонометрического
многочлена y1 Acos 2x B sin 2x .
Находим производные |
y1 4Acos 2x 4B sin 2x . |
|
y1 2Asin 2x 2B cos 2x; |
||
Подставляем y1 и y1 |
в исходное уравнение, тогда |
|
4Acos 2x 4B sin 2x 3Acos 2x 3B sin 2x sin 2x . |
||
Приравниваем коэффициенты у одинаковых тригономе- |
||
трических функций |
|
|
cos 2x |
4A 3A 0, |
|
sin 2x |
4B 3B 1. |
Отсюда A 0, B 17 и общее решение неоднородного уравнения примет вид
58
y C1e 3 x C2e 3 x 17 sin 2x .
в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y y 0 . Корни характеристического уравнения
k2 1 0 чисто мнимые и имеют вид
k1,2 i, т.е. 0, 1.
Общее решение однородного уравнения будет u C1 cos x C2 sin x .
Поскольку правая часть неоднородного уравнения задана в виде тригонометрической функции и числа a = 0, b = 1 совпадают с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения, которое ищем в полной форме тригонометрического многочлена, следует умножить на x, т. е.
y1 Ax cos x Bx sin x .
Находим производную
y1 2Asin x Ax cos x 2B cos x Bx sin x .
Подставим y1, y1 в исходное уравнение
2Asin x 2B cos x cos x
и приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрии-
ческих функциях, тогда получим, что A 0, B 1 . Отсюда
2
решение неоднородного линейного уравнения будет
y C1 cos x C2 sin x 1 x sin x .
2
г) Для соответствующего однородного уравнения y y 0
составим характеристическое уравнение k2 1 0 . Его корни k1,2 1. Общее решение однородного уравнения будет
u C1ex C2e x .
Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме
59
тригонометрической и показательной функций, причем m = -1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение также запишем в виде суммы
y1 Acos x B sin x Cxe x .
Находя y и подставляя все в исходное уравнение, получим
Acos x B sin x Ce x Ce x Cxe x Acos x B sin x Cxe x
sin x e x .
Приравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых тригонометрических и показательной функциях,
находим, что A 0, |
B |
1 |
, |
C |
1 |
. Таким образом, частное |
|
|
|||||
решение примет вид |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
y1 12 xe x sin x .
Следовательно, общее решение исходного уравнения будет
y C1ex C2e x 12 xe x sin x .
д) Для соответствующего однородного уравнения
y 7 y 6 y 0 составим характеристическое |
k2 7k 6 0 . |
|||
Корни характеристического |
уравнения равны |
k1 1, |
k2 6 . |
|
Общее решение однородного уравнения будет u C ex |
C |
e6 x . |
||
|
|
1 |
2 |
|
В соответствии с видом правой части частное решение |
||||
исходного уравнения будет |
y1 ex Acos x B sin x . |
Находя |
производные y1, y1 и подставляя их в заданное уравнение, получим
ex Acos x B sin x ex Asin x B cos x ex Asin x B cos xex Acos x B sin x 7ex Acos x B sin x Asin x B cos x
6ex Acos x B sin x ex sin x.
60