Учебное пособие 1613
.pdf4.11. |
y |
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2x 5 |
y |
5, |
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y 2 4. |
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x2 |
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4.12. y |
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x 1 |
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e |
x |
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y 1 e. |
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x |
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4.13. y |
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y |
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2 |
ln x |
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y 1 1. |
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x |
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x |
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4.14. y |
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y |
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12 |
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y |
1 4. |
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x3 |
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x |
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4.15. y |
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2 |
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3 |
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y 1 5 6. |
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x y x |
, |
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4.16. y |
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y |
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3x, |
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y 1 1. |
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x |
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4.17. y |
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2xy |
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1 x |
2 |
, |
y 1 3. |
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1 x2 |
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4.18. y 1 2x y 1, |
y 1 1. |
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x2 |
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4.19. y |
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3y |
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2 |
, |
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y 1 1. |
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x |
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x3 |
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4.20. y 2xy 2x3 , |
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y 1 e 1 . |
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4.21. y |
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xy |
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x |
, |
y |
0 |
2 . |
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2 |
1 x2 |
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2 |
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3 |
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4.22. y xy x3 , |
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y(0) |
3. |
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4.23. y |
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2 |
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y e |
x |
x 1 |
2 |
, |
y 0 1. |
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x 1 |
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4.24. y 2xy x e x2 sin x, |
|
y 0 1. |
191
4.25. y 2 y |
x 1 x 1 3 , y 0 |
1 2. |
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4.26. y y cos x sin 2x, |
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y 0 |
3. |
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4.27. y 4xy 4x3 , |
y 0 |
1 2. |
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4.28. y |
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y |
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ln x |
, |
y(1) |
1. |
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x |
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x |
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y |
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3x |
2 |
y x |
2 |
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x |
3 |
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3, y 0 0. |
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4.29. |
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1 |
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4.30. y y cos x sin 2x, |
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y 0 1. |
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4.31. y y |
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x 2 |
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x2 , |
y 1 1. |
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Задача 5. Решить задачу Коши. |
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5.1. y2dx x e2 y dy 0, |
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y |
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x e 2. |
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5.2. y4 ey 2x y y, |
y |
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x 0 1. |
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5.3. y2dx xy 1 dy 0, |
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y |
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x 1 e. |
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5.4. 2 4 y2 4 y x y 1, |
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y |
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x 0 |
0. |
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5.5. cos 2 y cos2 |
y x y sin y cos y, |
y |
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x 1 4 |
3. |
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5.6. x cos2 |
y y2 y y cos2 y, |
y |
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x |
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4. |
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5.7. ey2 dx 2xydy ydy, |
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y |
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x 0 |
0. |
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5.8. (104 y3 x) y 4 y, |
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y |
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x 8 1. |
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5.9. dx xy y3 dy 0, |
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y |
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x 1 0. |
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5.10. 3y cos 2 y 2 y2 sin 2 y 2x |
y y, |
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y |
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x 16 4. |
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5.11. |
8 4 y3 |
xy y y 1, |
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y |
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x 0 |
0. |
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5.12. 2ln y ln2 y dy ydx xdy, |
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y |
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x 4 |
e2 . |
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192
5.13. 2 x y4 y y, |
y |
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x 2 1. |
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5.14. y3 y 1 dx 3xy2 y 1 dy y 2 dy, |
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y |
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x 1 |
4 2. |
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5.15. 2 y2dx x e1 |
y dy 0, |
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y |
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x e 1. |
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5.16. xy |
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y dy y2 dx 0, |
y |
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x 1 2 |
4. |
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5.17. sin 2 ydx sin2 |
2 y 2sin2 |
y 2x dy, |
y |
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x 1 2 |
4. |
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5.18. y2 |
2 y x y 1, |
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y |
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x 2 |
0. |
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5.19. 2 y |
ydx 6x |
y 7 dy 0, |
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y |
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x 4 |
1. |
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5.20. dx sin y 3cos y 3x dy, |
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y |
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x e |
2 |
|
2. |
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5.21. 2 cos2 y cos 2 y x y sin 2 y, |
|
y |
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x 3 |
|
2 5 4. |
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5.22. ch ydx 1 xsh x dy, |
y |
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x 1 |
ln 2. |
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5.23. 13y3 |
x y 4 y, |
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y |
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x 5 |
1. |
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5.24. y2 y2 |
4 dx 2xy y2 4 dy 2dy, |
y |
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x 8 2. |
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5.25. x ln2 |
y ln y y y 2, |
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y |
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x 2 |
|
1. |
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5.26. 2xy |
y dy 2 y2dx 0, |
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y |
|
x 1 2 |
1. |
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5.27. ydx 2x 2 sin2 y y sin 2 y dy 0, y |
|
x 3 |
|
2 |
4. |
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|
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5.28. 2 y3 |
y xy dy dx, |
y |
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x 2 0. |
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5.29. 2 y x tg y y2 tg y dy dx, |
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y |
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x 0 . |
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5.30. 4 y2dx e1 2 y x dy 0, |
y |
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x e 1 2. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.31. dx |
2x sin 2 y 2 cos2 y dy |
0, |
|
|
y |
|
x 1 0. |
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|
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193
Задача 6. Найти решение задачи Коши. |
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6.1. y xy 1 x e x |
y2 , |
y 0 |
1. |
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6.2. xy y 2 y2 ln x, |
y 1 1 2. |
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6.3. 2 |
xy y xy2 , |
|
y 1 2. |
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
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4 x |
|
|
2 |
|
|
y 0 1. |
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||||
6.4. |
y |
|
4x |
|
y 4 x |
|
1 e |
|
y |
|
|
, |
|
|||||||||||
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6.5. xy y y2 ln x 2 ln x, |
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|
y 1 1. |
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6.6. 2 |
y xy 1 x e x y2 , |
|
|
|
y |
0 2. |
|
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6.7. 3 xy y y2 ln x, |
|
y 1 3. |
|
|
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|||||||||||||||||||
6.8. 2 y y cos x y 1 cos x 1 sin x , |
y 0 1. |
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|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
4 x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y 0 1. |
|
||||
6.9. |
y |
|
4x |
|
y 4 y |
|
e |
|
1 x |
|
|
|
, |
|
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|||||||||
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6.10. 3y 2xy 2xy 2 e 2 x2 , |
|
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y(0) 1. |
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6.11. 2xy 3y 5x2 |
3 y3 , |
|
|
y 1 1 |
2. |
|
||||||||||||||||||
6.12. 3xy 5 y 4x 5 y4 , |
|
|
y 1 1. |
|
|
|
||||||||||||||||||
6.13. 2 y 3y cos x e2 x 2 3cos x y 1, |
|
y 0 |
1. |
|||||||||||||||||||||
6.14. 3 xy y xy2 , |
y 1 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6.15. y y 2xy2 , |
|
|
y 0 |
1 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6.16. 2xy 3y 20x2 |
12 y3 , |
y 1 1 2 2. |
||||||||||||||||||||||
6.17. y 2xy 2x3 y3 , |
y 0 |
|
|
|
2. |
|
|
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||||||||||||||||
6.18. xy y y2 ln x, |
|
|
y 1 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.19. 2 y 3y cos x |
8 12cos x e2 x y 1, |
|
y 0 |
2. |
||||||||||||||||||||
6.20. 4 y x3 y x3 |
8 e 2 x |
y2 , |
|
y 0 1. |
|
194
6.21. 8xy 12 y 5x2 3 y3 , |
|
y 1 |
2. |
||||
6.22. 2 y y xy2 , |
y 0 |
2. |
|
|
|
||
6.23. y xy x 1 ex |
y2 , |
|
y 0 1. |
|
|||
6.24. 2 y 3y cos x e 2 x |
2 3cos x y 1, |
y 0 1. |
|||||
6.25. y y xy2 , |
y 0 1. |
|
|
|
|||
6.26. 2 xy y y2 ln x, |
y 1 2. |
|
|||||
6.27. y y xy2 , |
y 0 1. |
|
|
|
|||
6.28. y 2 y cth x y2 ch x, |
y 1 1 sh1. |
|
|||||
6.29. 2 y xy x 1 ex |
y2 , |
y 0 2. |
|
||||
6.30. y y tg x 2 |
3 y4 sin x, |
y 0 1. |
|||||
6.31. xy y xy2 , |
y 1 1. |
|
|
|
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
7.1. 3x2 ey dx x3 ey 1 dy 0.
7.2. |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2x |
|
2x |
|
|
2x |
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|
|
3x |
|
|
|
|
cos |
dx |
|
2 |
cos |
|
dy 0. |
||||||
|
y |
y |
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
7.3. |
3x2 4 y2 dx |
8xy ey dy 0. |
||||||||||||||||
7.4. |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
2x 1 |
|
|
|
|
dx 2 y |
|
dy |
0. |
|||||||||
|
x |
2 |
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.5.y2 y sec2 x dx 2xy tg x dy 0.
7.6.3x2 y 2 y 3 dx x3 2x 3y2 dy 0.
195
7.7. |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
x y |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
7.8.sin 2x 2cos x y dx 2cos x y dy 0.
7.9.xy2 x y2 dx x2 y x2 y3 dy 0.
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
7.10. |
|
|
3y4 |
dx |
2 y3 dy 0. |
||
2 |
|||||||
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
7.11. |
|
|
|
|
|
cos |
|
dx |
cos |
|
|
2 y dy 0. |
|||||||||||
|
x |
2 |
x |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.12. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y dx x |
|
|
|
|
|
dy 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.13. |
1 xy |
dx |
|
1 xy |
dy 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x2 y |
|
xy2 |
|
|
|
|
|
|
7.14.x 2y2 dy 0. y y
7.15.y2 dx xy 1 dy 0. x xdx
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.16. |
x e |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dy |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x cos y |
|
2 |
|
3 |
|
||||
|
10xy |
|
|
|
|
|
dx |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
sin y |
|
dy 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
xdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
dx |
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
y |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.19. ey dx cos y xey dy 0. |
|
|
|
|
|
196
7.20.y3 cos x dx 3xy2 ey dy 0.
7.21.x ey2 dx x2 y ey2 tg2 y dy 0.
7.22.5xy2 x3 dx 5x2 y y dy 0.
7.23.cos x y2 sin x dx 2 y cos x y2 dy 0.
7.24.x2 4xy 2 y2 dx y2 4xy 2x2 dy 0.
7.25. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
sin y |
y sin y |
x |
dx |
x cos y cos x |
|
dy 0. |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
1 |
|
x y |
|
|
x |
|
x y |
|
|
|
7.26. |
1 |
|
|
e |
dx 1 |
|
|
e |
dy 0. |
|
|
||
y |
y |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.27.x y dx x y dy 0.
x2 y2
7.28.2 3xy2 2x3 dx 3 2x2 y y2 dy 0.
7.29.3x3 6x2 y 3xy2 dx 2x3 3x2 y dy 0.
7.30.xy2dx y x2 y2 dy 0.
7.31.xdx ydy xdy ydx x2 y2 0.
Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
8.1.y 3y 2 y 1 x2 .
8.2.y y 6x2 3x.
8.3.y y x2 x.
8.4.yIV 3y 3y y 2x.
8.5.yIV y 5 x 2 2 .
197
8.6.yIV 2 y y 2x 1 x .
8.7.yIV 2 y y x2 x 1.
8.8.yV yIV 2x 3.
8.9.3yIV y 6x 1.
8.10.yIV 2 y y 4x2 .
8.11.y y 5x2 1.
8.12.yIV 4 y 4 y x x2 .
8.13.7 y y 12x.
8.14.y 3y 2 y 3x2 2x.
8.15.y y 3x2 2x 1.
8.16.y y 4x2 3x 2.
8.17.yIV 3y 3y y x 3.
8.18.yIV 2 y y 12x2 6x.
8.19.y 4 y 32 384x2 .
8.20.yIV 2 y y 2 3x2 .
8.21.y y 49 24x2 .
8.22.y 2 y 3x2 x 4.
8.23.y 13y 12 y x 1.
8.24.yIV y x.
8.25.y y 6x 5.
8.26.y 3y 2 y x2 2x 3.
8.27.y 5 y 6 y x 1 2 .
8.28.yIV 6 y 9 y 3x 1.
8.29.y 13y 12 y 18x2 39.
198
8.30.yIV y 12x 6.
8.31.y 5y 6 y 6x2 2x 5.
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
9.1.y 4 y 5y 2 y 16 12x e x .
9.2.y 3y 2 y 1 2x ex .
9.3.y y y y 3x 7 e2 x .
9.4.y 2 y y 2x 5 e2 x .
9.5.y 3y 4 y 18x 21 e x .
9.6.y 5 y 8 y 4 y 2x 5 ex .
9.7.y 4 y 4 y x 1 ex .
9.8.y 2 y y 18x 21 e2 x .
9.9.y y y y 8x 4 ex .
9.10.y 3y 2 y 4x ex .
9.11.y 3y 2 y 4x 9 e2 x .
9.12.y 4 y 5y 2 y 12x 16 ex .
9.13.y y 2 y 6x 11 e x .
9.14.y y 2 y 6x 5 ex .
9.15.y 4 y 4 y 9x 15 ex .
9.16.y 3y y 3y 4 8x ex .
9.17.y y 4 y 4 y 7 6x ex .
9.18.y 3y 2 y 1 2x e x .
199
9.19.y 5 y 7 y 3y 20 16x e x .
9.20.y 4 y 3y 4x ex .
9.21.y 5 y 3y 9 y 32x 32 e x .
9.22.y 6 y 9 y 4x ex .
9.23.y 7 y 15y 9 y 8x 12 ex .
9.24.y y 5y 3y 8x 4 ex .
9.25.y 5y 7 y 3y 16x 20 ex .
9.26.y 2 y 3y 8x 14 e x .
9.27.y 2 y 3y 8x 6 ex .
9.28.y 6 y 9 y 16x 24 ex .
9.29.y y 9 y 9 y 12 16x ex .
9.30.y 4 y 3y 4 1 x e x .
9.31.y y 6 y 20x 14 e2 x .
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
10.1. y 2 y 4ex sin x cos x .
10.2. y 4 y 4 y e2 x sin 6x.
10.3. y 2 y 2ex sin x cos x .
10.4. y y 2cos 7x 3sin 7x. 10.5. y 2 y 5 y sin 2x.
10.6. y 4 y 8 y ex 5sin x 3cos x . 10.7. y 2 y ex sin x cos x .
10.8. y 4 y 4 y e2 x sin 3x.
200