3. Системы случайных величин

Если мы имеем две величины и , то:

- интегральный закон;

- плотность распределения

Свойства аналогичны тем, что были для

; ;

.

Условные законы распределения и это закон распределения случайной величины х фикси-значении y.

Зависимые и независимые случайные величины – Y не зависит от X, если не зависит от значений .

.

Для независимых случайных величин - это необходимое и достаточное условие независимости и .

3.1. Числовые характеристики системы двух случайных величин

Начальный момент ;

Центральный момент .

- математические ожидания произведений в степенях

- порядок системы случайных величин.

Легко записать формулы для непрерывных и дискретных случайных величин:

Наиболее часто используют следующие характеристики:

а) начальные моменты первого порядка;

б) центральные моменты;

(Здесь и )

в) корреляционный момент.

Если и независимы, то для них и тогда

.

г) Обычно используют нормированное значение корреляционного момента:

- коэффициент корреляции;

Коэффициент корреляции характеризует точность линейной связи:

.

Чем точнее линейная связь (меньше разброс), тем ближе к |1|.

3.2. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

Если имеем - n случайных величин, то минимальное число характеристик для них:

1. n математических операций ;

2. n дисперсий ;

3. n(n-1) корреляционных моментов:

где для характеристики попарной корреляции случайных величин.

Т ак как, , то удобно все дисперсии и корреляционные моменты поместить в одной матрице:

Так как , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Если - независимые величины, то все элементы, кроме главной диагонали равны нулю:

Если осуществить нормировку (разделить на ), то получим матрицу коэффициентов корреляции симметричную относительно:

3 .3. Примеры законов распределения двух случайных величин.

Распределение Релея.

Для независимых случайных величин:

при ;

Распределение Пуассона:

при ;

- коэффициент корреляции;

- дисперсии; - переменные целочисленные.

Л огнормальный закон распределения:

Нормальный закон распределения:

4. Распознование состояний в одно и многомерном случае

4.1. Распознавание двух состояний по одному признаку

вероятн.

Состояние А: распред.

вероятн.

Рис. 4.1. Распознавание двух состояний по одному признаку

Состояние В: -распред.

Введем отношение вероятностей:

(если неизвестная точка обозначена ).

Возможны несколько критериев распознавания:

1. Критерий максимального правдоподобия, т. е. верна та гипотеза, для которой вероятность больше (критерий Вальда):

- априорные вероятности;

Для неизвестной точки :

П рологарифмируем и найдем корни квадратного уравнения:

а) частный случай:

Если, , то получаем:

б) частный случай:

Если пограничная точка соответствует равным вероятностям, то

и получаем

2

A x₀ B

) Критерий с взвешенными оценками (Неймана-Пирсона)Задана матрица С стоимости правильных и неправильных решений отправляющие свойства препарата; нападение противника; смертельный исход лечения).

Рис. 4.2. Критерий Неймана-Пирсона

- потери (затраты) при правильных;

решениях

- потери (затраты) при неправильных решениях..

С оответственно, различают ошибки I рода (объект относиться к классу 1 (А), а его отнесли к классу 2 (В) и ошибки второго (II) рода (класс 2 отнесли к классу 1).

При многократном определении (классификации), средние потери находят как:

Если найти (min потерь) и приравнять к нулю, то:

Е сли в частном случае:

; .

Т о приходим к старому решению: