7. Прикладные задачи теории вероятности

7.1. Определение статистических характеристик

x  f(x)  y Статистические

x(t)  f(x(t))  y(t) х-ки y и y(t) надо найти

Один аргумент:

m_y – f(m_x)

Несколько аргументов:

m_y = f(m_x1, m_x2…)

(Это для линеаризированных функций) или для СКО:

Если R_ij = 0 – нет корреляции между x_i и x_j (!).

Линейные функции от нормально распределенных аргументов:

Имеется в виду, что мы рассматриваем систему случайных величин (х₁, х₂…х_n).

Для Rij = 0; Для Y – тоже нормальный закон с m_y, _y².

Если величин много, но неизвестны их законы распределения (а только <m_xi, _xi>), то при n = 5  10 слагаемых закон распределения стремится к нормальному.

7.2. Нахождение функциональной зависимости

Обратная задача: метод наименьших квадратов.

Е сли y = (x) и мы наблюдаем

(Надо узнать y = f(x))

Пусть критерий (y_i - (x_i))² = min

Можно показать, что это требование следует нормального закона распределения ошибок измерения и исходя из принципа максимального правдоподобия.

Если выбрать вид функции (x) из предварительных соображений и ставить задачу определения неизвестных параметров a, b, c…

Y = (x, a, b, c… ).

Тогда получим:

[y_i - (x_i, a, b, c… )]² = min

С оответственно:

Рассмотрим несколько частных случаев:

1. y = ax + b;

2. y = ax² +bx +c;

3. y = a_i _i(x) и в частности ;

3а) y = a₁cosx + a₂sinx + a₃cos2x + a₄sin2x ;

3б) y = a₁e^at + a₂e^bt + a₃e^t.

Задачи 3а) и 3б) могут решаться либо прямым методом, находя min как функции параметров, например, графически или введением новых условных переменных

Z₁ = cosx; Z₂ = sinx; Z₃ = cos2x; Z₄ = sin2x.

И далее рассматривают y = a_iZ_{i .}

Соответственно: Z = e^t или Z = lg x …

Подчеркнем, что для параболической или в общем случае полиномиальной функции:

Y = a_ix_i + d_ix_i² + c_ix_ix_j + d_ix_j³ …

уравнения для неизвестных коэффициентов a, b, c, d, e … остаются линейными – это главное преимущество МНО.

Далее распишем конкретные уравнения для y = ax + b и y = = ax² + bx + c

Связь _y², _x² и R_xy :

R_xy = 0, если y и x не связаны между собой.

В общем случае R_xy<<1, т.е. –1<<R_xy<<1

• ошибка линейной модели y_x = ax + b

_улин² = _x² [1 – R_xy²].

• ошибка линейной модели многих аргументов:

- вводится понятие коэффициента множественной кореляции:

R_y (x₁, x₂ … x_n).

• остаточная дисперсия (ошибка линейной апроксимации)

_y² = _y²(1 – R_xy²).

Далее эта задача рассмотрена более подробно.