1.2. Экспериментальные основы теории вероятностей

В основе всякой науки лежат некоторые экспериментальные факты, на основании которых формируются основные понятия науки. Эти факты и понятия используются для развития научной теории и для получения определенных практических выводов. И, наконец, выводы науки проверяются практикой. Совпадение теоретических научных выводов с практическими результатами является критерием правильности научной теории. ,

Посмотрим, как можно экспериментально изучать случайные явления и характеризовать результаты этого изучения. Для этого дадим определение некоторых исходных понятий.

Всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление, будем называть опытом.

Примерами опытов могут служить измерение некоторой величины или выстрел по определенной цели, запись выходного сигнала автоматической системы в течение некоторого интервала времени, выбор наудачу некоторого предмета из совокупности однородных предметов.

Результат опыта можно характеризовать качественно и количественно.

Любая качественная характеристика результата опыта называется событием.

Например, то, что при измерении некоторой величины результат измерения оказался равным данному числу или меньше данного числа, является событием. Попадание и промах при выстреле также являются событиями.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может появиться в результате данного опыта.

Событие, которое в результате данного опыта может появиться, а может и не появиться, называется случайным событием.

Любая количественная характеристика опыта называется случайной величиной.

Примерами случайных величин могут служить результат измерения некоторой величины и координаты точек попадания при выстреле. Ординаты кривой, получаемой в результате записи некоторой переменной величины, например, выходного сигнала автоматической системы, также являются случайными величинами.

Рассмотрим последовательность п одинаковых опытов. Предположим, что в результате каждого опыта регистрируется появление или не появление некоторого события А. Совершенно естественной характеристикой события А в этой последовательности опытов является частота его появления, т. е. отношение числа его появлений к числу всех произведенных опытов. Обозначая частоту события А через Р*(А) или просто p, можно написать

где т — число появлений события А при п опытах.

Изучим основные свойства частот событий.

Прежде всего, ясно, что частота любого события представляет собой правильную дробь или равна нулю или единице:

Будем называть два события А и В несовместными в данном опыте, если в этом опыте появление одного из них исключает появление другого.

Примером несовместных событий могут служить попадание и промах при одном выстреле.

Следует заметить, что понятие совместности или несовместности событий всегда связано с тем, какой опыт имеется в виду.

Одни и те же события А и В могут оказаться несовместными в одном опыте и совместными в другом.

Так, например, попадание и промах являются несовместными событиями, если опыт состоит в том, что производится один выстрел. Однако попадание и промах совместны, если опыт состоит в том, что производятся несколько выстрелов.

Предположим теперь, что события А и В несовместны при данном опыте и что этот опыт повторяется п раз.

Допустим, что нам безразлично, какое событие появится: А или В. Иными словами, нас интересует сложное событие, которое заключается в том, что появится или событие А, или событие В, безразлично, какое именно.

Например, предположим, что опыт состоит в том, что мы покупаем один билет денежно-вещевой лотереи и нас интересует выигрыш автомобиля или мотоцикла.

Пусть событие А представляет собой выигрыш автомобиля, а событие В — выигрыш мотоцикла.

В данном случае нас интересует сложное событие, которое состоит в том, что мы выиграем транспортное средство, безразлично, какое именно: автомобиль или мотоцикл.

Очевидно, что в данном случае события А и В несовместны, так как на один билет можно получить только один выигрыш.

Предположим, что в результате п опытов появилось т раз событие А иl раз событие В. Следовательно, интересующее нас сложное событие «A или В» появилось т+ l раз и его частота равна

Но частоты событий А и В в данном случае равны соответственно m/n и l/n.

Следовательно, предыдущее равенство можно переписать в виде

Эта формула выражает теорему сложения частот:

частота появления одного из двух несовместных событий, безразлично, какого именно, равна сумме частот этих событий.

Сложное событие, представляющее собой появление хотя бы одного из нескольких событий А₁, А₂, ..., А_п, называется суммой или объединением этих событий.

На основании определения суммы событий событие «А или В» можно также записать в виде А+ В и предыдущее равенство, выражающее теорему сложения частот, можно переписать в виде

Теорема сложения частот справедлива для любого числа несовместных событий.

События A₁ ..., А_п называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Если события А₁, ..., А_п несовместны, то

Эта формула легко доказывается непосредственно, так же как для случая двух несовместных событий, или же методом математической индукции.

Полученная формула выражает общую теорему сложения частот: частота появления какого-нибудь одного из несовместных событий, безразлично, какого именно, равна сумме частот этих событий.

В некоторых случаях возникает необходимость рассматривать несколько событий в их взаимосвязи, например, когда необходимо определить, как влияет появление или не появление одного события на частоту появления другого.

В этом случае, кроме частоты события А для всей серии произведенных опытов, вычисляют также частоту события А, учитывая только те из произведенных опытов, в результате которых появилось другое интересующее нас событие В.

Иными словами, перед определением частоты события А отбирают только те из произведенных опытов, в которых появилось событие В, а остальные опыты не учитывают.

Частота события А, вычисленная только для тех из произведенных опытов, в которых появилось событие В, называется условной частотой события А относительно события В и обозначается

Если при п опытах событие В появилось l раз, а событие А появилось совместно с событием В k раз, то условная частота события А относительно В равна

^:

Или

Так как дроби l/n и k/n представляют собой соответственно частоту события В и частоту совместного появления событий А и В, то предыдущую формулу можно переписать в виде

Совершенно аналогично определяется условная частота события В относительно А как частота события В, вычисленная с учетом только тех опытов, в которых появилось событие А:

п олученные формулы выражают теорему умножения частот:

частота совместного появления двух событий равна частоте одного из них, умноженной на условную частоту другого относительно первого.

Событие, представляющее собой совместное появление нескольких событий, часто называется произведением или пересечением этих событий. На рис. 1.1 произведение событий А и В для иллюстрации показано как общая часть (заштрихованная) Рис. 1.1

соответствующих областей.

Пользуясь определением произведения событий, можно событие «А и В» записать в виде произведения АВ. Тогда теорема умножения частот, запишется в виде

Сравнивая условную частоту события А относительно события В с частотой события А во всей серии произведенных опытов (называемой обычно безусловной), можно судить о взаимосвязи событий А и В.

Если при большом числе опытов условная частота события А относительно В приблизительно равна безусловной частоте события А, то это означает, что полное число появлений события А делится приблизительно пропорционально между теми опытами, в которых событие В появилось, и теми опытами, в которых событие В не появилось. Это может служить признаком отсутствия зависимости события А от события В.

Если же условная частота события А относительно В значительно отличается от безусловной частоты события А, то это может служить признаком наличия некоторой связи между событиями А и В.

Применяя метод математической индукции, можно распространить теорему умножения частот на произвольное число событий. В результате получим

причем порядок нумерации событий не имеет значения и может быть установлен произвольно.

Перейдем теперь к вопросу об экспериментальном изучении случайных величин.

Согласно данному общему определению случайной величиной называется любая величина, которая в результате опыта принимает одно и только одно какое-нибудь значение, а в результате разных опытов может принимать различные значения.

Каждое значение, которое может принять случайная величина в результате опыта, называется ее возможным значением.

Мы будем обозначать случайные величины большими буквами, преимущественно последними буквами латинского алфавита, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами. Например, случайные величины будем обозначать буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответственно буквами х, у, z.

С любой случайной величиной X можно связать событие А, представляющее собой выполнение неравенства Х<х, где х — данное число.

Тогда можно определить частоту события А для различных значений х. В результате получим функцию

которая обычно называется статистической функцией распределения случайной в еличины X. Для изучения свойств статистической функции распределения предположим, что в результате п опытов случайная величина X приняла некоторые значения, которые мы пронумеруем в порядке не убывания: x₁, х_2,…х_п (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

Очевидно, что для любого значения х в интервале x_k<x,<x_k+1 число опытов, в которых было выполнено неравенство Х<х, равно k.

Следовательно,

При любом число опытов, в которых было выполнено неравенство Х<х, равно нулю, а при любом х>х_п число опытов, в которых было выполнено неравенство Х<х, равно п.

Таким образом, статистическая функция распределения случайной величины X представляет собой ступенчатую функцию, равную нулю во всех точках числовой оси, лежащих левее всех точек x₁ ..., х_п, соответствующих значениям, которые приняла случайная величина X в результате произведенных опытов, и единице во всех точках числовой оси, лежащих правее всех точек x₁ х_n (рис. 1.2).

При переходе точки х через любую из точек x₁, ..., х_п, не совпадающую ни с какими другими из этих точек, статистическая функция распределения увеличивается скачком на 1/_n. Если какие-нибудь l из точек x₁ ..., х_n совпадают, то при переходе точки х через эту «l-кратную» точку статистическая функция распределения увеличивается скачком на l/_n.

Статистическая функция распределения является полной характеристикой результатов наблюдения случайной величины в данной серии опытов.

Однако иногда целесообразно ограничиться более простой, хотя и неполной характеристикой случайной величины при помощи нескольких чисел.

Простейшей числовой характеристикой случайной величины X в данной серии опытов является ее среднее арифметическое значение

В случае, когда какие-нибудь l из значений x₁ ..., х_п, принятых случайной величиной X в результате п опытов, совпадают, коэффициент при этом общем значении x_i равен частоте появления этого значения l/_n. Так, например, если x₁ = ... = x_l1 = a₁ x_l1+₁ = .-..=⁼x_l1+l2 =a₂, ..., _{xl1 +} .., ₊ i_{k-l +} 1= ..=_{xl2 +} .._. + _lk=x_n= a_k, то последняя формула принимает вид

Проведём теперь это же рассуждение .

Вспомним: если частотность появления значения величины равна , то это означает, что в серии из операций это значение будет наблюдаться примерно раз, где

откуда ; аналогично, значение при этом встретится примерно раз, и т. д.

Таким образом, серия из операций будет в среднем содержать

Сумма значений величины во всех п произведенных операциях будет поэтому примерно равна

Поэтому среднее значение случайной величины, соответствующее отдельной операции и получаемое из только что написанной суммы делением на число операций в данной серии, будет равно

Мы приходим, таким образом, к следующему важному правилу: для получения среднего значения случайной величины надо каждое из её возможных значений помножить на соответствующую ему вероятность и сложить между собою все полученные произведения.

Таким образом, среднее значение случайной величины в данной серии опытов равно сумме всех принятых этой величиной значений, умноженных на частоты этих значений. Иными словами, среднее значение случайной величины представляет собой ее взвешенное среднее значение, причем веса принятых случайной величиной значений равны соответствующим частотам.

Весьма важно, что для вычисления среднего значения суммы во всех случаях достаточно знать средние значения слагаемых и что

среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых.

Таким образом, если х и у — две совершенно произвольные случайные величины, то

В вышеприведённом примере х — число изделий одного только первого предприятия, у — число изделий второго предприятия: и значит

Рассмотрим пример. Представим себе, что испытываются на урожайность два сорта пшеницы, В зависимости от случайных обстоятельств (количество осадков, распределение удобрений, солнечная радиация и пр.) урожай с квадратного метра подвержен значительным колебаниям и представляет собой случайную величину. Предположим, что при одинаковых условиях средний урожай для каждого сорта один и тот же —G граммов с квадратного метра.

Можно ли судить о качестве испытываемого сорта только по значению среднего урожая?

Очевидно, что нет, так как наибольший хозяйственный интерес представляет тот сорт, урожайность которого меньше подвержена случайным влияниям метеорологических и других факторов, иными словами, для которого «рассеяние» урожайности меньше.

Мы видим, таким образом, что при испытании того или иного сорта пшеницы на урожайность не меньшее значение, чем средняя урожайность, имеет размах возможных её колебаний.

Для характеристики разброса значений случайной величины X в данной серии опытов можно пользоваться средним значением какой-нибудь положительной меры отклонения случайной величины от ее среднего значения.

В качестве положительной меры отклонения случайной величины от ее среднего значения удобнее всего пользоваться квадратом разности между значением случайной величины и ее средним значением. Тогда получим в качестве характеристики разброса значений случайной величины X в данной серии опытов величину

которая обычно называется статистической дисперсией случайной величины X.

Очевидно, что статистическая дисперсия имеет ту же размерность, что и квадрат данной случайной величины. Однако практически удобнее пользоваться для характеристики разброса величиной, имеющей ту же размерность, что и данная случайная величина. Чтобы получить такую характеристику, достаточно извлечь квадратный корень из статистической дисперсии. Таким образом, практической мерой разброса значений случайной величины X в данной серии опытов может служить ее статистическое среднеквадратическое отклонение, представляющее собой положительный квадратный корень из ее статистической дисперсии:

Если некоторые из значений x_t принятых случайной величиной X, совпадают, то соответствующие слагаемые в полученных формулах совпадают и их можно объединить. В результате статистическая дисперсия выразится через значения а₁,……а_к, принятые случайной величиной, и их частоты формулой

Пусть мы имеем несколько случайных величин x₁,…x_n со среднеквадратическими отклонениями s₁,….s_n,

тогда дисперсия суммы взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

В случае взаимно независимых случайных величин к правилу сложения средних значений присоединяется весьма важное правило сложения дисперсий

Эта возможность просто выразить среднеквадратическое отклонение суммы через среднеквадратические отклонения её слагаемых в случае их взаимной независимости и представляет собою одно из важнейших преимуществ среднеквадратических отклонений сравнительно со средними, срединными и другими отклонениями.

Пример 1. Найдем при п выстрелах с одной и той же вероятностью попадания р среднее значение числа попаданий и среднеквадратическое отклонение.

Чтобы ориентировочно оценить, сколь большим может оказаться отклонение фактического числа попаданий от этого среднего значения, найдём среднеквадратическое отклонение числа попаданий по вышеприведенной формуле.

В самом деле, число попаданий при п выстрелах можно рассматривать как сумму чисел попаданий при отдельных выстрелах, а так как эти числа мы считаем взаимно независимыми случайными величинами, то по правилу сложения дисперсий мы для вычисления среднеквадратического отклонения S общего числа попаданий можем воспользоваться вышеприведенной, где s₁,…….s_n означают среднеквадратические отклонения чисел попадания при отдельных выстрелах.

Но попадание x_i при i-ом выстреле определяется таблицей

Значение xi	1	0
вероятность	р	1-р= =q

Тогда

и

Этим поставленная задача решена.

Сопоставляя среднее значение числа попаданий с его среднеквадратическим отклонением

мы видим, что при больших значениях n (т.е. при большом числе выстрелов) последнее значительно меньше первого и составляет лишь небольшую долю его.

Так, при среднее значение числа попаданий равно а среднеквадратическое уклонение так что фактическое число попаданий ориентировочно лишь на 3—4°/₀ будет отклоняться от своего среднего значения.

Пример 2. Представим себе, что производится сборка некоторого механизма, состоящего из деталей, прикладываемых вплотную одна к другой вдоль некоторой оси и охватываемых с концов некоторой объемлющей деталью (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Длина каждой детали может несколько отличаться от соответствующего стандарта, и есть поэтому случайная величина. Предположим, что эти случайные величины являются не зависимыми. Если средние длины деталей и их среднеквадратические отклонения этих длин равны соответственно

и ,

то среднее значение и дисперсия длины цепи из п деталей равны

и

В частности, если и

то a=90 см и

М ы видим, таким образом, что если в среднем длина каждой отдельной детали уклоняется от своего среднего значения на 2°/₀, то длина цепи из этих деталей отличается от своего среднего значения примерно лишь на 2/3°/₀.

Это обстоятельство — уменьшение относительной ошибки при сложении случайных величин — играет значительную роль при сборке точных механизмов.

Действительно, если бы не было взаимной компенсации отклонений размеров отдельных деталей от заданных нормальных размеров, то при сборке механизмов постоянно встречались бы случаи, когда объемлющие детали не охватывали бы объемлемой цепи или, напротив, при этом оставались бы чрезмерно большие зазоры.

В обоих случаях получался бы явный брак.

Бороться с этим браком путем уменьшения допустимых отклонений фактических размеров детали от заданных нецелесообразно. Ибо сравнительно небольшое увеличение точности обработки значительно повышает её стоимость.

Пример 3. Допустим, что в неизменных условиях производятся п измерений некоторой величины.

В результате целого ряда обстоятельств (положения прибора, наблюдателя, колебания в состоянии воздуха, наличия в нём пылинок и пр.) различные измерения будут давать, вообще говоря, различные результаты — имеют место случайные ошибки измерений.

Будем обозначать результаты измерений через приписывая каждому х в качестве индекса (значка) номер измерения.

Среднее значение для всех этих случайных величин одно и то же — .

Среднеквадратическое отклонение очевидно, также естественно предположить одним и тем же для всех измерений, так как они производятся в неизменных условиях.

Наконец, мы считаем, как обычно, величины взаимно независимыми.

Рассмотрим теперь среднее арифметическое

результатов п измерений. Это — случайная величина; найдём её среднее значение и среднеквадратическое отклонение. По правилу сложения

т. е. среднее значение, как это в сущности и ранее было очевидно, то же самое, что и для каждого отдельного измерения.

Далее, среднеквадратическое отклонение суммы по правилу сложения дисперсий равно

а среднеквадратическое отклонение величины составляющей этой суммы, равно

Мы приходим к очень важному результату: среднее арифметическое п взаимно независимых и одинаково распределённых случайных величин имеет:

а) среднее значение — то же самое, что и каждая из составляющих величин;

б) среднеквадратическое отклонение — в раз меньшее, чем каждая из составляющих величин.

Так, если среднее значение измеряемой величины а среднеквадратическое уклонение то среднее арифметическое сотни результатов измерений будет, конечно, иметь своим средним значением то же число но среднеквадратическое уклонение его будет в ] раз меньше, чем для отдельного измерения, т. е. будет составлять всего Таким образом, имеются основания ожидать, что среднее арифметическое сотни фактических результатов измерений будет значительно ближе к среднему значению 200 м, чем результат того или другого отдельного измерения.

Среднее арифметическое большого числа взаимно независимых величин обладает во много раз меньшим рассеянием, чем каждая из этих величин в отдельности.

П. Л. Чебышевым (1821—1894) установлено, что при осреднении достаточно большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин, получим с вероятностью, как угодно близкой к единице, значение, сколь угодно мало отличающееся от общего математического ожидания величин.

Это доказательство, составляет частный, но важный случай так называемого «закона больших чисел».

Оно выражает основную и общую закономерность, имеющую первостепенное значение как для обоснования статистических методов, так и для теоретического объяснения большого круга явлений.

С особенной точностью проявляется нивелирующее действие закона больших чисел в области молекулярных процессов.

Движения и соударения отдельных молекул газа происходят хаотически. Каждая из них описывает весьма сложную и запутанную траекторию, так что не представляется возможным предсказать, где она будет находиться через определенный отрезок времени. Тем не менее, выделив на стенке сосуда площадку, мы обнаружим, что среднее число молекул газа, столкнувшихся со стенкой в данной площадке в данный отрезок времени, и средний импульс, переданный стенке при соударениях, будут вполне устойчивой величиной, определяющей упругость и давление газа.

…..Итак, согласно ране сказанному среднее арифметическое выборки как среднее из независимых величин с одним и тем же законом , будем иметь при любом равно:

Согласно закону больших чисел стремится по вероятности к центру распределения (математическому ожиданию) при и может быть использована во многих случаях как надлежащая оценка этого параметра.

Выборочные оценки, сходящиеся по вероятностям к тому или иному параметру закона распределения, называются его состоятельными оценками.

Выборочные характеристики, обладающие тем свойством, что их математические ожидания при любом объеме выборки равны оцениваемому параметру, называются несмещенными оценками.

К сожалению, выражение выборочной дисперсии

не является несмещенной оценкой.

Для представления выборочной дисперсии в виде несмещенной оценки ее можно представить в следующем виде:

Рассматривая как независимые величины с одним и тем же законом распределения (величины или «генеральной» совокупности для нашей выборки), мы будем иметь:

и окончательно получим:

В отличие от выборочная дисперсия имеет

м атематическое ожидание, не равное при любом дисперсии , но меньше этой величины на

При больших расхождение несущественно, при конечных же мы можем «исправить» , умножив ее на множитель

Полученная таким образом исправленная или уточненная величина выборочной дисперсии будет являться несмещенной оценкой и определится формулой:

откуда

Возвращаясь к статистической функции распределения, отметим, что величина 1/_n представляет собой приращение статистической функции распределения случайной величины в каждой из точек и поэтому формулы и можно переписать в виде

Пример Найти статистическую функцию распределения, среднее значение, статистическую дисперсию и статистическое среднеквадратическое отклонение случайной величины X по результатам 20 опытов, представленным в таблице.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	4,4	6,1	5,1	4,9	5,9	4,1	5,6	6,7	4,3	5,0
i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	7,7	4,0	4,2	5,8	2,0	6,5	3,2	4,8	5,2	2,6

Подставляя значения x_i в формулы, находим среднее значение и статистическую дисперсию случайной величины:

Статистическое среднеквадратическое отклонение случайной величины в данном случае равно

Как уже было отмечено, вследствие ошибок измерений результат измерения любой величины всегда является случайной величиной.

Повторяя измерение несколько раз, мы будем получать различные результаты.

При отсутствии систематической ошибки среднее арифметическое всех результатов измерений на основании изложенного может служить мерой истинного значения измеряемой величины, а статистическое среднеквадратическое отклонение так же, как и статистическая дисперсия, может служить характеристикой точности измерений.

Чем меньше статистическое среднеквадратическое отклонение, тем теснее группируются результаты измерений около их среднего арифметического значения, тем точнее измерение.

Таким образом, рассмотренные числовые характеристики случайной величины имеют вполне определенный практический смысл.

При изучении случайных явлений часто приходится характеризовать результат опыта не одной случайной величиной, а несколькими случайными величинами или даже бесконечным множеством случайных величин. Например, движение воздуха в данной точке в данный момент времени характеризуется тремя составляющими вектора скорости ветра. Записывая выходной сигнал автоматической системы или сигнал на входе радиоприемника, мы характеризуем результат этого опыта совокупностью ординат полученной кривой, представляющих собой случайные величины.

В таких случаях, кроме рассмотренных характеристик, которые можно вычислить для каждой из интересующих нас случайных величин по отдельности, необходимо еще ввести какую-то величину, характеризующую степень зависимости между случайными величинами.

В качестве такой характеристики степени зависимости случайных величин X и Y в данной серии п опытов можно принять их статистический корреляционный момент

В этой формуле через обозначены значения, которые приняли случайные величины в результате i-го опыта а через - среднеарифметические значения величин

Отличный от нуля статистический корреляционный момент указывает на то, что между случайными величинами существует какая-то связь.

Пример Найти статистические дисперсии и статистический корреляционный момент случайных величин X, У по результатам их наблюдений при 20 опытах.

Координаты экспериментальных точек заданы таблицей.

i	1	2 •	3	4	5	6	7	8	9	10
Xi	0,8	-0,9	-0,2	0,2	-3,0	0,9	1,5	-1,0	0,1	-0,2
Yi	1,1	-1,6	-0,2	0,0	-2,0	-0,1	1,1	0,1	1,9	-0,9
i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	1,1	-2,4	-0,8	2,7	0,6	-0,8	-0,6	0,0	1,7	-1,8
Уi	-1,2	-1,1	-0,1	1,9	0,6	-0,8	1,1	-0,5	0,5	-1,9

Сначала находим средние значения

Подставляя эти значения и значения, принятые случайными величинами в результате рассматриваемых опытов, в ранее полученные формулы, находим статистические дисперсии случайных величин

и их статистический корреляционный момент:

Таким образом, в данном случае есть основание считать случайные величины X, Y связанными некоторой зависимостью.

Если неограниченно увеличивать число опытов и после каждого опыта определять частоты событий и характеристики случайных величин с учетом всех уже произведенных опытов, то можно заметить, что по мере увеличения числа опытов, частоты событий и характеристики случайных величин имеют тенденцию стабилизироваться около некоторых значений.

Устойчивость частот событий и характеристик случайных величин при большом числе опытов является основной закономерностью массовых случайных явлений, т.е. таких случайных явлений, наблюдение которых можно производить неограниченное число раз.

Это дает основание ввести соответствующие абстрактные теоретические характеристики событий и случайных величин, независимые от эксперимента, зная которые можно было бы судить о поведении событий и случайных величин при большом числе опытов, не производя самих опытов.