6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин

Пусть ( , ) — двумерный случайный вектор.

Определение 6.6. Ковариацией (корреляционным моментом) cov( , ) случайных величин и называют математическое ожидание произведения случайных величин

и :

.

Запишем формулы, определяющие ковариацию.

Для дискретных случайных величин и

,

для непрерывных случайных величин и

.

Заметим, что введение понятия ковариации позволяет записать выражение для дисперсии суммы случайных величин и к уже имеющимся свойствам дисперсии добавить еще одно:

(свойство 5 дисперсии), справедливое для произвольных, а не только независимых случайных величин X и Y. Действительно,

Свойство 5 дисперсии допускает обобщение на произвольное число слагаемых:

/

Следующая теорема устанавливает основные свойства ковариации.

Теорема 6.3. Ковариация имеет следующие свойства

1. cov(X,X) = D(X).

2. cov( , ) = 0 для независимых случайных величин и .

3. Если , то .

4. .

5.| (6.8)

тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью, т.е. существуют такие числа а и b, при которых

. (6.9)

6.

Утверждение 1 вытекает из очевидного соотношения

.

Если случайные величины и являются независимыми (и имеют математические ожидания), то

,

откуда приходим к утверждению 2.

Пусть , . Тогда

Поэтому справедливо утверждение 3.

Рассмотрим дисперсию случайной величины

,

где х — произвольное число. В силу свойств дисперсий можно получить свойства 3 ковариации

.

Дисперсия , как функции от x, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант

(6.10)

квадратного трехчлена является неположительным, т.е. имеет место утверждение 4.

Далее, пусть выполнено равенство (6.8). Значит, дискрими­нант (6.10) равен нулю, и уравнение

= 0

имеет решение, которое обозначим а. Тогда случайная величина принимает всего одно значение (допустим, 6), и, следовательно, ,

т.е. из (6.8) вытекает (6.9). Наоборот, пусть выполнено (6.9). Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии D(Y_a) = 0, а значит, дискриминант (6.10) является неотрицательным. Поскольку при доказательстве утверждения 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует, что

.

Таким образом, из (6.9) вытекает (6.8). Утверждение 5 полностью доказано.

Наконец, раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используя свойства математического ожидания, получаем утверждение 6, которое часто бывает полезным при

численном подсчете ковариации.

Замечание . Если случайные величины связаны линейной зависимостью ,то в соответствии со свойствами 3 и 1

Поэтому знак ковариации совпадает со знаком коэффициента а и свойство 5 допускает следующее уточнение:

при а > 0;

при a < 0.

Определение 6.7. Случайные величины X и У называют некоррелированными, если их ковариация равна нулю, т.е.

cov(X,Y) = 0.

Приведенный выше пример показывает, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость, можно сказать, что ковариация случайных величин отражает, насколько их зависимость близка к линейной. Существенным недостатком ковариации является то, что ее размерность совпадает с произведением размерностей случайных величин. Естественно, хотелось бы иметь безразмерную

характеристику степени линейной зависимости. Но это очень просто сделать — достаточно поделить ковариацию случайных величин на произведение их средних квадратичных отклонений.

Определение 6.8. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число , определяемое равенством (предполагается, что D(X) > 0 и D(Y) > 0)

.

Теорема 6.5. Коэффициент корреляции имеет следующие свойства.

1. = 1.

2. Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют D(X) >0 и D(Y) >0), то = 0.

3. . При этом знак плюс нужно брать в том случае, когда и имеют одинаковое знаки, и минус — в противном случае.

4. .

5. | | = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью.

Доказательство теоремы следует из свойств ковариации, и мы предлагаем провести его самостоятельно.

Пример 6.6. Найдем коэффициент корреляции случайных величин X — числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, и Y — на нижней (см. пример 5.5). Для этого сначала вычислим M(X), M(Y), D(X), D(Y) и . Воспользовавшись табл. 5.3, получим

Аналогично можно вычислить:

Таким образом,

Впрочем, это мы могли бы установить и без всяких вычислений в силу свойства 5 коэффициента корреляции, если бы вспомнили, что сумма чисел очков на противоположных гранях равна семи и, значит,

(X и Y связаны линейной зависимостью с отрицательным коэффициентом пропорциональности).