- •Справочник магнитного диска (Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)
- •Введение
- •1. Случайные события
- •1.1. Пространство элементарных исходов
- •1.2. События, действия над ними
- •1.3. Сигма-алгебра событий
- •1.4. Решение типовых примеров
- •2. Вероятность
- •2.1. Классическое определение вероятности
- •2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
- •2.3. Геометрическое определение вероятности
- •2.4. Статистическое определение вероятности
- •2.5. Аксиоматическое определение вероятности
- •2.6. Решение типовых примеров
- •Вопросы и задачи
- •3. Условная вероятность. Схема Бернулли
- •3.1. Определение условной вероятности
- •3.2. Формула умножения вероятностей
- •3.3. Независимые и зависимые события
- •3.4. Формула полной вероятности
- •3.5. Формула Байеса
- •3.6. Схема Бернулли
- •3.7. Решение типовых примеров
- •4. Одномерные случайные величины
- •4.1. Определение случайной величины
- •4.2. Функция распределения случайной величины
- •4.3. Дискретные случайные величины
- •4.4. Некоторые дискретные случайные величины
- •4.5. Непрерывные случайные величины
- •4.6. Некоторые непрерывные случайные величины
- •4.7. Решение типовых примеров
- •5. Многомерные случайные величины
- •5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения
- •5.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •5.3. Непрерывные случайные величины
- •5.4. Независимые случайные величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины
- •6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания
- •6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков
- •6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин
- •6.5. Решение типовых примеров
- •7. Условные характеристики случайных величин
- •Условные распределения
- •7.2. Условные числовые характеристики
- •8. Предельные теоремы теории вероятностей
- •Сходимость последовательности случайных величин
- •8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел
- •9. Элементы математической статистики
- •9.1. Выборочный метод. Основные понятия
- •9.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма
- •9.3. Эмпирическая функция распределения
- •9.4 Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности , состоятельности и эффективности оценки
- •9.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
- •9.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Эмпирическая дисперсия
- •9.7. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •10. Математическая обработка результатов наблюдений
- •10. 1. Измерения и их погрешности. Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений
- •10. 2. Оценка точного значения измеряемой величины
- •Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.
- •10.3. Оценки точности измерений
- •Доверительные оценки средней квадратической погрешности.
- •10.4. Метод наименьших квадратов
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия
- •Доверительный интервал для коэффициентов
- •Библиографический список
- •ОгЛавление
- •6.1. Математическое ожидание случайной величины 159
- •10.3. Оценки точности измерений 215
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
Процесс Пуассона
Важным частным случаем Марковского процесс является процесс Пуассона. Типичным примером процесса Пуассона служит процесс, описывающий работу телефонной станции; реализация (траектория) такого процесса есть функция, равная количеству вызовов, поступивших на станцию за время t. Общий же случай, так же как и приведенный пример, характеризуется тем, что сечения процесса представляют собой дискретные величины, а реализация процесса – неубывающая функция. Кроме условий, которые определяют Марковский процесс, для пуассоновского процесса предполагается выполнение дополнительных условий. А именно, вторая конечномерная функция распределения должна обладать свойствами:
(11.13)
Здесь - некоторая положительная постоянная (параметр распределения Пуассона), - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем , т.е. . Вероятность можно вычислить в явном виде. А именно, оказывается, что функция зависит только от ( ) и ( ), т.е. имеет вид
.
При этом
, , (11.14)
Случайные процессы с независимыми приращениями
Пусть дано однопараметрическое семейство случайных величин такое, что для любого конечного множества вещественных чисел приращения попарно независимы. Это свойство определяет случайный процесс, который называется случайным процессом с независимыми приращениями. Примером такого процесса является описанный выше пуассоновский процесс.
Определение 6. Случайный процесс с независимыми приращениями называется процессом со стационарными приращениями, если распределение зависит только от s и не зависит от t.
Случайные процессы со стационарными независимыми приращениями обладают рядом интересных свойств и описывают важные в практическом отношении реальные случайные процессы. Главным свойством процесса с независимыми приращениями являются следующее: пусть числовой интервал (s, s+t) разбит на n равных частей точками . Рассмотрим случайные величины . Приращение случайного процесса является суммой n независимых случайных величин : . (11.15)
Если процесс стационарен, то все случайные величины распределены одинаково.
Случайная величина X (а так же ее интегральная и дифференциальная функции распределения) называются безгранично делимой, если для всякого существуют такие n независимых одинаково распределенных случайных величин , что . Из последней формулы следует, что приращение случайного процесса со стационарными приращениями является безгранично делимым распределением.
12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия
В том случае, когда гипотеза линейной зависимости функции отклика у от фактора х не выполняется или когда при графическом изображении точек нелинейность явно просматривается «на глаз», нужно использовать нелинейную формулу парной зависимости. Следует только помнить, что речь идет о зависимости, нелинейной по фактору х. По параметрам зависимость должна оставаться линейной. Модель нелинейной парной регрессии имеет вид
, (12.1)
где - заданные функции, - неизвестные коэффициенты уравнения регрессии (параметры модели). Матрицу F с элементами , равными значению j-й функции в i-м опыте, называют регрессивной матрицей:
.
Оценки параметров модели вычисляются по формуле
, (12.2)
где - матрица-столбец опытных значений функции отклика, п – число опытов, - матрица-столбец оценок коэффициентов модели . В результате расчетов получим эмпирическое уравнение регрессии
(12.3)
Значимость коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента:
, (12.4)
где - доверительная вероятность, - уровень значимости, погрешность коэффициента регрессии
, (12.5)
Остаточная дисперсия
, (12.6)
- элемент матрицы .