Тройной интеграл
Основные определения и теоремы для тройных интегралов аналогичны соответствующим определениям и теоремам для двойных интегралов.
Пусть
-
область в трехмерном евклидовом
пространстве , ограниченная замкнутой
поверхностью, и пусть в области
и на ее границе определена непрерывная
функция
.
Разобьем область
на
частей так, чтобы любые две части не
имели общих внутренних точек, в каждой
части
возьмем произвольную точку
и составим интегральную сумму вида
где
- объем части
Пусть
-
диаметр
,
,
.
Определение.
Если существует предел последовательности
интегральных сумм
при
,
и если предел не зависит ни от способа
разбиения области
на
части
,
ни от выбора точек
,
то он называется тройным
интегралом
от функции
по области
и обозначается
или
,
то есть
.
Теорема (достаточные условия существования тройного интеграла). Если функция непрерывна в области , ограниченной замкнутой поверхностью, то она интегрируема в этой области.
В дальнейшем будем предполагать, что условия этой
теоремы выполнены.
Из определения тройного интеграла следует, что объем
области
:
Физический
смысл тройного интеграла - масса тела,
занимающего область
с объемной плотностью, то есть если
-
объемная плотность распределения массы
в точке
тела, то масса тела
.
Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)
Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
Назовем трехмерную область , ограниченную замкнутой поверхностью правильной, если:
1) всякая прямая, параллельная оси , проведенная через внутреннюю точку области пересекает поверхность в двух точках;
2) вся область проектируется на плоскость в правильную (двумерную) область ;
3) всякая часть области , отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1),2).
Пусть
функция
определена и непрерывна в области
,
где
и
-
непрерывные функции в ограниченной
замкнутой области
.
Обозначим
.
Назовем повторным интеграл вида
.
Теорема. Тройной интеграл от непрерывной функции
по правильной области равен повторному
интегралу
=
.
Если
область
правильная в направлении оси
,
то есть
,
то двойной интеграл
в свою очередь можно свести к повторному,
тогда
=
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этом случае к последовательному вычислению трех определенных (однократных) интегралов:
=
Пример.
Вычислить интеграл
,
где
область ограниченная поверхностями
Решение. Область можно представить в виде
,
где
.
Сводя тройной интеграл к повторному,
получим
=
