Замена переменных в тройном интеграле
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Пусть
-
произвольная точка в пространстве,
-
проекция точки
на плоскость
.
В цилиндрических координатах положение
точки
в пространстве определяется тремя
числами
где
-
полярные координаты точки
на плоскости
,
-
аппликата точки
(рис.18). Переход от прямоугольных координат
к цилиндрическим
задается формулами
Заметим, что при переходе к цилиндрическим
координатам
Элемент площади в полярных координатах
находился по формуле
,
поэтому элемент объема в цилиндрической
системе координат имеет вид
или
Следовательно, справедливы равенства
=
=
=
Пример. Вычислить
объем, ограниченный поверхностями
(рис.19).
Решение.
Переведем уравнения поверхностей в
цилиндрические координаты. Уравнение
цилиндрической поверхности примет вид
или
.
Уравнение параболоида
На
плоскость
область проектируется в круг радиуса
.
Тогда
2. Тройной интеграл в сферической системе координат
Пусть - произвольная точка в пространстве
-
проекция точки
на плоскость
.
В сферических координатах положение
точки
в пространстве определяется тремя
числами
где
-
расстояние точки
от точки
(начала координат),
-
угол между лучами
и
,
-
п
олярный
угол точки
на плоскости
(рис.20). Переход от прямоугольных координат
к
сферическим
задается формулами
Элемент объема в
сферической системе координат имеет
вид
или
При
переходе к сферическим координатам
Следовательно, справедливы равенства =
=
=
Пример.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена сферой
и конусом
(внутри конуса) (рис.21).
Решение. Приведем
уравнение сферы к виду
получим
уравнение сферы радиуса ½ с центром в
точке (0,0,1/2) . В сферической системе
координат уравнение сферы принимает
вид
,
тогда
=
=
=
Приложения тройных интегралов
1.Объем пространственной области
2. Масса тела, занимающего область ,
, где - объемная плотность распределения массы в точке тела.
3.Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:
.
4.
Координаты центра тяжести
тела
,
где
-
статические моменты тела относительно
координатных плоскостей.
5.
Моменты инерции тела относительно осей
и начала координат
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить тройные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
2.Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в следующих тройных интегралах в декартовой системе координат:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
3.
Расставить пределы интегрирования в
цилиндрической системе координат в
интеграле
,
если:
а)
б)
в)
г)
д)
4. Расставить пределы интегрирования в сферической системе координат в интеграле , если:
а)
б)
5. Вычислить:
а)
б)
в)
;
г)
6. Найти объем следующих тел:
а)
б)
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями
,
если плотность тела изменяется по
закону: а)
;
б)
в)
.
Ответ:
а)
б)
в)
8. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями:
а)
б)
в)
г)
Ответ:
а)
б)
в)
г)
9.
Найти координаты центра тяжести тела,
ограниченного поверхностями
если плотность тела изменяется по
закону: а)
б)
в)
Ответ:
а)
б)
в)
10.
Найти моменты инерции относительно
координатных плоскостей однородного
тела плотности
,
ограниченного поверхностями:
а)
б)
в)
.
Ответ:
а)
б)
в)
11.
Найти моменты инерции относительно
координатных плоскостей тела: а)
плотности
,
ограниченного поверхностью:
б)
плотности
ограниченного поверхностями
,
Ответ:
а)
б)
12. Найти моменты инерции относительно осей координат и начала координат однородного тела плотности , ограниченного поверхностями:
а)
б)
Ответ:
а)
б)
13.
Определить момент инерции относительно
начала координат тела плотности
где
,
ограниченного поверхностью
Ответ:
14.
Пусть
-
однородный цилиндр плотности
с высотой
и радиусом основания
.
Найти силу притяжения этим цилиндром
материальной точки массы
,
находящейся в
центре основания цилиндра.
Ответ:
