2.4. Оптимизация решений при инструментальном проектирован методом машинно-математического моделирования
Проектирование инструмента графическим способом представляет графическое моделирование процесса. Например, графическая обкатка при определении профиля зуборезного инструмента. Если таким же образом рассматривать аналитический способ, можно говорить о математическом (или аналитическом) моделировании. Применение ЭВМ позволяет говорить о машинно-математическом моделировании.
При моделировании процесса на ЭВМ можно рассчитать все возможные варианты решения и учесть гораздо большее количество факторов, влияющих на ход процесса. Первое обстоятельство дает возможность выбрать наилучший (оптимальный) вариант решения. Второе способствует тому, что выбор оптимального варианта становится более обоснованным. Поэтому проектирование на основе оптимизационных моделей получило широкое применение при автоматизации инженерного труда. Этот метод может быть применен и при решении задач инструментального проектирования.
При оснащении технологических процессов инструментом трудно найти такой случай, который предусматривал бы использование инструмента со строго определенными геометрическими и конструктивными параметрами. Говоря иначе, однозначного соответствия «обрабатываемая поверхность — инструмент» чаще всего не существует. Следовательно, возникает задача по оптимизации, которая может быть успешно решена только на основе разработки и реализации оптимизационной модели.
Совокупность К геометрических и конструктивных элементов можно представить выражение
K=F(x1…xi…xn),C1…Cj…Cl, (2.2)
где хп и Ci — переменные и константы, характеризующие конструкцию инструмента.
Чтобы найти область определения функции (2.2), необходимо составить следующую систему неравенств:
φ1(b11...b1m)≤x1≤f1(b11…b1m);
φi(bi1...bim)≤xi≤fi(bi1…bim); (2.3)
φn(bn1...bnm)≤xn≤fn(bn1…bnm).
В системе (2.3) вместо переменных х могут использоваться их функциональные зависимости, но приведенная форма записи наиболее характерна для процесса проектирования инструмента. Эта система определяет область возможных решений рассматриваемой задачи, т. е. искомое множество конструкций инструмента при наложенных на него ограничениях. Выбор из области решений одного осуществляется с помощью критерия оптимальности. Этот входит в функцию одной или нескольких переменных, которую надо минимизировать или максимизировать. Такая функция называется оценочной, или целевой. Математически задача сводится к тому, чтобы среди значений x1 ... xi... хп найти такое их сочетание, при котором целевая функция принимает экстремальное значение, т. е. fo(x1 ... xi ... хп) -> мин (макс). (2.4)
Система (2.3) вместе с целевой функцией (2.4) и составляет модель решаемой задачи. Ее решение зачастую определяется характером ограничений и целевой функции. Для анализа обычно используют графическую интерпретацию системы (2.3), которая строится следующим образом. На основании выражения (2.2) выводится так называемое основное уравнение модели, связывающее переменные x1 ... xi... хп и константы С1...Сj...Cl.Выбираются две, желательно независимые, переменные (х1, х2), значения которых откладываются на осях Х\ и х2 (рис. 2.3). Затем каждое из неравенств системы (2.3) рассматривается как равенство и подставляется в основное уравнение при условии, что все остальные переменные принимаются постоянными, равными усредненным, наиболее часто используемым величинам.
Иными словами, основное уравнение сводится к уравнению с двумя неизвестными — х1 и х2. В системе координат х1 —х2 строятся две кривые х1=f(x2), одна из которых соответствует верхней границе анализируемого участка (например, I—I), вторая — нижней (II-II). Аналогично поступают со всеми остальными ограничениями. В результате определяется область возможных решений К1, К2, К3,К4, К5, К6, в которой находится оптимальное решение.
Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация системы неравенств
Графический анализ математической модели позволяет определить степень влияния различных ограничений на конструкцию инструмента и наметить схему поиска оптимального решения. Чем больше ограничений используется при построении модели, тем меньше область решений, тем четче и обоснованнее выбор окончательного варианта. Может оказаться, что области решений не существует. После соответствующего анализа необходимо пересмотреть систему ограничений и, если возможно, расширить или снять соответствующее ограничение. Иногда при построении кривых ограничений графическая интерпретация наталкивается на ряд трудностей. В частности, это связано с выводом и решением сложных функциональных зависимостей, нестабильным положением самих кривых. Однако при внимательном анализе графическая интерпретация модели может служить достаточно надежным аппаратом для реализации модели при разработке соответствующего алгоритма. Использование машинно-математического моделирования при проектировании инструментов дает основание говорить об оптимизации конструкции инструмента, причем не об оптимизации вообще, а об оптимизации по принятому критерию. При этом надо иметь в виду, что одна и та же задача в разных производственных условиях может быть реализована по различным критериям оптимальности. Таковыми для инструмента в большинстве случаев являются элементы профиля режущей части и конструкции. Оценочная функция должна иметь технико-экономическое обоснование.