2. Используемые в теории надежности модели распределений

Для решения разнообразных технических задач необходимо подбирать наиболее подходящие законы распределения. Например, логарифмически нормальное распределение нашло широкое применение в вопросах техники, биологии, экономики и теории надежности. Его успешно применяют для описания наработки до отказа подшипников, электронных ламп и других изделий.

Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов радиоэлектронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки.

Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

2.1. Закон распределения Пуассона

Распределение Пуассона [4] играет особую роль в теории надежности, поскольку оно описывает закономерность появления случайных отказов в сложных системах. Этот закон нашел широкое применение при определении вероятности появления и восстановления отказов.

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что эта величина примет определенное значение т, выражается формулой

, (2.1)

где λ - параметр распределения (некоторая положительная величина); m = 0, 1, 2, ... ∞.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х для закона Пуассона равны параметру распределения:

. (2.2)

Распределение Пуассона является однопараметрическим с параметром λ.

Пример 2.1. В ремонтную мастерскую по обслуживанию техники поступают заявки со средней плотностью 5 шт. в течение рабочей смены за 10 ч. Считая, что число заявок на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за 2 ч рабочей смены поступят две заявки [2].

Решение

Среднее число заявок за 2 ч равно λ = 2 ∙ 5 / 10 = 1.

Применяя формулу (2.1), найдем вероятность поступления двух заявок

.

Пример 2.2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит: а) 2 вызова;

б) менее 2-х вызовов; в) не менее 2-х вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени [2].

Решение

Воспользуемся формулой Пуассона: :

а) - событие практически невозможно;

б) - невозможно;

в) - практически

достоверно.

2.2. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон распределения [4], называемый также основным законом надежности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение находит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры - превышение допустимого тока или температурного режима.

f(x)

x

0

Риc. 2.1. График плотности экспоненциального распределения

Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 2.1) описывается соотношением

; (2.3)

функция распределения этого закона – соотношением

; (2.4)

функция надежности

; (2.5)

математическое ожидание случайной величины Х

(2.6)

дисперсия случайной величины Х

(2.7)

Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.

Пример 2.3. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ=2*10^-5 ч^-1

Найти вероятность безотказной работы за время t =100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ [2].

Решение

Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (2.5), в соответствии с которой

Математическое ожидание наработки на отказ равно