3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Обычно изложению темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предшествует рассмотрение практической задачи из какой-либо предметной области, приводящей к дифференциальному уравнению.

Однако общая постановка задач, приведших к появлению дифференциальных уравнений, возникла не из запросов практики, а в недрах самой математики. Как только задачи на проведение касательных к кривым свелись к вычислению производных, они потеряли свою привлекательность для ученых. Их решение теперь состояло в применении известных правил и не требовало творчества. Внимание математиков переключается на более сложные обратные задачи на касательные. Так назывались задачи, в которых требуется найти кривые по заданным свойствам касательных к ним.

Первые обратные задачи на касательные сформулировал в 1638 г. французский математик Флоримон де Бон.

В этой связи студентам можно сначала предложить, например, такую задачу: Найти все кривые, обладающие следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то отрезок касательной, заключенный между осями координат, будет делиться в точке касания пополам (рис. 1.4).

Р ешение. Пусть – искомая кривая. Обозначим через X и Y координаты точек касательной к этой кривой и запишем уравнение этой касательной в точке : .

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

A: X = 0   ; B: Y = 0   .

Так как точка касания M – середина отрезка AB, то

и ,

откуда следует, что искомая кривая должна удовлетворять соотношению

.

Для решения задачи по ее условию составлено уравнение, выражающее зависимость между искомой функцией, ее аргументом и производной; оно называется дифференциальным.

Легко убедиться, что функции вида , где C – произвольная постоянная, дают все решения полученного уравнения:

, ,

(две первообразные одной функции отличаются на постоянную),

( ), .

Далее, поскольку к дифференциальным уравнениям приводит множество практических задач, полезно рассмотреть также другие, сначала достаточно простые, затем – более содержательные, задачи из физики, техники, экономики или других областей, приводящие к дифференциальным уравнениям: о радиоактивном распаде, об охлаждении тела, о движении моторной лодки, о потере заряда проводником, о концентрации раствора, об износе оборудования, о зависимости давления воздуха от высоты над уровнем моря и т. п. Сюжет задачи определяется направлением подготовки студентов [1], [3], [11], [16].

Например, студентам технических направлений можно предложить установить зависимость между переменной массой и скоростью летящей ракеты [47].

Рассмотрим движение ракеты в космосе. Для простоты пренебрежем всеми внешними силами, действующими на ракету. Основными параметрами, характеризующими ракету и ее двигатель, являются: – скорость истечения газов из сопла ракеты относительно корпуса ракеты, для простоты считаем ее постоянной, она зависит от вида применяемого топлива; – исходная масса ракеты с горючим; – конечная масса ракеты после выгорания всего горючего.

Напишем уравнение движения ракеты, считая, что она движется по прямой линии. Пусть – координата ракеты (вдоль этой прямой) в момент времени t; – скорость ракеты в момент времени t; – масса ракеты в момент времени t (эта масса уменьшается по мере сгорания горючего).

Воспользуемся законом сохранения импульса (количества движения). При этом удобно ввести мгновенную систему координат, связанную с летящей ракетой (точнее, равномерно движущуюся той скоростью, с которой ракета движется в момент времени t). В этой системе координат скорость ракеты (и имеющегося в ней топлива) в момент времени t равна нулю. Рассмотрим момент времени в этой же системе координат. Предположим, что за это время в ракете сгорело и вылетело из нее топливо массой . Скорость самой ракеты (с остатками топлива увеличилась на и в рассматриваемой системе координат стала равной , в то время как скорость вылетевшего топлива равна (с учетом направления).

Суммарный импульс в момент примерно равен с точностью, растущей с уменьшением (здесь неточность связана с тем, что со временем меняется масса и, кроме того, скорость вылета горючего в рассматриваемой системе координат будет равна лишь в момент времени t, так как дальше сама ракета начнет двигаться). Приравнивая суммарный импульс к нулю, получим .

Деля обе части на  и переходя к пределу при , получим точное равенство (дифференциальное уравнение) .

Это уравнение легко решается и без знания специальных приемов:

, или , откуда .

При  , и уравнение принимает вид , т. е. , поэтому .

В момент, когда все топливо израсходовано, получим ,

.

Эта формула называется формулой Циолковского.

Ракета может достичь скорости, большей, чем скорость истечения газов из сопла, хотя для этого отношение массы ракеты с топливом к массе ракеты без топлива должно быть очень велико. Для увеличения отношения на разных этапах полета ракеты делают многоступенчатыми.

Можно отметить, что полученная формула годится лишь для движения в вакууме и при отсутствии силы тяжести. Учет сопротивления воздуха и земного тяготения намного усложняет дифференциальное уравнение.

Изложение темы «Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами» в учебных пособиях начинается обычно так: «Пусть дано однородное дифференциальное уравнение второго порядка , где p и q – постоянные действительные числа. Будем искать частные решения в виде: , где ; тогда , , ...» и т. д.

Искусственность этого приема вызывает у студентов вопрос: «А каким образом можно все же догадаться искать решения данного уравнения именно в форме ?»

Более правильным можно считать следующий прием решения этого вопроса. Левая часть этого уравнения представляет собой сумму самой функции y и ее производных , взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма тождественно равнялась нулю, надо чтобы были похожи, отличались друг от друга постоянными множителями. Поэтому, например, ни одна из функций , , , никак не может оказаться решением данного уравнения.

Аудитории ставится вопрос: «Не помните ли такую функцию, у которой производные похожи на саму функцию?» Ответ: « , , , ...» –обычно поступает немедленно. Только после этого можно заявить: «Итак, частные решения будем искать в виде ».