1. Математические основы множеств

1.1. Понятие «множества»

Теория множеств – учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами, или точками множества. Любой объект может быть назван элементом как единичный член некоторого множества. Используя понятие элемента, возможно достижение предельного абстрагирования объекта, показывая лишь факт его принадлежности к некоторой совокупности других объектов, тождественных в определенном отношении с другим.

Любая система может быть рассмотрена как множество, но не любое множество может быть рассмотрено как система. Важно понимать, что понятие множества отличается от понятия системы.

Применение понятия «множество» говорит о том, что рассматривается абстрактный аспект системы, отражающий простое наличие в ней совокупности соответствующих элементов, или совокупность элементов взятых из разных систем, или совокупность элементов составляющих какую-либо часть системы.

Элементы множества можно в общем рассматривать, как разрозненные элементы.

Пусть  и  – два множества. Тогда между ними можно определить следующие соотношения.

Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи  .

1. Если все элементы множества  содержатся в множестве  , то говорят, что  является подмножеством  (или  ).

2. Если ни один элемент множества  не содержатся в множестве  , то, значит, и само множество  не содержится в  (или  ).

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называется подмножеством, или частью, множества В. Это записывают так: A ⊂ В или В ⊂ А. Т. о., подмножеством данного множества В является и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В, отличное от всего множества В, называют правильной частью последнего.

Пусть даны два множества Х и Y, пусть каждому элементу х Х поставлен в соответствие некоторый определённый элемент у = f(x) множества Y; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y, или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X, а значения у принадлежат множеству Y; при этом для каждого данного х Х элемент у = f(x) множества Y называется образом элемента х Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х.

Установить в данном множестве Х порядок — значит установить для некоторых пар x', х" элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования), выражаемое словами «элемент x' предшествует элементу х", x' < х"», или, что то же, «элемент x' следует за элементом х", x' < х"», причём предполагается выполненным условие транзитивности: если х < x' и x' < х", то х < х". Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, называется «частично упорядоченным множеством»; иногда вместо «частично упорядоченное множество» говорят «упорядоченное множество». Однако чаще упорядоченным множеством называется такое частично упорядоченное множество, в котором порядок удовлетворяет следующим дополнительным требованиям («линейного порядка»): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х, x' один предшествует другому, т. е. или х < x', или x’ < х.

Если множество описывается посредством перечисления всех его элементов, то такое задание множества по списку. Единственной альтернативой этому является задание множества по правилу, т.е. описание всех его элементов с помощью некоторых свойств или формулы.

Рис. 1.1. Спецификация задания множеств

При описании множеств, возможно, свести воедино элементы двух множеств А и В, используя их соединение (объединение) или рассмотреть элементы, которые совпадают в двух множествах через их срезы (пересечение). Можно также рассмотреть все элементы не вошедшие в множество А - их дополнение. Для наглядности при работе со множествами полезно применять диаграммы Венна.

{1, 3, 6, 9, 11} {2, 3, 5, 6, 7, 8, 11}

A B

дополнение пересечение объединение

{2, 4, 5, 7, 8, 10, ...} {3, 6, 11} {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

A A  B A  B

Рис. 1.2. Производные из множеств объединение и пересечение

Сформулируем более точные определения основных операций, производимых над множествами.

Суммой, или объединением, множеств  и  называется совокупность элементов, входящих как в множество  , так и в множество  . Обозначается объединение -  .

Пересечением множеств  и  (или их общей частью) называется совокупность одинаковых элементов, входящих как в множество  , так и в множество  . Обозначается пересечение -  .

Отсутствие элементов со свойствами множеств  и  одновременно означает, что пересечение этих множеств - представляет собой пустое множество Æ.

Разностью множеств  и  называется множество  , содержащее все элементы множества  , не содержащиеся в  ; эта разность обозначается -  .

Изменением считается процесс, при котором элемент множества перестает быть тождественным (равным) самому себе во времени или/и в пространстве. Понятие изменения не говорит о каких-либо качественных преобразованиях. Оно лишь фиксирует процесс перехода одного множества в иное множество.

Элементы связаны друг с другом, если они принадлежат к некоторому множеству, то есть являются элементами некоторого общего для них образования, задающего их тождественность (равенство).

Факт тождественности элементов имеет под собой то кардинальное значение, что они становятся в состоянии производить реальные или потенциальные изменения друг друга в соответствии со своей тождественностью.

Свойство - это множество, которое может подвергнуться изменению или подвергается ему при взаимодействии с другим соответствующим множеством.

Свойство отражает потенциальную возможность возникновения процесса обмена определенного рода элементами между соответствующими множествами.

Свойство выступает как множество, в процессе своего формирования и как элемент, в процессе своего проявления и образования нового множества.