1.2. Теория нечетких множеств
Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л. Заде во второй половине прошлого века, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Возможно использование нечетких множеств при определении рисков для системы.
Нечеткое множество характеризует моделируемое нечеткое понятие и представляется в виде функции (функции принадлежности), задающей для каждого значения X степень уверенности (возможность) в принадлежности его к некоторому классу значений, которая измеряется в некоторой шкале (решетке) L оценок:
(1.1)
Для дискретного
случая множества X
нечеткое множество задается множеством
пар вида <x,
>.
Функция принадлежности (ФП) (1.1) отражает распределение уверенности (возможности) в отношении некоторого моделируемого понятия для свойства А на множестве значений переменной X, выбранной для представления.
Рис. 1.3. Функция принадлежности нечеткого множества
На вопрос, относится какой-либо предмет (субъект) к конкретному множеству можно ответить, используя метод описания множества, который объединяет методы описания по списку и по правилу. Можно для любого множества А описать функцию, которая определяет, является ли любой элемент х заданной области U членом множества А. Такая функция называется функцией принадлежности А и представляется формулой:
0, если х входит в множество А
А (х) = , (1.4)
1, если х входит в множество А
определяемой для всех элементов области. Данная функция отображает всю область U, набором из двух элементов {0, 1}. Практически эта формула заменяется математическим выражением: А (х): U {0, 1}.
При идентификации элементов {0, 1} и понятий {ложный, истинный} функция принадлежности может также иметь смысл по указанию истинных значений в утверждениях о элементах множества А. Наиболее простым утверждением относительно А, является следующее: "х является элементом А”. В этом случае, функция принадлежности действует также как и функция истинности: если х является элементом А, то А (х) = 1 = истина, то есть соответствует истинному значению. («х является элементом А»).
Области определения и области значения функции принадлежности нечеткого множества
Нечеткие числа и нечеткие числовые переменные имеют сходство и различие между собой.
Таблица 1.1
Сравнение нечетких чисел и нечетких числовых переменных
№ |
Характеристика |
Нечеткие числа |
Нечеткие числовые переменные |
1 |
Удовлетворяют всем основным аксиомам арифметики |
+ |
- |
2 |
Требуют задания нечеткого нуля и нечеткой единицы |
+ |
- |
3 |
Абсолютные значения уверенности для функции принадлежности с ростом числа не изменяются |
- |
+ |
Supp.
Рис. 1.4. Характеристики нечеткого множества