3.5 Математическая модель продолжительной рефлексивной игры, основанной на случайных процессах

Рассмотрим некоторую систему, состоящую из 2 конфликтующих сторон A и B. Пусть сторона А может выбирать одну из n возможных поведений A₁, A₂ .. A_n, на что B может ответить m возможными стратегиями B₁, B₂ .. B_m.

Далее в ответ А вновь выбирает свою стратегию и т.д. этапы действия сторон называются шагами системы и предполагается, что шагов возможно бесконечное много.

Рассмотрим некоторый шаг, когда сторона A предпринимает действие в соответствии со стратегией A_i, пусть экспертами получена вероятность возможных ответов стороной B на это действие, т.е. вероятность того, что за действием A_i последует действие B_j равна P_ij :

(3.21)

В результате возможных сценариев поведения можно оценить с помощью графической схемы - называемой графом состояний

Цепочка последовательных действий рефлексирующих сторон называется траекторией системы A₁B₃A₂B₁A₁B₄…, а процесс, управляющий этой траекторией, является марковским случайным процессом или марковской цепью.

Основной задачей исследования такой системы является задача нахождение вероятности состояний от и , которые имеют системы вероятности того что в случайный момент времени сторона A применит стратегию A_i, а B - B_j.

Эти вероятности можно интерпретировать как среднюю долю времени нахождения каждой стороной в каждом состоянии.

Зная вероятности состояний и средний ущерб при и средний ущерб наносимой стороне A при каждой стратегии U_i можно рассчитать средний ущерб наносимый A за единицу времени как математическое ожидание случайной величины, равной случайному ущербу:

(3.22)

Пример: Рассмотрим некоторую террористическую организацию (игрок B) для борьбы с которой был создан противоборствующий орган (игрок A). Данный орган для борьбы с террористической организацией может принимать одну из следующих 2 стратегий:

A₁ - силовые воздействия

A₂ - дипломатичные методы

Террористическая организация также может принимать 2 варианта агрессии:

B₁ - террористический акт

B₂ - информационная пропаганда.

Экспертами рассчитано на основании статистических данных что если A примет A₁, то вероятность B₁ - 0,8, а B₂ - 0,2, при A₂ реакция B с вероятностью B₂ - 0,6, а B₁ - 0,4.

В свою очередь на действие B₁ целесообразно с вероятностью A₁ - 0,7 и A₂ - 0,3, а на B₂ выбор стратегии игроком A равновероятны. В результате получим граф состояния (рисунок 3.8)

0,8

0,7

0,4

0,3

0,2

0,5

0,6

0,5

Рисунок 3.8 – Граф состояний

Для нахождения вероятности состояния необходимо решить систему уравнения вида:

(3.23)

Решая систему находим временное состояние, если ущерб от действия B₁ - U₁ (в единицу времени) и от B₂ - U₂, то средний ущерб в единицу времени составляет:

(3.24)

Если затраты в единицу времени на проведение мероприятий A₁ равна Z₁, A₂ - Z₂, то можно найти средние затраты на предотвращение террористической угрозы:

(3.25)

Таком образом можно прогнозировать затраты.