- •С.П. Попов
- •В двух частях
- •Часть 1
- •23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
- •Введение
- •Используемые обозначения
- •1. Общие рекомендации
- •Общие методические рекомендации к выполнению расчетно-проектировочных работ
- •Правила оформления и сдачи расчетно-проектировочных работ
- •2. Центральное растяжение и сжатие
- •2.1. Основные понятия и зависимости. Построение эпюр нормальных сил
- •2.2. Определение напряжений и расчеты на прочность
- •2.3. Деформации стержня и перемещения сечений. Условие жесткости
- •2.4. Расчет статически неопределимых стержневых систем
- •2.4.1. Общие сведения
- •2.4.2. Порядок решения статически неопределимых задач
- •2.4.3. Оценка прочности статически неопределимых систем
- •2.5. Условия задач расчетно-проектировочной работы №1 на тему «Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении и сжатии»
- •Задача № 1. Расчет на прочность и жесткость статически определимого стержня
- •Задача №2. Расчёт статически неопределимой стержневой системы
- •2.6. Примеры решения задач по теме «Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении и сжатии»
- •2.6.1. Пример решения задачи №1. Расчет на прочность
- •1. Определение вида расчета
- •2. Построение эпюры нормальных сил
- •3. Расчет площадей поперечных сечений стержня
- •4. Построение эпюры нормальных напряжений
- •5. Проверка выполнения условия жесткости
- •2.6.2. Пример решения задачи №2.
- •Решение
- •Контрольные вопросы по теме «Центральное растяжение и сжатие»
- •3. Расчеты на прочность и жесткость при плоском изгибе балок
- •Основные понятия и определения. Внутренние силовые факторы
- •3.2. Определение напряжений
- •3.3. Расчеты на прочность
- •3.3.1. Расчет по допускаемым напряжениям
- •3.3.2. Расчет по предельным нагрузкам
- •3.4.Деформации балок при плоском изгибе
- •3.4.1. Перемещения при изгибе. Условие жесткости
- •3.4.2. Метод непосредственного интегрирования
- •3.4.3. Метод начальных параметров
- •3.5. Условия задач расчетно-проектировочной работы №2 на тему «Расчеты на прочность и жесткость при плоском изгибе балок»
- •1 Схема 2 схема
- •Вариант 2
- •1 Схема 2 схема
- •1 Схема 2 схема
- •1 Схема 2 схема
- •Вариант 27
- •1 Схема 2 схема
- •1 Схема 2 схема
- •3.6.1. Пример решения задачи № 1. Расчет консольной балки
- •Решение
- •3.6.2. Пример решения задачи № 2. Расчет двухопорной балки
- •Решение
- •2. Построение эпюр и
- •3. Подбор размеров поперечного сечения
- •4. Проверка прочности по касательным напряжениям
- •5. Проверка выполнения условия жесткости
- •6. Определение коэффициента запаса прочности по методу
- •Контрольные вопросы по теме «Расчеты на прочность и жесткость при плоском изгибе балок»
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Образец оформления титульного листа
- •Оглавление
- •Попов Сергей Петрович Сопротивление материалов в двух частях
- •Часть 1
- •23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
3.6.1. Пример решения задачи № 1. Расчет консольной балки
Для деревянной консольной балки, расчетная схема которой дана на рис. 22, а, требуется:
подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям размеры и в прямоугольного поперечного сечения (рис. 18,б), приняв в,
а =1 м, допускаемое напряжение для дерева на растяжение = 10 МПа, а допускаемое напряжение при сдвиге [τ]= 5 МПа.
проверить жесткость спроектированной балки, считая допускаемое значение прогиба сечения А равным 1/300 её длины, а E=1∙104 МПа.
Расчетные значения нагрузок: , М=25 кН , .
Решение
1. Определение вида расчета
По условию задачи требуется подобрать размеры поперечного сечения балки, т.е. требуется выполнить проектный расчет. Из условия прочности по нормальным напряжениям проектный расчет выполняется по соотношению
.
Поскольку значение допускаемого напряжения задано, то для выполнения расчета следует знать . Для проверки прочности по касательным напряжениям необходимо знать . Для определения и строим эпюры и .
Рис. 22. Расчетная схема балки (а), сечение балки (б),
эпюры поперечных сил (в) и изгибающих моментов (г)
2. Построение эпюр и
а) Определяем реакции опор
Обычно построение эпюр и начинают с определения реакций опор. В данной задаче балка консольная, поэтому нет необходимости определять реакции опор, так как эпюры и можно построить, двигаясь от свободного конца к заделке и рассматривая отсеченную правую часть, на которую не наложены связи.
б) Разбиваем балку на участки
Используя правило, изложенное в разделе 2.1, разбиваем балку на три участка.
в) Записываем аналитические выражения и по участкам
Рассекая балку на каждом из участков произвольным сечением, координаты которых обозначены и рассматривая каждый раз отсеченную правую часть балки, записываем выражения и по участкам
Участок I:
; .
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что поперечная сила изменяется по линейной зависимости, а изгибающий момент – квадратичная функция координаты . Определим значения и в граничных сечениях I участка:
при ;
;
при ;
.
Так как поперечная сила на первом участке, меняя знак в одном из сечений (обозначим его координату ) , обращается в нуль (см. рис. 22,в), то в соответствии со следствием 3 из дифференциальных зависимостей (1.3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь локальный экстремум. Приравнивая выражение нулю, определим координату этого сечения:
, отсюда
.
Подставляя значение в выражение , находим экстремальное значение на первом участке. Это будет локальный максимум
Переходим к рассмотрению участка II.
Участок II:
Рассматривая отсеченную правую часть, получим
Таким образом, поперечная сила во всех сечениях второго участка постоянна и равна + , а изгибающий момент – линейная функция координаты . Для построения эпюры на втором участке определим значения в граничных сечениях этого участка.
При ;
при
.
Участок III:
Рассматривая по-прежнему отсеченную правую часть, получим:
;
Как и на участке II, поперечная сила на участке III постоянна во всех его поперечных сечениях (т.к. не зависит от координаты ), а изгибающий момент – линейная функция координаты . Для построения эпюры на участке III определим значения изгибающего момента в граничных сечениях этого участка.
При
;
.
г) Строим эпюры и , располагая их строго под схемой балки (рис. 22, в, г).
Для построения эпюры проводим нулевую линию эпюры параллельно оси балки. Положительные значения откладываем выше нулевой линии, а отрицательные – ниже (рис. 22, в).
Для построения эпюры проводим нулевую линию параллельно оси балки. Положительные значения откладываем выше нулевой линии, а отрицательные – ниже (рис. 22, г).
д) Проводим проверку правильности построения эпюр и
При анализе правильности построения эпюр с учетом следствий из дифференциальных зависимостей между Мz, Qy и q (3.3) отмечаем:
– на участках, где отсутствует q (участки II и III), поперечная сила Qy– постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону;
– на участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, поперечная сила Qy изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, с выпуклостью направленной навстречу действия q;
– на эпюре Qy имеются скачки в сечениях, где приложены сосредоточенная сила F=20 кН и опорная реакция заделки;
– на эпюре Мz имеются скачки там, где приложены внешний сосредоточенный момент и реактивный момент заделки.
Все это позволяет сделать вывод, что эпюры построены правильно и могут быть использованы при дальнейшем решении задачи.
3. Подбор размеров поперечного сечения
Из эпюры следует, что , следовательно,
.
Осевой момент сопротивления для прямоугольного сечения при заданном соотношении сторон ( в) определяется по формуле
.
Приравнивая найдем размер в:
; в .
Округляя в большую сторону, примем
в , .
Проверим прочность подобранного сечения по нормальным напряжениям:
.
.
Прочность по нормальным напряжениям обеспечена. Недонапряжение в 1% объясняется округлением размера сечения в в большую сторону.
4. Проверка прочности по касательным напряжениям
Поскольку балка изготовлена из дерева, то проверка прочности по касательным напряжениям является обязательной.
Для проверки прочности по касательным напряжениям используем условие (3.13):
.
Из эпюры поперечных сил (см.рис. 22, в) следует, что
.
Для прямоугольного сечения с учетом соотношения в получим в.
Наибольшие касательные напряжения для прямоугольного сечения возникают в точках, лежащих на главной и центральной оси , так как для половины сечения максимален, а в(y) = в = Const (рис. 23).
Рис. 23. Схема сечения балки |
. ; ; |
Таким образом, , а максимальные касательные напряжения
.
Приходим к выводу, что прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.
Окончательно принимаем следующие размеры поперечного сечения:
в ; h= 46 см.
5. Проверка выполнения условия жесткости
Согласно условию задачи, для данной балки условие жесткости имеет вид:
Для определения воспользуемся методом начальных параметров
1. Выбираем систему координат. Начало координат помещаем в заделку, ось x направляем слева направо, ось y - вниз (рис. 24).
Рис. 24
Отбрасывая заделку, заменим ее реакциями и реактивным моментом уравнений статики определим реакции связей:
. .
Проверим правильность определения реакций:
Следовательно, реакции найдены верно.
2. Составление универсального уравнения упругой линии балки. Запишем выражение изгибающего момента для произвольного сечения участка балки, наиболее удаленного от начала координат:
Тогда универсальное уравнение упругой линии балки будет иметь вид
3. Определение начальных параметров. Для определения начальных параметров воспользуемся граничными условиями в заделке, где прогиб и угол поворота равны нулю, т.е. Таким образом, универсальное уравнение упругой линии балки приводится к виду
.
4. Вычисление прогиба сечения А. Для этого сечения x =4,5 a =4,5 м.
Подставляя в уравнение упругой линии получим:
Для подобранного прямоугольного поперечного сечения
Тогда прогиб сечения А
Знак «+» говорит о том, что сечение А перемещается по направлению оси y, т.е. вниз.
5) Проверка выполнения условия жесткости. По условию где l – длина балки. Так как l = 4,5 a = 4,5 м, то
Сравнение показывает, что VA< следовательно, условие жесткости выполняется, что позволяет окончательно принять размеры сечения, полученные из условия прочности, т.е. принимаем