- •Электромагнитные колебания и волны методические указания
- •Предварительные замечания
- •1. Электрические колебания
- •Уравнение колебательного контура
- •Свободные электрические колебания
- •1.3. Затухающие электрические колебания
- •. Вынужденные электрические колебания
- •1.5. Переменный ток
- •2. Электромагнитные волны
- •2.1. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла
- •2.2. Особенности электромагнитных волн
- •2.3. Энергия и поток энергии электромагнитных волн
- •2.4. Давление электромагнитной волны
- •2.5. Импульс электромагнитного поля
- •2.6. Стоячие электромагнитные волны
- •2.7. Испускание электромагнитных волн
- •3. Примеры решения задач
- •3.1. Задачи по теме «Электромагнитные колебания»
- •3.2. Задачи по теме “ Электромагнитные волны”
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Электромагнитные колебания и волны методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Примеры решения задач
3.1. Задачи по теме «Электромагнитные колебания»
Задача 3.1.1. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью C=8 и катушку индуктивностью =0,5мГн. Каково максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока =40 мA?
Решение: Запишем закон изменения заряда на конденсаторе контура и тока в катушке индуктивности:
q= (1)
(2)
При этом напряжение на обкладках конденсатора
U= (3)
Из выражения (2) видно, что амплитуда тока
, (4)
где (формула Томсона). (5)
Амплитуда колебания напряжения на конденсаторе, как это следует из (3), равна
= (6)
Максимальное значение заряда на конденсаторе, согласно (4), равно
Если учесть выражение (5), найдем
(7)
Далее подставляя (7) в (6), будем иметь
. (8)
Произведем вычисление:
=4 (В)
Ответ: (В).
Задача 3.1.2. В колебательном контуре происходят вынужденные гармонические колебания. При частотах вынуждающей ЭДС =300 и =600 амплитуда силы тока равна половине своего максимального значения. Определить частоту вынуждающей ЭДС, при которой амплитуда напряжения на обкладках конденсатора максимальна.
Решение: Амплитуда силы тока в контуре при установившихся вынужденных колебаниях
= = (1)
Из выражения (1) видно, что при условии амплитуда тока имеет наибольшее, равно , max= .
При этом соответствующая частота = , где - так называемая собственная частота контура. Следовательно, резонансная частота для тока в контуре , = .
Из условий задачи = = , имеем равенство:
= = . (2)
Из системы (2) имеем уравнения:
3 = (3)
= (4)
Из (4) следует, что либо либо = + , т.е. = . Решение отбрасывается, поскольку оно не удовлетворяет условию задачи. Из второго решения для собственной частоты контура получаем
, (5)
Т.к. = .
Далее равенство (3) перепишем в следующем виде:
3 = =
где - коэффициент затухания.
Итак, для резонансной частоты заряда (напряжения) на конденсаторе имеем:
= = . (6)
Подставив в (5) и (6) значения и =600 , для искомых величин получим:
,
Задача 3.1.3. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью R= 3 Ом, а также конденсатор емкостью C= 10нФ. Определить среднюю мощность потребляемую контуром, необходимую для поддержания в нем незатухающих колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе =2B.
Решение: При наличии активного сопротивления R полная энергия контура, состоящая из энергии электрического поля, сосредоточенного в конденсаторе, и энергии магнитного поля, сосредоточенного в катушке, непрерывно уменьшается за счет выделения теплоты в соответствии с законом Джоуля-Ленца.
Чтобы поддерживать колебания незатухающими, контур должен получать энергию извне, причем средняя потребляемая мощность равна отношению джоулевой теплоты выделяющейся на сопротивлении R в течении некоторого промежутка времени , к этому промежутку
. (1)
Количество выделившейся теплоты
Q= Rdt . (2)
Очевидно, что характер незатухающих колебаний, а значит и выбор промежутка времени зависят от того, как происходит подача энергии извне. Если предположить, что возникающие незатухающие колебания близки к гармоническим, то промежуток времени следует брать равным периоду колебаний: =T= (3)
Тогда заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону
q= , (4)
где . (5)
Дифференцируя по t (4), находим, что сила тока в конуре равна
= - (6)
В выражениях (4) и (6) будем считать, что циклическая частота мало отличается от собственной частоты контура, т.е.
= . (7)
Подставляя выражения (3) и (6) в (2), найдем
= ,
а учитывая, что = , получим
(8)
Подставляя (8) в (1) и учитывая (3), можем найти среднюю за период мощность:
= = (9)
При подстановке (5) и (7) в (9), получим
= = .(10)
Для заданных значений С, , R и средняя мощность:
= =6 (Вт) = 0,6mВт.
Ответ: 0,6mВт.
Задача 3.1.4. Цепь переменного тока состоит из последовательно соединенных катушки , конденсатора С и резистора R. Амплитудное значение суммарного напряжения на катушке и конденсаторе =173 B, а амплитудное значение напряжения на резисторе =100B. Определить сдвиг фаз между током и внешним напряжением.
Решение: Цепь переменного тока представлена на рис.3.1. Из теории вынужденных электромагнитных колебаний известно, что векторная диаграмма сложения амплитуд напряжений на индуктивности, электроемкости и резисторе имеет вид (рис.3.2.)
Рис.3.1 Рис.3.2
Здесь = , = , .
Из рис.3.2 следует, что
tg = = . (1)
Подставляя в (1) числовые значения задачи, получим
tg = = = 1,73 , т.е. .
Ответ: .
Задача 3.1.5.Плоский конденсатор с круглыми пластинами заряжается постоянным током в течении времени до напряжения 𝒰. Зазор между пластинами равен d. Проведя между пластинами коаксиальную с ними воображаемую цилиндрическую поверхность, радиус которой r много меньше радиуса пластин, определить:
Модуль и направление вектора Пойнтинга в точках поверхности;
Количество энергии W, протекающей через поверхность за время . Сравнить W с энергией электрического поля, содержащейся в ограниченном поверхностью объеме V после окончания процесса зарядки.
Решение: Сперва установим зависимость напряженности электрического поля E(t) в зазоре между обкладками конденсатора:
q= t, 0 Напряжение на конденсаторе .Отсюда С= , )t и напряженность поля E= = . При этом электрическое смещение по модулю D= , плотность тока смещения = = .
Рис.3.3
По теореме о циркуляции вектора по окружности радиуса r, расположенной в плоскости перпендикулярной полю =E , можем написать:
2 H= (1)
Вектор направлен по касательной в каждой точке окружности и в сторону поворота часовой стрелки, если смотришь с лева. Учитывая взаимную ориентацию векторов , и скажем, что вектор Пойнтинга направлен в сторону оси симметрии (внутрь цилиндрического объема).
Поскольку , модуль вектора Пойнтинга S=EH= . (2)
Энергия, поступающая внутрь выделенного цилиндра через его поверхность за промежуток времени
dW=S .
За промежуток времени притекающая энергия W= (3)
Энергия электрического поля в объеме выделенного цилиндра к моменту равна
= V= . (4)
Из (3) и (4) следует, что