4.1.9 Стоячие волны

Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид:

.

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны

, (4.60)

Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой

, (4.61)

являющейся периодической функцией координаты X.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны.

Значения координат пучностей

, (m =1,2,3...). (4.62)

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением

. (4.63)

Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно

, (4.64)

и называется длиной стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15.

В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны переносят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.

4.2. Электромагнитные колебания и волны

4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью С и соединённой с ним последовательно катушки индуктивности L (рис.4.16). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в контуре возникнут электромагнитные колебания. Конденсатор начинает разряжаться, в катушке появляется нарастающий ток, создающий магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, которая сначала замедляет скорость разрядки, а после того как конденсатор разрядился, начинает поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнётся снова, но в обратном направлении и т.д.

Дифференциальное уравне- ние, описывающее собствен- ные колебания в контуре, можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи:

IR = φ₁ – φ₂ + ε₁₂, (4.65)

где φ₁ и φ₂ - значения потенциалов на обкладках конденсатора;  - ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре.

С учётом того, что R=0 , ; и

, уравнение (4.65) принимает вид

, . (4.66)

После замены получим стандартное дифферен- циальное уравнение, описывающее собственные гармони- ческие колебания

. (4.67)

Собственная частота и период гармонических колебаний удовлетворяют формуле Томсона

_{. (4.68)}

_{Заряд конденсатора q, напряжение на обкладках конденсатора U и сила тока в катушке изменяются по законам}

, (4.69)

, (4.70)

. (4.71)

где - амплитуда напряжения, - амплитуда силы тока.

При собственных колебаниях в контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени

. (4.72)