2. Кручение валов круглого сечения

2.1. Статически определимые системы

2.1. К ведомым шкивам стальных валов (рис. 2.1) приложены заданные моменты ; ; . Подобрать для каждого из этих валов диаметр сплошного кругового сечения, если ; ; ; .

Примечание: решение подобных задач приведено в [5].

Рис. 2.1

2.2. Вал трубчатого сечения жестко защемлен в левом сечении и нагружен скручивающими моментами и (рис. 2.2). Внешний диаметр сечения равен , а внутренний . Рассчитать величину диаметра , если , , .

2.3. Вал трубчатого сечения с внешним диаметром и внутренним диаметром жестко защемлен с левой стороны и нагружен скручивающими моментами и (рис. 2.3). Определить допускаемые значения и , если , , .

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Решение

В данной задаче требуется провести расчет грузоподъемности вала работающего на кручение. Исходя из условия прочности расчет грузоподъемности проводится по соотношению

, (2.1)

где – значение крутящего момента в опасном сечении вала; – допускаемое касательное напряжение для материала вала, заданное в условии задачи; – полярный момент сопротивления сечения вала. Для трубчатого сечения определяется по соотношению

, где .

По известным значениям и рассчитываем

.

Из предыдущего неравенства (2.1) получим

.

Для определения положения опасного сечения и значения крутящего момента в этом сечении в функции заданных моментов и строим эпюру крутящих моментов. С этой целью разбиваем вал на два участка (рис. 2.4), нумеруя их, начиная от свободного конца вала, и записываем уравнения для на каждом из этих участков.

Рис. 2.4

I участок: ; II участок: . По этим данным строим эпюру крутящих моментов . Принимая во внимание, что сечение вала постоянно по его длине, на основе эпюры

приходим к выводу, что опасным является любое из сечений второго участка, где действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент . Приравнивая значение в опасном сечении , рассчитанному из условия прочности, получим

.

Следовательно, допускаемые значения скручивающих моментов будут следующими:

; .

Проверим теперь, удовлетворяется ли при найденных значениях и условие жесткости вала. В задаче дано , следовательно, условие жесткости вала будет иметь вид

.

Размеры сечения и материал постоянны по длине вала, поэтому жесткость будет также постоянной. Это говорит о том, что максимальный относительный угол закручивания соответствует , т.е.

.

Для трубчатого сечения полярный момент инерции определяется по формуле

.

Подставляя числовые данные получим:

,

т.е. условие жесткости удовлетворяется и окончательно принимаем , .

2.4. Для валов, расчетные схемы которых приведены на рис. 2.5, рассчитать необходимую величину диаметра сплошного кругового сечения и определить угол поворота сечения , если дано , , , , .

Рис. 2.5

2.5. Ступенчатый вал с диаметрами ступеней и жестко защемлен в левом сечении и нагружен сосредоточенным моментом и распределенным моментом интенсивностью (рис. 2.6). Проверить вал на прочность и жесткость, если ; ; , материал вала – сталь, .

Решение

В данной задаче требуется провести проверочный расчет вала, работающего на кручение, т.е. проверить выполнение условий прочности и жесткости.

Рис. 2.6

Проверим вначале выполнение условия прочности:

,

где – допускаемое касательное напряжение, заданное в условии задачи; – полярный момент сопротивления сечения вала, определяемый для сплошного кругового сечения по формуле . Для участков вала с диаметрами и соответственно получим

;

.

Таким образом, для проверки соблюдения условия прочности необходимо установить расчетное значение . С этой целью построим эпюру .

Разбивая вал на два участка ( и ) и нумеруя их, начиная от свободного конца к заделке, запишем уравнения на каждом из них.

I участок ; ;

II участок ; ;

Определим значения в граничных сечениях участка II:

; ; ; .

По этим данным строим эпюру (см. рис. 2.6, б), из которой следует, что наибольшее значение наблюдается в сечениях первого участка и в крайнем правом сечении второго участка. Учитывая, что приходим к выводу, что наибольшие по величине касательные напряжения действуют в сечениях первого участка и расчетное значение .

Подставляя в условие прочности и , получим

,

т.е. прочность вала обеспечена.

Проверим теперь выполнение условия жесткости. В задаче задано , следовательно, условие жесткости вала будет иметь вид

.

Для определения построим эпюру углов поворота сечений . Построение эпюры ведут от заделки к свободному концу .

Участок II. Определим угол поворота произвольного сечения, положение которого задано координатой . Угол поворота этого сечения равен углу закручивания участка вала, заключенному между этим сечением и жесткой заделкой, т.е.

.

Подставляя сюда выражение для и учитывая постоянство по длине участка, получим после интегрирования

.

Таким образом, – квадратичная функция координаты .

В крайних сечениях участка получим:

, ; , .

Подставляя сюда , получим

.

Участок I. Угол поворота произвольного сечения этого участка определяется как сумма угла закручивания сечения и угла поворота рассматриваемого сечения относительно сечения . Учитывая, что постоянен во всех сечениях первого участка, получим

.

Подставляя , в крайних сечениях участка получим

, ;

,

.

По этим данным строим эпюру (см. рис. 2.5, в), из которой определяем, что

.

Таким образом, условие жесткости удовлетворяется и необходимая жесткость вала обеспечена.

2.6. Для валов, расчетные схемы которых приведены на рис. 2.7, рассчитать необходимые величины диаметров сплошного кругового сечения, если , , , , .

2.7. Стержень круглого поперечного сечения запрессован в плиту и нагружен моментом (рис. 2.8). Определить наименьшее значение момента , при котором стержень будет проворачиваться, считая что запрессовка создает равномерно распределенный по длине момент сил трения , . Рассчитать угол поворота сечения при , если и известны.

Рис. 2.7

2.8. Бронзовая втулка насажена на стальной стержень с некоторым натягом (рис. 2.9). Определить наименьшее значение момента , который нужно приложить к трубке, чтобы провернуть ее относительно стержня. Построить эпюры крутящих моментов, возникающих в стержне и трубке при этом значении . Давление на поверхности контакта равномерное и равно , коэффициент трения ; ; ; ; ; .

Рис. 2.8 Рис. 2.9

2.9. При каком соотношении моментов и угол поворота сечения будет равно 0 (рис. 2.10).

Рис. 2.10

2.10. При каком соотношении между и угол поворота сечения вдвое больше угла поворота сечения (см. рис. 2.10). 2.11. Определить величину крутящего момента, при котором

расчет вала сплошного кругового сечения из условия прочности даст тот же диаметр, что и расчет из условия жесткости. Найти величину этого диаметра , если , , .

2.12. Сравнить веса двух валов, размеры которых подобраны для одного и того же крутящего момента при одинаковых допускаемых напряжениях. Первый вал сплошной, второй трубчатый с отношением внутреннего диаметра к наружному равным . Длины валов одинаковы.

2.13. Чтобы уменьшить вес сплошного вала на 20 % заменили его трубчатым, наружный диаметр которого в два раза больше внутреннего. Чему будут равны наибольшие касательные напряжения в трубчатом вале, если в сплошном они были равны ?

2.14. Два вала, один из которых сплошной, а другой – трубчатый, имеют одинаковый вес и передают одинаковый крутящий момент. У которого из них наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если внутренний диаметр трубчатого вала составляет 0,6 его наружного диаметра?

2.15. Стальной вал сплошного кругового сечения передает мощность при частоте вращения . Подобрать диаметр вала, если , , а .

2.16. Определить отношение диаметров двух валов из одинакового материала, передающих одинаковую мощность, если один делает , а другой – .

2.17. Вал диаметром 90 мм передает мощность 900 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если допускаемое касательное напряжение .

2.18. Измерения, сделанные в процессе испытаний двигателя, показали, что вал диаметром и длиной закручивается на угол при частоте вращения . Определить мощность, передаваемую валом, если известно, что .