Расчет косоугольной пластины по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода

Приведен алгоритм получения матрицы откликов и построение разрешающей системы уравнений для параллелограммного конечного элемента изгибаемой пластины, с учетом косоугольности границ контура.

Ignatjev А.V., Efremova N.S.

CALCULATION OF OBLIQUE HALF-BEAM BY THE FINITE ELEMENTS METHOD IN THE FORM OF CLASSIC MIXED METHOD

The algorithm of obtaining matrix of reactions and constructions of resolving system of equations for parallel finite element of bending harf-beam with account of contour limit obliquity.

Рассмотрим КЭ с 12 степенями свободы в виде параллелограммной пластинки с размерами, показанными на рис. 1, и началом координат в левом верхнем углу описанного

прямоугольника.

Рис. 1

_______________________________

© Игнатьев А.В., Ефремова Н.С., 2016

Прямоугольная и косоугольная система координат связаны соотношениями:

.

Как и в случае прямоугольного КЭ, функции его прогибов аппроксимируются неполным бикубическим полиномом:

(1)

Коэффициенты этого полинома для каждого из 12 видов единичных воздействий смешанных основных неизвестных находятся из условий в узлах основной системы.

На рис. 2 показаны для иллюстрации единичное воздействие и условия для нахождения коэффициентов аппроксимирующей функции .

Рис. 2

(2)

После решения системы уравнений (2) и нахождения коэффициентов функции находятся соответствующие функции изгибающих и крутящих моментов, кривизн:

(3)

Аналогично находятся функции прогибов и моментов для всех других единичных воздействий ( … ).

Вычисление коэффициентов матрицы откликов производится по тому же алгоритму, что и для прямоугольного КЭ, т.е.

для блока :

, (4)

для блока :

.

Рассмотрим подробнее процесс интегрирования функции в (4).

Рис. 3

Из рис. 2 и 3 видно, что интегрирование по области состоит из интегрирования по направлениям x и y. Координаты по оси x начала и конца элементарного объема dV зависят от его координаты по оси y:

. (5)

Следовательно,

. (6)

В результате интегрирования по x с переменными пределами получаем новую функцию , которая интегрируется по переменной y:

. (7)

Коэффициенты матрицы откликов КЭ, относящиеся к блоку , находятся, как и для прямоугольного КЭ [1], но с учетом косоугольной области интегрирования, как это показано выше:

(8)

.

На основании теоремы о взаимности перемещений и реакций:

.

Элементы вектора грузовых коэффициентов находятся, как и в случае прямоугольного КЭ, но с учетом косоугольности области интегрирования:

, (9)

.

Ниже, ввиду громоздкости, приведены только некоторые коэффициенты матрицы откликов, относящиеся к блокам , и в формульном виде:

Коэффициенты матрицы откликов, относящиеся к блоку , в формульном виде:

…

Грузовые коэффициенты в формульном виде:

,

,

,

,

,

.

Построение разрешающей системы уравнений и постановка граничных условий на контуре пластинки выполняются по тому же алгоритму, что и для прямоугольного КЭ [1].

Библиографический список

1. Игнатьев, В.А. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики: учеб. пособие / В.А. Игнатьев, А.В. Игнатьев, А.В. Жиделев ; Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет. – Волгоград: ВолгГАСУ, 2006. – 172 с.

References

1. Ignatjev, V.А. Mixed form of finite elements method in structural mechanics problems:training aid / V.А. Ignatjev, А.V. Ignatjev, А.V. Zhidelev // Volgograd State University of Architecture and Civil Enginering. – Volgograd: VolgGASU, 2006. – 172 p.

Ключевые слова: метод конечных элементов в форме классического смешанного метода, матрица откликов косоугольного конечного элемента, изгиб косоугольной пластины.

Key words: finite elements method as classic mixed method, reaction matrix of oblique finite element, oblique half-beam bend.

Расчет и ПРОЕКТИРОВАНИЕ

МЕТАЛЛИЧЕСКИХ конструкций

УДК 624.041

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Магистрант кафедры строительной механики С. Ю. Струков Канд. техн. наук, директор ООО «СТРОЙИНПРОМТЕХ» И.И. Муравьёв Канд. техн. наук, доц. кафедры строительной механики С.В. Ефрюшин Россия, г. Воронеж, тел.: [phone] e-mail: [e-mail] e-mail: [e-mail]

Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering Undergraduate of department of Structural Mechanics S. Y. Strukov PhD of Tech. Sc., Director of Limited Liability Corporation «STROIINPROMTECH» I.I. Muravjyov PhD of Tech. Sc., Assosiate Professor of department of Structural Mechanics S.V. Efryushin Voronezh, Russia, ph.: 8(473)2715230 e-mail: [e-mail] e-mail: [e-mail]

С.Ю. Струков, И.И. Муравьёв, С.В. Ефрюшин